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1、 第四章第四章 机器人静力学机器人静力学 与动力学与动力学 Statics and Dynamics of Industrial Robot 41 机器人静力学机器人静力学F 一、静力学问题：一、静力学问题：（1）假设各构件处在静止状态（相当于运动受限状态）假设各构件处在静止状态（相当于运动受限状态）（2）关节力）关节力手端输出力手端输出力 二、静力学方程二、静力学方程 1、 手部端点广义力（力矩）手部端点广义力（力矩） F 2、 关节广义驱动力（力矩）关节广义驱动力（力矩）n21nFFFF21忽略摩擦力、重力等忽略摩擦力、重力等F 手部端点虚位移手部端点虚位移zyxP654321qqqqqq
2、q关节虚位移关节虚位移43212211FFFFqqWzyxPFqWTT0WPFqWTT0)(TTFJFJT雅可比转置矩阵雅可比转置矩阵TJ虚位移原理：虚位移原理：qJFqTT0)(qFJTT例题例题 二自由度平面关节机器人，知端点力，略摩擦、重二自由度平面关节机器人，知端点力，略摩擦、重力，求关节力矩。力，求关节力矩。TYXFFF,01902解：解：1221221112212211clclclslslslJ1221221221112211clslclclslslJTYXTFFclslclclslslFJ122122122111221121YXYXFclFslFclclFslsl12212221
3、2211122111)()(XYXFlFlFl22121XYXFlFlFl22121 三、静力学两类问题：三、静力学两类问题： 1、 正向静力学正向静力学知各关节驱动力（力矩），求手部知各关节驱动力（力矩），求手部端点能输出的力（力矩）端点能输出的力（力矩） 。 2、 逆向静力学逆向静力学知手部端点作用力（力矩），求关知手部端点作用力（力矩），求关节需施加的力（力矩）。节需施加的力（力矩）。 机器人通常是逆向力学问题。机器人通常是逆向力学问题。 42 机器人动力学机器人动力学 一、动力学两类问题：一、动力学两类问题： 1、 正向动力学正向动力学知各关节驱动力（力矩），求末端知各关节驱动力（力矩
4、），求末端夹持器及各关节位移、速度、加速度。夹持器及各关节位移、速度、加速度。 2、 逆向动力学逆向动力学知末端夹持器及各关节位移、速度、知末端夹持器及各关节位移、速度、加速度。求实现这些关节运动参数所需的关节驱动力加速度。求实现这些关节运动参数所需的关节驱动力（力矩）。（力矩）。 机器人通常是逆向动力学问题。机器人通常是逆向动力学问题。 要准确实现预定的末端夹持器时变位姿及速要准确实现预定的末端夹持器时变位姿及速度，要按动力学方程求出各关节相应时变驱动度，要按动力学方程求出各关节相应时变驱动力矩。然后准确控制各伺服驱动马达的驱动力力矩。然后准确控制各伺服驱动马达的驱动力矩。矩。 二、动力学求
5、解方法：二、动力学求解方法： 常用以下两方法常用以下两方法 1、牛顿、牛顿欧拉方程法欧拉方程法 (1)牛顿方程牛顿方程刚体质心运动方程刚体质心运动方程 dtdvmmaF (2)欧拉方程欧拉方程刚体转动方程刚体转动方程IIMCCICM刚体角速度刚体角速度刚体角加速度刚体角加速度刚体上作用力矩刚体上作用力矩刚体相对于原点通过质心刚体相对于原点通过质心C并与刚体固连的并与刚体固连的刚体坐标系的惯性张量刚体坐标系的惯性张量平面定轴转动：平面定轴转动：IM 特点特点:每个杆件列出动力学方程组，含有关节间约束每个杆件列出动力学方程组，含有关节间约束力，计算麻烦，但便于进行构件强度计算。力，计算麻烦，但便于
6、进行构件强度计算。 2、拉格朗日方程法、拉格朗日方程法 公式中不含关节间约束力（运动副反力），计公式中不含关节间约束力（运动副反力），计算简化算简化 三三 、拉格朗日方程法拉格朗日方程法一一、力学分析思路进程（平面运动为例）、力学分析思路进程（平面运动为例）1、静力分析：静力分析： 匀速运动或静止。不考虑惯性力，动载荷。匀速运动或静止。不考虑惯性力，动载荷。 合外力或力偶距之和为零合外力或力偶距之和为零00MF 2、 动力分析动力分析：变速运动。：变速运动。 解法解法 动力学方程法动力学方程法 JMmaF00JMmaF动静法动静法达伦伯原理考虑惯性力达伦伯原理考虑惯性力缺点：出现运动副反力缺点
7、：出现运动副反力 3、虚位移原理、虚位移原理：静力平衡状态下，所有主动：静力平衡状态下，所有主动力在任何虚位移中的元功之和为零力在任何虚位移中的元功之和为零分析静力分析静力学。学。 好处：运动副反力不出现。好处：运动副反力不出现。 几何静力学：二力平衡，三力汇交几何静力学：二力平衡，三力汇交 分析静力学：虚位移原理分析静力学：虚位移原理0cosiiiF 4、动力学普遍方程：、动力学普遍方程： 动力学问题动力学问题 =达伦伯原理达伦伯原理+虚位移原理虚位移原理 动力学问题动力学问题 增加惯性力增加惯性力达伦伯原理达伦伯原理静力静力学问题学问题虚位移原理。虚位移原理。 特点：不出现约束力，但方程数
8、太多，解太多特点：不出现约束力，但方程数太多，解太多的联立方程。的联立方程。 nigiiFF10)( 5、拉格朗日方程、拉格朗日方程 广义坐标，广义力广义坐标，广义力 动力学方程数与自由度数相等动力学方程数与自由度数相等 常规常规6自由度机器人只解自由度机器人只解6个方程个方程 二、拉格朗日方程法二、拉格朗日方程法 方程方程iiiFqLqLdtdqiFi=1,2,3,.n 与自由度数相等与自由度数相等 L=T-U 拉格朗日函数拉格朗日函数T系统动能系统动能 U 系统势能系统势能 q- 广义坐标广义坐标 。移动或转动。移动或转动 广义坐标一阶导数广义坐标一阶导数 广义力广义力(非有势力，即不含重
9、力、弹力等）。非有势力，即不含重力、弹力等）。广义坐标是移动：广义力是力，广义坐标是移动：广义力是力， 广义坐标是转广义坐标是转动时：广义力是力矩动时：广义力是力矩 三、简例三、简例 两杆工业机器人模型，质量两杆工业机器人模型，质量 m1, m2 在端部，在端部， L1, L2 式用拉格朗日方程法式用拉格朗日方程法 进行动力分析。进行动力分析。 解：解：1、选择广义坐标、选择广义坐标 2、选择广义力、选择广义力 关节驱动力矩：关节驱动力矩：1 , 2 2211qq2211FF 3、写出构件、写出构件1、2的动能的动能,势能势能 (1)构件构件1的动能的动能 (2)构件构件1的势能的势能21.2
10、11121lmT 1111cosglmU (3)构件构件2的动能的动能 质心坐标质心坐标)cos(cos)sin(sin212112212112llyllx 质心速度质心速度)(sin(sin)(cos(cos.2.1212.1112.2.1212.1112.llyllx 质心速度质心速度: 构件构件2的动能的动能)(cos2)2(.2.1.21221.22.2.1.2122.2121.2222.22l lllxyv)(cos2)2(21.2.1.21221.22.2.1.2122.212122l lllmT (4)构件构件2的势能的势能)(coscos21221122glmglmU 4、写出
11、拉格朗日函数、写出拉格朗日函数 5 、对拉格朗日函数求导、对拉格朗日函数求导2121UUTTUTL1L2L2L1LiiiFqLqLdtd 对对t求导求导1Ldtd2LdtdiiiFqLqLdtd 6-带入拉格朗日方程带入拉格朗日方程 iiiFqLqLdtd 7.导出机器人动力学方程导出机器人动力学方程机器人运动微分方机器人运动微分方程。程。 )sin(sinsinsin2coscos221222222121121212212222122221221222221211llllgml lmgmml lml lmlml lmmmm)sin(sincos2122122212222122122222lg
12、ml lmlml lmlm 机器人动力学方程机器人动力学方程机器人运动微分方程。机器人运动微分方程。12112111222122211112121111)(DDDDDDD22122121222222212112221212)(DDDDDDD111D212D21111D21121112)(DD惯性力影响项惯性力影响项耦合力影响项耦合力影响项222D121D22222D离心力影响项离心力影响项哥氏力影响项哥氏力影响项21221212)(DD2D1D重力影响项重力影响项21211D22122D拉格朗日动力学方程理论应用拉格朗日动力学方程理论应用 （1）已知各关节广义驱动力，构件质量、转动惯量，解）已
13、知各关节广义驱动力，构件质量、转动惯量，解格朗日方程可求出各关节位移、速度、加速度表达式。格朗日方程可求出各关节位移、速度、加速度表达式。 （2）已知末端夹持器轨迹、速度、加速度要求，解格）已知末端夹持器轨迹、速度、加速度要求，解格朗日方程可求出各关节为实现预定的运动参数所必须朗日方程可求出各关节为实现预定的运动参数所必须施加在各关节上的广义驱动力施加在各关节上的广义驱动力（3）为机器人运动控制提供理论基础）为机器人运动控制提供理论基础按拉格朗日动力学方程控制按拉格朗日动力学方程控制 存在问题存在问题 （1 1）格朗日方程建模假设：构件刚体、无弹性及塑性）格朗日方程建模假设：构件刚体、无弹性及
14、塑性变形、无间隙、无摩擦等变形、无间隙、无摩擦等 （2 2）实际各种干扰存在，实际机械工作参数不准确性）实际各种干扰存在，实际机械工作参数不准确性（质量、转动惯量等）（质量、转动惯量等）（3 3）动力学模型关节间耦合性极强，参数相互影响，解）动力学模型关节间耦合性极强，参数相互影响，解耦计算量惊人，无法实时控制，仅按拉氏方程开环控耦计算量惊人，无法实时控制，仅按拉氏方程开环控制准确实现预定运动规律不可能。制准确实现预定运动规律不可能。办法：简化处理：简化的动力学闭环单关节反馈控制办法：简化处理：简化的动力学闭环单关节反馈控制 四、手端无约束机器人动力学方程通式四、手端无约束机器人动力学方程通式)(),()(qGqqHqqDqqD)(),(qqH)(qG惯性力影响项惯性力影响项离心离心 (哥氏）哥氏）力影响项力影响项重力影响项重力影响项)(),()(qGqqHqqD 五、手端运动受限机器人动力学方程通式五、手端运动受限机器人动力学方程通式FJTF
