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1、第6章平面图形的认识（一）考点归纳知识梳理厂!基本特征：端点个数.延伸性IT些本事实：两点之间/短；两点-条直线卜线段大小的比较：便过法和法-I线段的中点：把一条线段分成两条的线段的点r余角：如果两个角的和是一个角,那么这两个题互余I姬、射线、直线平面图形的认识余角、补角、对项向平行同角（等角）的余角相等;同角（等角）的补用相等补角：如果两个角的和是一个角,那么这两个角互补对顶角：个角的两边是另一个角两边的对顶加相等慨念：在同一平面内的两条立线基本事实：过直线外点有旦只有一条直线与这条有线平行概念：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是那么这两条宜线互相垂直基本*实：过一点TnL只有条直线与
2、已知立线垂直点到直线的距离：直线外点到这条直线的的长度重难点分类解析考点1与线段中点有关的分类讨论【考点解读】当命题的题设和结论不唯一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分类讨论求解，将不同情况结合归纳得出正确结果.例1在一直线上有A8,C三个点，M为43的中点，N为BC的中点,若AB=a,BC=b,试用乃表示线段MV的长.分析:本题要根据A,B,C三点的位置关系分三种情况讨论.解答:如图，MN=J(A3+8C)=L(a+b)；22如图，MN=-(BC-AB)=-(b-a)(ba)；22如图，MN=-(AB-BC)=-(a-b)(ab).22AMBNCCNAMBA
3、MCNB【规律技法】解答本题的关健是搞清题意，以免分类不全面，造成错误.【反馈练习】1.已知线段AB=100Cm,M为A8的中点，在AB所在直线上有一点P,N为AP的中点,若MN=I5cm,求AP的长.考点2角的度量与换算【考点解读】1周角=360平角=180,1=60,1=60.例2计算：(l)77o42,-32o45r;(2)把56。24化为度；253612x4;(4)109o24,6;(5)把3.62。化为度、分、秒.分析:运用角的进制.角的加减:同位进行加减，满60向高一位进“1”，不够减向高一位借,“1”当“60”；角的倍数:将度、分、秒分别相乘再整理进位;角的百分之几计算(除法),
4、从高位往低位运算，不能整除的余值乘60加到下一级后再做除法运算.解答:77o42,-32o45r=42o57r.(2) 56o24,=56.4o.(3) 25。3612乂4=100o144/48*=102。2448.(4) 109o24,6=18o14z.因为因=60,所以0.62。=60X0.62=372.因为l=60,所以02=60x0.2=12，所以3.62。=3。3712.【规律技法】度、分、秒间的互化要遵循“从高位向低位化，用乘法;从低位向高位化，用除法”的原则.【反馈练习】2.用度、分、秒表示：44.16=；(55)=.(2)用度表示：3215=；68。4536=.点拨:满60进1
5、,借1变60.考点3方向角的应用【考点解读】我们常利用角的有关知识来解决实际生活中的应用问题，此类题目有利于培养我们联系生活实际的能力.例3测量员沿着一块地的周围测绘，从点向东走600m到点B,再从点B向东南走500m到点C,再从点C向西南走80Om到点。，用0.5Cm代表100m画图，求DA的长(精确到10m)和DA的方向(准确到1).分析:根据题意正确画出图形是解决此类题的关健.解答:根据题意画出图形，如图：用刻度尺量得DAn5.0cm,实际上D4=5.005X100=1000(m),用量角器量得点A在点。的北偏西23的方向上.【规律技法】北偏东45(即角平分线)方向也说成东北方向，西北方
6、向即北偏西45方向，西南方向即南偏西45方向，南偏东45方向即东南方向乂2)一般地，用角度表示方向时，在哪一点观测就在那一点重新画出互成直角的南北向的直线和东西向的直线，这是解决连续观测的关键乂3)无论观测点选在何处，所画的南北方向的直线都平行，东西方向的直线也都平行.【反馈练习】3.一只蚂蚁从点O出发，沿北偏东60方向爬行2cm,碰到障碍物3,又沿北偏西60方向爬行2cm到点C.(1)请画出蚂蚁的爬行路线；(2)点C在点。的什么位置?测量出点。离点。有多远?(精确到1cm)点拨:每一次变方向都必须画一个新的十字方向标.考点4与角有关的规律探索【考点解读】角的有关问题与线段的有关问题有许多类似
7、之处，如数线段的方法同样适用于数角，用方程进行线段的有关计算也同样适用于角度的计算等.例4如图，NAQB=90。,NAOC为NAOB外的一个锐角，且NAOC=30。，射线OM平分4B0C,0N平分ZAOC.B求NMON的度数；如果中NAQB=,其他条件不变，求NMQV的度数；如果中NAOC二/(夕为锐角)，其他条件不变，求NMoN的度数；从的结果中，你能得出什么规律？线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法.请你模仿(1)一设计一道以线段为背景的计算题，并写出其中的规律.分析:此题是从特殊化的图形中寻求解题的思路，然后回到一般图形中，探求一般规律，这也是我们解决数学问题的
8、一种常用的思考方法.解答：(1)因为NAO3=90。,NAoC=30。，所以ZBOC=ZAOB+ZAOC=90o+30o=l20.因为OM平分ZBOC,所以ZCOM=-ZBOC=-120o=60o.22因为ON平分NAOC,所以NCoN=LNAOC=LX30。=15。.22所以NMON=ZCOM-ZCOn=60o-15o=45o.(2)当NAQ3=,其他条件不变时，仿可得/MON=2a.2仿可求得ZMON=NCOM-NCoN=90-幺=45。.22(4)从(1)(2)(3)的结果中，可以得出一般规律：NMoN的大小总等于NAQB的一半，与锐角/AOC的大小无关.(5)如图，已知线段A6=,点C
9、在AB的延长线上且8C=M是AC的中点，N是6。的中点，求MN的长.AMBNC规律：MN的长度总等于AB的长度的一半，而与BC的长度无关.【规律技法】根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律.其中，以特殊化的图形为载体，把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照,依照猜想数式规律的方法得到最终结论.【反馈练习】4. (2017南京期末)如图，OM是NAOC的平分线，QN是230C的平分线.如图，当NAQB=90。，NBoC=60。时，ZMON=1；如图，当NAOB=,NBOC二/时，猜想：NMoN的度数是多少?为什么?点拨:当ZAOB=,ZBOC=用时，计算方
10、法与步骤和完全相同.考点5在网格中画平行或垂直【考点解读】利用构造直角三角形的方法或平移的知识来画网格中的垂线或平行线是行之有效的方法，比单纯观察再画线要显得更为有效.例5在如图所示的方格纸上，有两点P,Q和直线BC.(1)过点P画E尸BC；过点。画G”BC;直线所与GH有怎样的位置关系?说说你的理由.分析:在网格图中利用平移的知识画平行线.解答:如图所示:FI：PzxEFGH.理由如下:因为EFBC,GHBC,根据“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，所以EFGH.【规律技法】可以利用平移的知识来画平行线(要求具备一定的对应关系).【反馈练习】5. (2017徐州期末)
11、如图，方格纸中每个小正方形的边长为ICm,A,8,C均为格点.过点C画48的平行线CD,(2)过点C画48的垂线，垂足为E;连接CACB，则ABC的面积=cm2.点拨:通过平移画平行线;利用构造直角三角形的方法画垂线;利用割补法求面积.易错题辨析易错点1求线段长度时考虑不全面例1如图，已知线段AB=I0,C是AB的中点.(1)求线段BC的长；(2)若点力在直线48上，BD=2.5,求线段CO的长.IIACB错误解答：(1)因为线段48=10,C是48的中点，所以3C=a3=5.2如图：IIi-IACBD因为BC=5,BD=2.5,所以CD=8C+3Q=7.5.错因分析:没有讨论点D在线段AB上
12、和点。在48延长线上两种情况.正确解答：(1)因为线段48=10,C是48的中点，所以3C=a3=5.2如图，当点。在线段AB上时，I111ACDB因为BC=5,BD=2.5,所以CD=BC-3。=2.5；如图，当点。在线段AB的延长线上时，因为BC=5,BD=2.5,所以CD=BC+30=7.5.综上所述，线段CZ）的长为2.5或7.5.易错辨析:在求线段的长度时，若没有给出图形，则要注意分类讨论;若给出图形，就不需要分类讨论.易错点2角度计算考虑不全面例2已知NAQ3=90。，OC是从ZAOB的顶点。引出的一条射线，若ZAOB=IABOC,求NAOC的度数.错误解答:如图所示：因为ZAOB
13、=2ABOC,ZAOB=90,所以ZBOC=-90=45,所以2ZAOC=ZAOB-ZBOC=90-45=45.错因分析:没有考虑OC在ZAOB外部时的情况.正确解答:由题意可知ZBOC=45.如图，当OC在NAOB的内部时，ZAOC=ZAOB-ZBOC=90-45=45：如图，当OC在的外部时，ZAOC=ZAOB+ABOC=135.综上所述，NAOC的度数为45或135.易错辨析:当图形的位置不明确时（尤其是在没有附图的情况下），需要对可能的位置进行讨论,不能简单地根据数量关系就进行判断.如本题中的“OC是从NAQB的顶点。引出的一条射线“，这里有两种可能，即OC可能在NAoB的内部，也可能
14、在NAQ8的外部.易错点3互余、互补的概念理解不清例3若Nl+N2+N3=180,则NI,Z2,N3互为补角.这种说法正确吗?（说明理由）错误解答:正确.理由如下:因为这3个角的和是180.错因分析:互为补角的概念理解不清，互补是两个角之间的关系.正确解答:不正确，因为互补是两个角之间的关系，而题中给出的是三个角之间的关系.易错辨析:互为余角、互为补角是指两个角之间的数量关系，1个角或超过2个角不存在“互余”或“互补”关系.例4如图，已知。是直线AB上一点，OC是任意一条射线，E分别是NAoC和NCQB的平分线.图中NAOD的补角是,/AQE的补角是.错误解答：ZBODZBOE错因分析:漏找了NAQE的另一个补角.正确解答：ZBODZBOE9ZCOE易错辨析:在解此类题目时往往会简单地写出NAQE的补角是/3。E就结束了，显然这是错误的，因为互余和互补是指具有特殊数量关系的两个角的一个定义，也就是说:如果ZA+ZB=180o,那么NA,NB互补，而与NA,NB的位置无关.因此，我们应通过数量关系来找互余和互补.本题中NCOE=N8QE,因此NAQE的补角还有
