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1、1 .考虑函数的Taylor展开，F(X)=ZqX,其定义矩阵函数/(A)=Z/A,证明：n=0w=0a)对于辕单矩阵，有f(sl+M)=-(Z+A)(5+Z)+-(Z-A)(5-r):b)对于累零矩阵，有/(s+r4)=(s)+4(s);c)对于基等矩阵，有f(sl+tA)=(Z-A)Cv)+Af(s+力。2 .证明以下关于矩阵秩的性质a) rank(AB)rank(A),rank(AB)rank(B)；b) rank(A+B)rank(AB)mnk(A)+rank(B).c) 如果A,B均为n*n方阵，则有rank(A)+rank(B)rank(AB)+nd) 考虑随机矩阵A,a)如果A是
2、N*l矩阵，每个元素在0,1上均匀独立分布，给出A的满秩概率；其中运算为模2加运算，0+0=1+1=0,0+1=1+0=1,1*1=1,1*0=0*1=0*0=0;b)如果A是N*2矩阵，每个元素在0,1上均匀独立分布，给出A的满秩概率；其中运算为模2加运算，0+0=1+1=0,0+1=1+0=1,1*1=1,1*0=0*1=0*0=0;C)如果A是N*N矩阵，每个元素在0,1上均匀独立分布，给出A的满秩概率；其中运算为模2加运算，0+0=1+1=0,0+1=1+0=1,1*1=1,1*0=0*1=0*0=0;d)如果A是N*N矩阵，每个元素在0,1上均匀独立分布，证明A满秩的概率为Io(提示按照a-c的思路递推)4 .考虑矩阵的KroneCker积，证明如下结论a) A(8)(BC)=A0BA0C,(BC)A=B0AC(8)A；b) (A0B)(8)C=A(8)(BOC)；c) rank(A0B)=rank(A)rank(B),(提示构造AB的最大线性无关组)。5 .考虑矩阵的Hardmard积(A8%=(A%(叫J.,即矩阵对应元素的乘积，证明：a)如果A,B,D都是m*m矩阵，并且D是对角阵，则(DA)(8。)=O(A3)。；b)(选作)rank(A8)rank(A)rank(B)o
