第一章概率论的基本概念知识点梳理汇总.docx

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1、第一章概率论的基本概念确定性现象:在一定条件下必然发生的现象随机现象:在个别试验中其结果呈现出不确定性,在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象随机试验:具有下述三个特点的试验:1 .可以在相同的条件下重复地进行2 .每次试验的可能结果不止一个,且能事先明确试验的所有可能结果3 .进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现样本空间:将随机试验E的所有可能出现的结果组成的集合称为E的样本空间,记为S样本点:样本空间的元素,即E的每个结果,称为样本点样本空间的元素是由试验的目的所确定的。随机事件:一般,我们称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件,简称事件在每次试验中,当且仅当这一子集中的一个样

2、本点出现时,称这一事件发生。基本事件:由一个样本点组成的单点集,称为基本事件。必然事件:样本空间S包含所有的样本点,它是S自身的子集,在每次试验中它总是发生的,称为必然事件。不可能事件:空集中不包含任何样本点,它也作为样本空间的子集,在每次试验中,称为不可能事件。事件间的关系与运算:设试验E的样本空间为S,而A,B,(k=1,2,)是S的子集。1 .若Au8,则称事件B包含事件A,这指的是事件A发生必然导致事件B发生。若AuN且3uA,即A=B,则称事件A与事件B相等。2 .事件AUB=xIx4或XW瓦称为事件A与事件B的和事件。当且仅当A,B中至少有一个发生时,事件ADN发生。类似地,称64

3、为事件A,4,,A,t的和事件;称IAa为可列个事件A,4,A=IJt=I的和事件。3 .事件4cB=xIx4且x8称为事件A与事件B的积事件。当且仅当A,B同时发生时,事件AC5发生。ACB记作AB。类似地,称为n个事件A1,4,,4的积事件;称为可列个事件=l=14 ,A2,的积事件。4 .事件A-8=xIA且不任8称为事件A与事件B的差事件。当且仅当A发生、B不发生时事件A-B发生。5 .若ACB=,则称事件A与B是互不相容的,或互斥的。这指的是事件A与事件B不能同时发生。基本事件是两两互不相容的。6 .若ADB=S且ACB=,则称事件A与事件B互为逆事件。又称事件A与事件B互为对立事件

4、。这指的是对每次试脸而言,事件A,B中必有一个发生。A的对立事件彳.A=S-A.设A8,C为事件,则有交换律:AuB=BuA;AnB=BryA.结合律:Au(BuC)=(AuB)UC;AC(BCC)=(ACB)Ce分配律:Au(BcC)=(AdB)C(AuC);An(BuC)=(AnB)U(AnC).德摩根律:ADB=AC5;AnB=AuB.须率与概率须率:在相同的条件下,进行了n次试验,在这n次试验中,事件A发生的次数八,称为事件A发生的频数,比值%/n称为事件A发生的频率,并记成力(八)频率的基本性质:1.0(八)12(5)=13.若4,4,,Ar是两两互不相容的事件,则fn(AiOA2U

5、-OAa)=fn(Al)+w(Ai)概率:设E是随机试验,S是它的样本空间,对于E的每一事件A赋予一个实数,记为P(八),称为事件A的概率,如果集合函数P()满足下列条件:1 .非负性2 .规范性:对于必然事件S,有P(三)=I3 .可列可加性:P(AiuA2u)=P(A1)+P(A2)+-概率的性质:1 .P()=02 .(有限可加性)若A,A2,,A”是两两互不相容的事件,则有P(A1uA2uuA,)=P(A1)+P(A2)+P(An)3 .设A,B是两个事件,若AuB,则有P(B-A)=P(B)-P(八),P(B)P(八)4 .对于任一事件A,P(八)15 .对于任一事件A,有P(X)=

6、I-P(八)6 .对于任意两事件A,B有P(ADB)=P(八)+P(B)-P(AB)一般地,对于任意n个事件4,4,,A“,可以用归纳法得出P(AiuA2uuA,)=YP(Ai)-YP(AiAj)+ZaAJA+=1lijnij0,称P(BIA)=P(AB)/P(八)为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.条件概率P(IA)的性质:1 .非负性:P(BIA)02 .规范性:对于必然事件S,有P(SlA)口3 .可列可加性:设片,鸟,是两两互不相容的事件,则有00OOBiIA)=ZP(BjIA)Z=I对于任意事件B,C,有P(BUGIA)=P(BIA)+P(CIA)-P(BCIA)乘法定理:设

7、P(八)0,则有P(AB)=P(BIA)P(八)一般,设1,4,,A”为n个事件,n22,且P(A4八A-)。,则有P(A1A2aAzj)=P(AIA1A2-i)(4-iA4-2)A)P(八)划分:设S为试验E的样本空间,片,与,八纥为E的一组事件,若1. BBj=,i手=2. BBzSBft=S,则称男,与,八纥为样本空间S的一个划分全概率公式:设试脸E的样本空间为S,A为E的事件,综八纥为S的一个划分,且P(Bi)0(i=l,2,n)f则P(八)=P(AIBl)P(Bl)+P(AIB2)P(B2)+P(AIBn)P(Bn)贝叶斯公式:设试验E的样本空间为S,A为E的事件,B1,B2,为S的

8、一个划分,且P(八)0,P(8j)0(i=l,2,3%则PB,IA)=P(AIBjP(Bj)/NP(AIBj)P(Bj)尸先验概率:根据以往数据分析得到的概率后验概率:在得到信息之后再重新加以修正的概率独立性:设A,B是两事件,如果满足等式P(AB)=P(八)P(B),则称事件A,B相互独立,简称AB独立定理一:设A,B是两事件,且P(八)0,若A,B相互独立,则P(BlA)=P(B),反之亦然。定理二:若事件A与B相互独立,则下列各对事件也相互独立:A与万,,与B,与万设A,B,C是三个事件,如果满足等式:P(AB)=P(八)P(B)P(AC)=P(八)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P

9、(ABC)=P(八)P(B)P(C)则称事件A,B,C相互独立。一般,设4,A2,,A”是n(n22)个事件,如果对于其中任意2个,任意3个,,任意n个事件的积事件的概率,都等于各事件概率之积,则称事件44,4相互独立。推论:1 .若事件i,A2,,A“(n22)相互独立,则其中任意k(2WkWn)个事件也是相互独立;2 .若n个事件4,4,,A(n,2)相互独立,则将44,,A”中任意多个事件换成它们的对立事件,所得的n各事件仍相互独立(1)排列组合公式匕=3从m个人中挑出n个人进行排列的可能数(tn-n)lC:=-从m个人中挑出n个人进行组合的可能数nl(m-n)!(2)加法和乘法原理加法

10、原理(两种方法均能完成此事):m+n某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,第二种方法可由n种方法来完成,则这件事可由m+n种方法来完成。乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):mn某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,第二个步骤可由n种方法来完成,则这件事可由mXn种方法来完成。(3)一些常见排列重复排列和非重复排列(有序)对立事件(至少有一个)顺序问题(4)随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。(5)基本事件、样本空间和

11、事件在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有如下性质:每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件;任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用。来表示。基本事件的全体,称为试验的样本空间,用表示。一个事件就是由C中的部分点(基本事件)组成的集合。通常用大写字母人B,C,表示事件,它们是的子集。C为必然事件,0为不可能事件。不可能事件(0)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理,必然事件()的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。(6)事件的关系与运算关系:如荣事件A的组成部分也是事件8的组成部分

12、,CA发生必有事件9发生):AUB如果同时有4uB,BnA,则称事件力与事件8等价,或称力等于B:A=B0A8中至少有一个发生的事件:力U民或者小民属于力而不属于3的部分所构成的事件,称为力与8的差,记为A-Bt也可表示为HT8或者AB,它表示A发生而不发生的事件。A.5同时发生:Hn6,或者4氏AB=0,则表示A与B不可能同时发生,称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。Q-A称为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为司。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。运算:结合率:A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC分配率:(AB)UC=(AUC)(BUC)(AUB)C=(AC)U(BC)88_A,=IJa_德摩根率:=1i=AUB=AnB,A11B=AJB(7)概率的公理化定义设C为样本空间,A为事件,对每一个事件A都有一个实数P(八),若满足下列三个条件:lo0P(八)l,2oP(C)=13对于两两互不相容的事件A,4,有AP(八)3=JZ=I常称为可列(完全)可加性。则称P(八)为事件A的概率。(8)古典概型1oQ=幼ico2G.,2P)=尸(0)=P(%)=Ln设任一事件A,它是由叼2例”组成的,则有P(八)=(1)U(0,则称些为事件A发生条P(八)件下,事件B发生的

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