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1、第6章欧几里得空间在我们所接触到的一类集合,如解析几何中所有三维向量的集合R3,次数小于或等 于n的实系数多项式集合Pnx以及n X m阶实矩阵的集合PnXm等等.都在加法和数 乘这种代数运算下是封闭的.不管这些集合是如何构成的,其元素(通称为向量)之间的 加法和数乘都满足共同的代数法则将这样的加法和数乘以及所满足得法则抽象出来 就引进了线性空间的概念如果说解析几何中的三维几何空间R3是线性空间一个最具 体的模型的话,我们会发现R3中向量的长度、夹角等几何性质在线性空间理论中没有 得到反映.而向量之间的度量等几何性质在物理和几何等许多问题中具有十分重要的作 用因此,本章的主要目的就是研究一类具
2、有度量的线性空间-欧几里得空间?6.1定义与基本性质从解析几何中我们知道,对于三维向量所构成的线性空间R3中任意两个向量a和 b,设a和b分别是他们的长度，是他们之间的夹角,则其内积(有时又称为数量积 或点乘)定义为(a, b) = ab cos .这个具体的内积满足对称性线性性和正定性等基本性质反之向量a的长度以及向量a和b之间的夹角也可由内积表示Aa = ( )a,a = arccos(00 a,ab,b因此,如果我们首先给出满足基本性质的内积的定义则向量之间的长度和夹角也 就可以由内积表示1 .欧几里得空间的定义定义1.1设V是实数域R上的线性空间如果V内任意两个向量a和b都按某一 法则
3、对应于一个实数记作(a, b),且满足(1)对称性:即对任意两个向量a, b V ,有(a, b) = (b, a)(2)线性性:即对任意一个实数和任意三个向量a, b, c V ,有(a, b) = (a, b) (a + b, c) = (a, c)+ (b, c)(3)正定性:即对于任意一个向量a V ,有(a, a) 0,等号成立当且仅当a =。(零 向量).则称(a, b)为a和b之间的内积，定义了这种内积的实数域R上的线性空间V称为 欧几里得(EUdid)空间，简称欧氏空间.简言之欧氏空间就是装配了内积的线性空间 这样的线性空间,不但具有代数性质同时也具有了几何性质注意到从定义中的
4、和可知,对任意两个实数1 f2和任意三个向量a,b,c V, 也有( a + 2 b, c) = (a, c)+ 2 (b, c)(a, b + 2c) = (a, b)+ 入2 (a, c)推而广之有kmk m( Nai, jbj) = j (a, bj)i=1j=1i=1 j=1另外 Q)和(2)也蕴涵着下列特殊情况(a, 0) = 0这里0表示线性空间的零向量.读者不妨自己证明上述内积的定义其实并不陌生从定义中的(1)和(2)可以看出(a, b)实际上定义了 一个V上的双线性函数如果V是一个有限维线性空间那么(a, b)在V的一组基下对 应一个对称的实矩阵而定义中的(3)表明(a, a)
5、是一个正定的二次型即对应的实矩阵 是正定矩阵反之如果在V内给定一个双线性函数f (a, b),且f (a, a)是一个正定的二 次型则可以通过这样的双线性型函数定义V上一个内积(a, b) = f (a, b)使之成为一个欧氏空间由此可见对于实数域R上有限维的线性空间V的内积概念和 二次型是紧密联系的.2 .欧几里得空间中向量的长度与角度设V是一个欧氏空间我们可以通过其内积定义V中任意一个向量的长度和任意两 个向量之间的夹角为此我们首先证明如下命题命题1.1 (柯西-施瓦茨不等式)：设V是欧氏空间(，)是V的内积,则对V中 的任意两个向量a和b,有 (a,b) ( )( )a,ab,b证明 如
6、果a或者b有一个为零向量,则结论显然成立.否则对任意的 ,有O (a + b, a + b)=(a, a)2 +2(a, b) +(b, b).上式右端是的二次多项式,其值非负,故没有相异的实根,因此其判别式满足2(a, b)2 4(a,a)(b, b)即得不等式向量的长度：设V是欧氏空间(，)是V的内积,对于任意的a V ,定义Aa = ( )a,a称为a的长度或模.从内积的性质(3)可知a = O的充分必要条件是a是零向量. 当Ial = I时称a为单位向量.对于任意一个非零向量a,则不难验证向量 由a的长度 为1.因此通过这样的方式可以把任何一个非零向量压缩(或放大)为一个单位向 量这个
7、过程称为向量的归一化.根据长度的定义命题中的柯西-施瓦茨不等式为(a, b) ab.我们还不难证明 下列三角不等式成立a + b a + b这是因为a + b2 = (a + b, a + b) = (a, a)+2(a, b)+(b, b) a2 2ab b2 = (a + b)2所以a + b a + b因此长度也给出欧氏空间中任意两个向量a和b之间的“距离：d(a, b) = a - b读者不难验证上述定义满足距离定义的三个要素,即对称性d(a, b) = d(b, a),正定性d(a, b) 0,等号成立当且仅当a = b和三角不等式：d(a, b) d(a, c)+ d(c, b)向
8、量的夹角：对于欧氏空间V中任意两个非零向量a和b,由柯西-施瓦茨不等式 得1 (a，b)-一1 ab 1所以可以定义两个非零向量a和b之间的夹角为 = arcs ajb 建。一特别,当(a, b) = O时,称非零向量a和b相互正交或相互垂直，记作a b.还可以定义向量a垂直于V的子空间W ,即a垂直于Vi中任何一个向量子空间 Vi和V2之间相互垂直即是Vi中的任何一个向量垂直于V2中的任何一个向量例如在 解析几何的三维欧式空间中z轴正方向的单位向量k垂直于由i和j张成的二维子空 间，即OXy平面.?6.2有限维欧几里得空间中的基基是有限维线性空间理论中的纲把握住这个纲,也就基本把握住了整个线
9、 性空间现在我们要研究欧氏空间中内积在空间的基之下的表示以及构成空间基的向 量之间的内积关系设V是有限维的欧氏空间1 , 2 , , Bn是它的一组基.因此，V中任意两个向量a和b的内积可以表示为n(a, b) = (ei, ej)abjij=1这里a = Si l + S2 2 + + 3nb = bi + b2e2 + - + be因此,把握住内积在基向量之间的取值也就把握住了内积在任何两个向量上的取值 将基向量之间的内积记为gy = (e, ej), i, j = 1, 2,，n则根据内积的性质矩阵G = (gij)%-是一个实的对称的正定矩阵利用矩阵G欧氏空间V中任意两个向量a和b的内
10、积可 以通过他们在这组基下的坐标(a ,a2 , -,an), (b1 ,b2 ,，bn)表示n(a, b) = gjaibjM= 1称矩阵G是内积(a, b)在基e , 2 ,，e下的度量矩阵.现在的问题是(1)欧氏空间的内积在不同的基下对应的度量矩阵之间有没有什么关系(2)是否存在一组特殊的基,使得欧氏空间的内积对应的度量矩阵尽可能简单？比 如说是否存在这样一组基,使得内积在这组基下的度量矩阵是单位矩阵要回答第一个问题就要从n维线性空间中两组不同的基之间的关系出发.设n 1, n 2，小是欧氏空间V的另一组基.对应的度量矩阵为t?=(所)根据线性空间的理论可知,存在一个矩阵使得两组基满足(
11、7，n 2，) = (e, 2,，e)T因此，有 = TGT即欧氏空间的内积在不同基下的度量矩阵相互合同对于第二个问题就是希望找出一组类似三维几何空间中构成直角坐标系的单位正 交向量i, j , k的一组基.如果欧氏空间V中有一组两两正交的非零向量a1 , a2 ,，a,，即(a, aj) = a2 ij, i, j = 1, - ,r则称该向量组为正交向量组.显然正交向量组一定是线性无关的.这是因为如果有 1 a + 2 32 + + r3r = O则两边分别用ai1 i = 1,，r作内积,得ia2 = OJ = 1,，r因为国是非零向量所以就有 = 0.这就证明了正交向量组的线性无关性如
12、果r就 是空间的维数则正交向量组就是V的一组基.定义2.1在n维欧氏空间中,含n个向量的正交向量组称为正交基.由单位向量组 成的正交基称为标准正交基例1.1中所给出的a就是欧氏空间Rn中的标准正交基.设e , 生 ,，ez是欧氏空间V的一组标准正交基,由定义知1. t = j(e, j) = 6jj = O. a 4 i换句话说一组基为标准正交基的充分必要条件就是空间上的内积在这组基下的度量矩 阵为单位矩阵因为任何一个度量矩阵是正定的,根据实二次型的结果,正定矩阵一定 合同于单位矩阵.度量矩阵合同得过程就是对应的基之间的变换过程.因此,对于欧氏 空间中任何一组基,都可以通过基变换得到另一组基,
13、使得内积在这组基下的度量矩阵 是单位矩阵这说明欧氏空间的单位正交基是存在的.下面将给出如何从一组基出发,构造一组标准正交基.构造的方法称为施密特(Schmidt) 正交化方法.施密特(Schmidt)正交化方法 设 1 ,，an是欧氏空间V的一组基,我们可以 将其改造成为标准正交基.做法如下首先将a 1归一化,令1 = i1则有(e, e1) = 1.然后在e1与a2所张成的子空间中找出一个与e1正交的向量或者说在6与的 线性组合中着这样一个向量图2.1上图启发我们这样的向量是 2 = Q2 - (a2, e )e即，。2减去a2在e上的投影.不难验证(e1,2) = 0再将P2归一化,得3H
14、显然(, e2) = 0, (e2, e2) = 1继续上面的过程,假设利用 1 , 2 , ak- (k - 1 n)已经构造出了单位化的正交向量组ei , 2 , - , k-1 ,我们再从ak和l , 2 , - , k-1所张成的子空间中挑选一个与 e , 2 ,，ek-都正交的向量 k,这个向量如下k-1 k = ak -(a, e)eii=1显然它一定非零,否则就有k-1ak =(a, ei)ei=1即ak是例，62 ,，ek-的线性组合从而也是a 1 ,，ak-的线性组合这与a , a2 , an线性无关矛盾.另一方面k-1( k 1 j) = (ak, ej) -(a, e)(i, ej) = 0i=1故 k与所有ei , 2 , , ek-正交再将 k归一化得到一个与所有ei , 2 , , ek-都正 交的单位向量ek=ik将上述过程一直进行到k = n,这样就得到了一组标准正交基e1 , e2 ,，e令?6.3欧几里得空间中的线性变换由于有了内积,欧氏空间既保留了线性空间的代数性质又具有了几何含义.本节 我们感兴趣的是那些与内积密切相关的线性变换.1 .正交变换和正交矩阵简言之正交变换就是那些保持内积
