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1、探究教材，体会课程新标一题多变，发展核心素养摘要：义务教育数学课程标准（2022）版，（以下简称“新课标”）指出，“数学课程目的确定，要立足于学生核心素养的发展，通过数学眼光，能够抽象出数学的研究对象及其属性，形成概念、关系与结构.”出数学习题是数学教学中一个重要的环节，笔者以沪科版教材一道课本习题探究为例，通过一题多解，一题多变，串题成线等教学设计，浅谈如何通过深挖教材习题，发展学生数学核心素养.关键词：探究教材习题，一题多变，核心素养，数形结合，通性通法.一、原题呈现“已知，如图1.aABC是等边三角形，8。是中线，延长BC到E,使=CQ，求证：08=OE”（沪科版教材第16章A组复习题第
2、5题）图1图2解法1：由等边三角形性质，可知NO8C=30。，NoC8=60。，由CD=CE,可知NCDE=NE=30。,所以NDBE=N,所以OB=OE.解法2：由NoCE=I20。和CD=Cb可知DE=3几,因为在RtZXBCO中，NDBC=30。，所以DB=SDCt所以DB=DE.二、习题探究教材中本题立足于等边三角形性质基础上，利用“直角三角形30。对边等于斜边一半”证明线段之间数量关系，本文的探究思路为先通过延长瓦），进一步丰富图形.在此基础上，弱化条件，提出猜想，通过几何直观，化静为动，以等腰三角形作为探究载体，在般甲餐特殊H最常利用逐步形成数学理性思维.言论.在经历数学再发现的过
3、程中,2.1特例感知问题1:延长交AB于F,探究4尸与AB之间的数量关系.延长E。交AB于F,探究AF与AB之间的数量关系.简析：由原题结论可知，=30o,Z=60NADF化为“一般等腰三角形”后结论是否依然成立？由.2.2条件弱化，从“特殊倒”一般”变，结论A尸=IAB是否一定成立.4此时AF=IA8是否一定成立.BCE图3图4解析：如图4,由。为AC中点，作HBC因为CO=CE，所以CE=N，所以NF二G二假设AF=；AB,因为G为AB中点，所以;1,所ZAFD=90,所AFJAOjAB.以以24此，本题进行再探究如下：BCe交AB于GH,所以笈嗯唯=所以gQ所以一定存在AF=k,AGk+
4、A产二k.AB2+2总结：对猜想的结论证明，可以通过反证法，如本题中可以先假设猜想结论成立,再得出与条件不符，从而得到论证结果，最后将论证结果用数学语言呈现，归纳总结,发现其一般规律.2.3 条件结论互换多角度探究内在联系BCEB图5解析：如图6,作OGAB交BC于GAF = ADAD ABGCE图6,又因为NA三Z,所以型AABD，所NADF=NAB,所ZCDE=ZABD,又因为NABC=NACB,所h1.nh1./DBE=NDEB,所以DB=DE,又因为。G/AB,所以4DGB=ZDCE,所以ADBGAC解法1：参考上述结论推导过程，易证DG=GE=2,所以1BFBE33解法3:如图9,取
5、BE中点用，延长EQ,BC,交ED延长线于N,连接DN=DE=DB，所以/NBE90o,又因为M为BE中点，所以1BC,所以BN,所以aMCsZ3M4,MC=PC=1.f所以MC=1,所以CE=CE=_CE_匚，所ANAB2a2BE2ME2(MC+CE)3以AN1,所以BE=33解法3:过尸点作5C平行线或过C点作AB平行线均可证明，请读者自行证明.在探究2结论中，。为AC中点，是一个定点，数学教学过程中，教师尽可能透过现象看本质，应不断深化认知，拓展出更一般化的结论，让学生站在更高层次去认识它.笔者再次尝试弱化条件.问题4：将。从“定点”弱化为点。为一AC边上“动点”，其余条件不变，探究AF
6、和AB之间的数量关系.AF=AF.AD=m2；如图葭，作CG H:，因为=AB-=百AB AD AB nAA/AD 1FB 2n A-m所以空 m ,所以CEa2BF = +mD/rT-对比上述证明结果可知，结论1,2即为7=1时的比值，该证明过程可以通过类当2，变化，中寻找“不变”帮助学生感悟解决数学问题的基本思路，积累基本活动经验.2.4 聚焦思想方法，双动点齐呈现AA解析：如图14过P点作HBk,过O点作HBNPGDM所以PM-，所以CE%-,CE=m-n:1-n因为PGBAI中所NG(mn)2n22innn2GPInn22n1=2-2+2n2-2n+引入双动点，为后续探究一般三角形提供
7、了理论基础，对比单动点解决方法，这里继续通过构造平行线转化解决问题，对比解题思路，让学生联想解决问题方法，追根朔源，通过这种联系的，变化的，矛盾的观点挖掘问题串，突出价值引领.2.5突破现有框架，探寻世外桃源E点、在BC的延长线上，连接4E,E。交48于尸，8。交4E于G,探究GEAG的Z4-*Zm人图15图16解析：如图16,过C点作CBG，则G=BC=I，AG=AD=fn，所以HECEmGHDC1mAG-，所以AG=.HE-mGEm-m+(1-tn)-m2结合上述探究可知:EC=tn,M=I-,AG=团,所以ECBFAG=6.1一.m=1.74mrGE5CBFAGEm1-m2CR-m上述问
8、题的探究都遵循由浅入深，由易到难过程，虽然问题的条件和结论都在改变,但在变化过程中，又有一些是不变的，如思想方法不变，解题思路不变，利用代数法表示出3段比值，很容易让学生发现其间特殊关系，其积为1,那么这个结论是否具有具有普适性，对于任意三角形是否具有这一结论？为此继续探究如下.2.6回归基本图形，揭示一般结论立”.ABDCB图17图18解析：借助上述结论生成的过程，继续构造平行线成比例，问题，如图 18,过。作 H CF、DN / BE ,设AP= m , CD= n=是否成DB FA ECkDC结合代数法设比值解决,则CN= , BM =I fPDDBNEMFnAE=.,W一I,所以二+1
9、,CQ.AE=小+.？=1,至此可以FNAFmFAfmiECDBFAEC皿+1得出该结论对于任意的三角形都成立，而本结论恰好是著名的“梅里劳斯定理”！纵观本题是从一个特殊图形中形成一个基本方法和结论，再找出符合一般情况的几何图形规律，师生通过对解题实践的深刻体验和深入研究过程中，发现问题，并体验解决问题时蕴含的数学思想和方法.三、探究反思3.1 教学中重视教材，关注教材知识延伸新课标指出，“数学知识的获得，可以通过接受学习的方式，也可以通过自主探索等方式”，教师在教学中不应该单纯的灌输知识，更应该在教师的引领下让学生通过现有的素材进行挖掘，而这样的素材比比皆是.教材中的例题和习题，中考真题都是
10、很好的源头，如本文所探究的就是从课本一道习题出发，经历从特殊到一般，逆向思考，关注了过程和方法，数学思考，既能培养学生学习能力，又能启发学生自主发现与思考，让学生在不断操作和思考中学会反思，不断积累活动经验，最终找出符合一般情况的几何图形规律，在此过程中，逐步养成从数学角度观察现实世界的意识和习惯，发展好奇心，想象力和创新意识.3.2 善用一题多变，感悟“变”中“不变”新课标指出，“通过数学思维，可以揭示客观事物的本质属性“，本文通过对该题图象的扩展，得出特殊结论，在研究其逆命题的存在的条件下，引入不定比值，将定点再进一步拓展成动点，将问题不断引向深入，增加问题的宽度和深度.不改变背景和问题，
11、能有效揭示变中不变的规律和方法，引导学生根据已知的事实和原理，合乎逻辑的推出最终结论，最终发展学生构建数学逻辑体系，形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，培养学生科学态度和理性精神.3.3 提炼通性通法，渗透数学素养回顾本题变式解决策略都是通过作平行线，利用平行线分线段成比例结合代数运算推出最终结论，问题虽不同，其实都殊途同归，都能提炼出通性通法和自然生成的解法.在探究过程中，可以有效培养学生问题分析，数形结合，由特殊到一般，再由一般到特殊、不断强化学生的转化能力，通过问题活动方式层层铺垫，又层层设疑，让学生在探3.4 重视数形结合，感悟数学思想华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”以本题为例，最终动点位置都是通过引入比值来有效解决，比值变化对应了动点位置的变化，这个过程既有“以形助数”又有“以数解形”，既有几何的直观和形象，又有代数的严谨与规范，最终达到使复杂问题简单化，抽象问题具体化，开拓学生解题思路，提高学生的解题能力，发展学生数学核心素养.参考文献1义务教育数学课程标准（2022版）M.北京：北京师范大学出版社.
