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1、4.1 4.1 圆的标准方程圆的标准方程 我们在前面学过，在平面直角坐标系中，两我们在前面学过，在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线线在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？AMrxOy 当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了因此一个圆最基本要素是因此一个圆最基本要素是圆心和半径圆心和半径xOyA(a,b)Mr(x, y) 如图，在直角坐标系中，圆心（点）如图，在直角坐标系中，圆心（点）A的位置用的位置用坐标坐标 (a,b) 表示，半径表示，
2、半径r的大小等于圆上任意点的大小等于圆上任意点M(x, y)与圆心与圆心A (a,b) 的距离的距离 符合上述条件的圆的集合是什么？你能用描述法符合上述条件的圆的集合是什么？你能用描述法来表示这个集合吗？来表示这个集合吗？rMAMp|符合上述条件的圆的集合：符合上述条件的圆的集合：xOyA(a,b)Mr(x, y) 圆上任意点圆上任意点M(x, y)与圆心与圆心A (a,b)之间的距离能之间的距离能用什么公式表示？用什么公式表示？rMAMp|rbyax22)()(222)()(rbyax.21221221yyxxPP根据两点间距离公式：根据两点间距离公式：则点则点M、A间的距离为：间的距离为：
3、.22byaxMA即：即： 是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？个方程的坐标的点都在圆上？222)()(rbyax 点点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点在圆上，由前面讨论可知，点M的坐的坐标适合方程；反之，若点标适合方程；反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，的坐标适合方程，这就说明点这就说明点 M与圆心的距离是与圆心的距离是 r ，即点，即点M在圆心为在圆心为A (a, b)，半径为，半径为r的圆上的圆上 把这个方程称为圆心为把这个方程称为圆心为A(a, b)，半径长为，半径长为r 的圆的圆的方程，把它叫做的方程
4、，把它叫做圆的标准方程圆的标准方程（standard equation of circle）.222)()(rbyax 因为圆心是原点因为圆心是原点O(0, 0)，将，将x0，y0和半径和半径 r 带入圆的标准方程：带入圆的标准方程： 圆心在坐标原点，半径长为圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是什么？的圆的方程是什么？ 得得：222)0()0(ryx 整理得整理得：222ryx 例例1 写出圆心为写出圆心为 ，半径长等于，半径长等于5的圆的的圆的方程，并判断点方程，并判断点 ， 是否在这是否在这个圆上个圆上)3, 2( A)7, 5(1M) 1, 5(2M 解：解：圆心是圆心是 ，半径长等
5、于，半径长等于5的圆的标准的圆的标准方程是：方程是：)3, 2( A25) 3()2(22yx 把把 的坐标代入方程的坐标代入方程 左右两边相等，点左右两边相等，点 的坐标适合圆的方程，所以点的坐标适合圆的方程，所以点 在这个圆上；在这个圆上；)7, 5(1M25) 3()2(22yx1M1M) 1, 5(2M2M2M 把点把点 的坐标代入此方程，左右两边的坐标代入此方程，左右两边不相等，点不相等，点 的坐标不适合圆的方程，所以点的坐标不适合圆的方程，所以点 不不在这个圆上在这个圆上 例例1 写出圆心为写出圆心为 ，半径长等于，半径长等于5的圆的的圆的方程，并判断点方程，并判断点 ， 是否在这
6、是否在这个圆上个圆上)3, 2( A)7, 5(1M) 1, 5(2M 解：解：圆心是圆心是 ，半径长等于，半径长等于5的圆的标准的圆的标准方程是：方程是：)3, 2( A25) 3()2(22yxAxyoM1M2 怎样判断点怎样判断点 在圆在圆 内呢？内呢？还是在圆外呢？还是在圆外呢？),(000yxM222)()(rbyaxAxyoM1M2M3 从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点的坐标带入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在点的坐标带入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上这个圆上，
7、反之如果不成立则不在这个圆上 怎样判断点怎样判断点 在圆在圆 内呢？内呢？还是在圆外呢？还是在圆外呢？),(000yxM222)()(rbyaxAxyoM1M2M3 可以看到：点在圆外可以看到：点在圆外点到圆心的距离大于半径点到圆心的距离大于半径 r ； 点在圆内点在圆内点到圆心的距离小于半径点到圆心的距离小于半径 r 例例2 2 的三个顶点的坐标分别的三个顶点的坐标分别A A(5,1), (5,1), B B(7,(7,3)3)，C C(2, (2, 8)8)，求它的外接圆的方程，求它的外接圆的方程ABC 分析分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角：不在同一条直线上的三个点可以确
8、定一个圆，三角形有唯一的外接圆形有唯一的外接圆 解解：设所求圆的方程是：设所求圆的方程是 （1）222)()(rbyax 因为因为A(5,1), B(7,3)，C(2, 8) 都在圆上，所以它们的坐都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（标都满足方程（1）于是）于是222222222)8()2()3()7()1 ()5(rbarbarba.25, 3, 22rba所以，所以， 的外接圆的方程的外接圆的方程 ABC25) 3()2(22yx解此方程组，得：解此方程组，得： 分析分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆形有唯一的外
9、接圆 解解： 例例2 2 的三个顶点的坐标分别的三个顶点的坐标分别A A(5,1), (5,1), B B(7,(7,3)3)，C C(2, (2, 8)8)，求它的外接圆的方程，求它的外接圆的方程ABC 例例3 已知圆心为已知圆心为C的圆经过点的圆经过点A(1, 1)和和B(2, 2)，且圆心，且圆心C在直线上在直线上l：x y+1=0，求圆心为，求圆心为C的圆的标准方程的圆的标准方程 分析分析：已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大：已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大小圆心为小圆心为C的圆经过点的圆经过点A(1, 1)和和B(2, 2)，由于圆心，由于圆心C与与A, B两点
10、的距离相等，所以圆心两点的距离相等，所以圆心C在线段在线段AB的垂直平分线的垂直平分线 上又上又圆心圆心C在直线在直线l 上，因此圆心上，因此圆心C是直线是直线l与直线与直线 的交点，半径的交点，半径长等于长等于|CA|或或|CB|ll 解解：因为因为A(1, 1)和和B(2, 2)，所以线段，所以线段AB的中点的中点D的坐标的坐标),21,23(直线直线AB的斜率的斜率:31212ABk因此线段因此线段AB的垂直平分线的垂直平分线 的方程是的方程是l)23(3121xy即即033 yx圆心圆心C的坐标是方程组的坐标是方程组01033yxyx的解的解 例例3 已知圆心为已知圆心为C的圆经过点的
11、圆经过点A(1, 1)和和B(2, 2)，且圆心，且圆心C在直线上在直线上l：x y+1=0，求圆心为，求圆心为C的圆的标准方程的圆的标准方程 解解：所以圆心所以圆心C的坐标是的坐标是)2, 3(圆心为圆心为C的圆的半径长的圆的半径长5)21 ()31 (|22 ACr所以，圆心为所以，圆心为C的圆的标准方程是的圆的标准方程是25)2() 3(22yx解此方程组，得解此方程组，得. 2, 3yx 例例3 已知圆心为已知圆心为C的圆经过点的圆经过点A(1, 1)和和B(2, 2)，且圆心，且圆心C在直线上在直线上l：x y+1=0，求圆心为，求圆心为C的圆的标准方程的圆的标准方程 解解：圆的基本要素圆的基本要素圆的标准方程圆的标准方程圆心在原点的圆心在原点的圆的标准方程圆的标准方程判断点与圆判断点与圆的位置关系的位置关系
