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1、抛物线及其标准方程抛物线及其标准方程OyxFMl感受生活中抛物线图形的例子感受生活中抛物线图形的例子复习提问复习提问： 到一个定点到一个定点F的距离和它到一条定直线的距离和它到一条定直线l 的距离的比的距离的比是常数是常数e的动点的动点M 的轨迹的轨迹. .（直线直线 l 不经过点不经过点F）MFl0e 1lFMe1（1）当当0 0e 1 1时，时，点点M的轨迹是什么的轨迹是什么?（2）当当e1 1时，时，点点M的轨迹是什么的轨迹是什么?是椭圆是椭圆是双曲线是双曲线当当e=1时时，即即|MF|=|MH| ，点点M的轨迹是什么的轨迹是什么？思考思考? ?. FlHM几何画板几何画板实验实验: :
2、取一条长为取一条长为ACAC的绳子的绳子, ,一端点固定在一端点固定在点点A A 上上, ,另一端点固定在定点另一端点固定在定点F F上上, ,把笔尖放把笔尖放在在P P点上点上, ,沿着直线沿着直线l l上下移动三角形作出点上下移动三角形作出点P P移动的轨迹图形移动的轨迹图形. .动手做实验动手做实验几何画板几何画板 平面内与一个定点平面内与一个定点F和一条定直线和一条定直线l（l不经不经过点过点F）的距离相等的点的轨迹叫做）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线抛物线想一想想一想?定义中当直线定义中当直线l经过定点经过定点F，则点则点M的轨迹是什么的轨迹是什么？ 其中其中 定点定点F叫做抛物线的
3、叫做抛物线的焦点焦点 定直线定直线 l 叫做抛物线的叫做抛物线的准线准线lHFM即即: :当当| |MF|=|=|MH| |时时, ,点点M的轨迹的轨迹 是抛物线是抛物线经过点经过点F且垂直于且垂直于l 的直线的直线lF如何求点如何求点M的轨迹方程？的轨迹方程？FMlH求曲线方求曲线方程的基本程的基本步骤是怎步骤是怎样的？样的？想一想？想一想？回顾求曲线方程一般步骤：回顾求曲线方程一般步骤：1、建系、设点、建系、设点2、写出适合条件、写出适合条件P的点的点M的集合的集合3、列方程、列方程4、化简、化简5、证明、证明(可省略可省略)如图如图, ,设定点设定点F到定直线到定直线l 的距离为的距离为
4、p（p p0 0）, , 如何建立如何建立坐标系坐标系, ,求出点求出点M的的轨迹方程最简洁轨迹方程最简洁? ?lHFM22()| |xpyx（1）由由|MF|=|MH| ，得得 即得即得y2=2px-p2（2）由由|MF|=|MH| ，得得 即得即得y2=2px22()|22PPxyxlHFMxy（1）OlHFMxy（2）OK设设M（x，y） 把方程把方程 y2 = 2px（p0） 而而p 的几何意义是的几何意义是: 焦点到准线的距离焦点到准线的距离 其中其中 焦点焦点 F（ ，0），），准线方程准线方程l：x = - p2p2KOlFxy.一条抛物线，由于它在坐标平面内的一条抛物线，由于它
5、在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式的标准方程还有其它形式. .图形图形标准方程标准方程焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程pxy220ppxy220ppyx220ppyx220p0,2p2px0 ,2p2px 2,0p2py2,0p2py 1 1、焦点在、焦点在一次项字母一次项字母对应的坐标轴上对应的坐标轴上. . 2 2、一次项的系数的、一次项的系数的符号符号决定了抛物线的决定了抛物线的开口方向开口方向. .3 3、焦点坐标的、焦点坐标的非零坐标非零坐标是一次项系数的是一次项系数的 . .144 4、准线方程对应的、准线方程对应的
6、数数是一次项系数的是一次项系数的 的的相反数相反数. . 14例例1 1 已知抛物线的标准方程是已知抛物线的标准方程是y2 = 6x， 求它的焦点坐标和准线方程；求它的焦点坐标和准线方程；解解: 2P=6,P=3所以抛物线的焦点坐标是（所以抛物线的焦点坐标是（ ，0） 准线方程是准线方程是x=2323变式变式：写出下列抛物线的标准方程、焦点坐标和准写出下列抛物线的标准方程、焦点坐标和准 线方程：线方程：（1） 6y+5x2=0 ；（；（2）y=6ax2（a0）.14是一次项系数的是一次项系数的是一次项系数的是一次项系数的的相反数的相反数14 （2）x2 = y , 焦点坐标为（焦点坐标为（ 0
7、 ， ），）， 准线方程是准线方程是y= a61a241a24156解：（解：（1） x2 = y ，焦点坐标为（，焦点坐标为（ 0， ），）， 准线方程是准线方程是y= 103103变式变式：写出下列抛物线的标准方程、焦点坐写出下列抛物线的标准方程、焦点坐 标和准线方程：标和准线方程：（1） 6y+5x2=0 ； （2）y=6ax2（a0） .感悟感悟 ：求抛线的焦点坐标和准线方程要求抛线的焦点坐标和准线方程要先化成先化成抛物线的标准方程抛物线的标准方程例例2 2 已知抛物线的焦点坐标是已知抛物线的焦点坐标是F（0 0，-2-2） 求它的标准方程。求它的标准方程。22P解解: 因为焦点在因为
8、焦点在y的负半轴上的负半轴上,所以设所所以设所求的标准方程为求的标准方程为x2= -2py 由题意得由题意得 ，即，即p=4 所求的标准方程为所求的标准方程为x2= -8y分析分析: :因为焦点坐标是（因为焦点坐标是（0 0，-2-2）, ,所所以抛物线开口方向是以抛物线开口方向是y y轴的负方向轴的负方向, ,它它的方程形式为的方程形式为x2= -2py. .待定系数法待定系数法求抛物线标求抛物线标准方程准方程例例2 2 已知抛物线的焦点坐标是已知抛物线的焦点坐标是F（0 0，-2-2） 求它的标准方程求它的标准方程。22P解解: 因为焦点在因为焦点在y的负半轴上的负半轴上,所以设所所以设所
9、求的标准方程为求的标准方程为x2= -2py 即即 得得p=4 所求的标准方程为所求的标准方程为x2= -8y分析分析: :因为焦点坐标是（因为焦点坐标是（0 0，-2-2）, ,所所以抛物线开口方向是以抛物线开口方向是y y轴的负方向轴的负方向, ,它它的方程形式为的方程形式为x2= -2py. .（1 1）焦点是焦点是F（-2-2，0 0），），它的标准方程它的标准方程_._.（2 2）准线方程是准线方程是y = = -2-2，它的标准方程它的标准方程_. _. （3 3）焦点到准线的距离是焦点到准线的距离是4 4, ,它的标准方程它的标准方程_._.变式变式: :y2=-8xx2=8yx
10、2=8y 、y2=8x（1）（2）解题感悟解题感悟:用待定系数法用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：求抛物线标准方程的步骤：（1）确定抛物线的形式确定抛物线的形式.（2）求求p p值值（3）写抛物线方程写抛物线方程注意注意: :焦点或开口方向不定，则要注意分类讨论焦点或开口方向不定，则要注意分类讨论 M (x , y) y x F(4,0) -4 -5 例例3 3、点点M与点与点F（4，0）的距离比它到直线）的距离比它到直线l：x50的距离小的距离小1，求点，求点M的轨迹方程的轨迹方程 如图可知原条件等价于M点到F（4，0）和到x4距离相等，由抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点，x
11、4为准线的抛物线所求方程是y216x分析：分析： 1 、求过点求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。）的抛物线的标准方程。 AOyx解解:（1）当抛物线的焦点在当抛物线的焦点在y轴轴的正半轴上时，把的正半轴上时，把A（-3，2）代入代入x2 =2py，得，得p= 49（2）当焦点在）当焦点在x轴的负半轴上时，轴的负半轴上时，把把A（-3，2）代入）代入y2 = -2px，得得p= 32抛物线的标准方程为抛物线的标准方程为x2 = y或或y2 = x 。2934巩固提高巩固提高：2 2、M是抛物线是抛物线y2 = 2px（P0）上一点，若点）上一点，若点 M 的横坐标为的横坐标为X0，则点，则
12、点M到焦点的距离是到焦点的距离是 X0 + 2pOyxFM这就是抛物线的焦半径公式!1、理解抛物线的定义理解抛物线的定义, ,标准方程类型标准方程类型. .2、会求不同类型抛物线的焦点坐标、准会求不同类型抛物线的焦点坐标、准线方程线方程3、掌握用掌握用待定系数法求待定系数法求抛物线抛物线标准方程标准方程4、注重数形结合和分类讨论的解题方法注重数形结合和分类讨论的解题方法. .讨论题：讨论题： 1 若抛物线若抛物线y2=8x上一点上一点M到原点的距离到原点的距离 等等于点于点M到准线的距离则点到准线的距离则点M的坐标是的坐标是 2 已知定点已知定点A(3,2)和抛物线和抛物线y2=2x, F是抛物线是抛物线 焦点，试在抛物线上求一点焦点，试在抛物线上求一点P,使使 PA与与PF 的的 距离之和最小，并求出这个最小值。距离之和最小，并求出这个最小值。 谢谢！再见！谢谢！再见！
