平面几何中的射影定理.docx

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图3.1-12平面几何中的射影定理例6如图3.1-12,在直角三角形ABC中,DIMC为直角,A。八3。于。.求证:(1)AB2=BD2BC,AC2=CDc!CB;(2)AD2=BD?CD证明(1)在RrVBAC与RfV3D4中,2B?B,DARrNBACNBDA,=-,BPAB2=BDlBC.BDBA同理可证得AC2=CD?CB.(2)在mVAB。与REVcA。中,?C90o-7CAD?BAD,RNABDSRNCAD,=,KPAD2=BD2DC.BDAD我们把这个例题的结论称为射影定理,该定理对直角三角形的运算很有用.例1:证明直角三角形的勾股定理证明:如图在直角三角形ABC中,DBAC为直角,ADBC于。.则AB2=BD2BC,AC2=CD?CB;所以AB2+AC2=BD?BCCDlBC=BC(BD+CD)=BC2图 3.1-13例2:在VABC中,ADBC于D,DE八AB于E,DF八AC于尸,求证:AElABAF?AC.证明QADBC,VADB为直角三角形,又OE八AB,由射影定理,知AD2=AE2AB.同理可得A。?=AF?AC.AE?ABAF?AC.

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