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1、第十六章平面几何一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成）梅涅劳斯定理设A,S,C分别是ABC的三边BC,CA,AB或其延长线上的点，若A,9,C三点共线，则BACBACjTccBrACBAACRAC梅涅劳斯定理的逆定理条件同上，若H空C=L则A,B,C三点共线。A,CB,ACB塞瓦定理设A,8,C分别是AABC的三边BaCA,AB或其延长线上的点,若AA,88,CC三线平行或共点,n,1BACBAC则ACBACB塞瓦定理的逆定理设A,8,C分别是ABC的三边BC,CA,AB或其延长线上的点，若夕AC也丝=1.则AA,88,Cc三线共点或互相平行。ACB1ACB角元形式的塞瓦定理A,夕,C分别
2、是ABC的三边BC,CA,AB所在直线上的点，则AA,88,Cc平行或共点的充要条件是Sin /544 SinNACC SinNC38s in ZA A C sin ZC CB s in ZB BA广义托勒密定理设ABCD为任意凸四边形，则ABCD+BCAD2AOBD,当且仅当A,B,C,D四点共圆时取等号。斯特瓦特定理设P为AABC的边BC上任意一点，P不同于B,C,则有AP2=AB2一+AC2-BPPC.BCBC西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。西姆松定理的逆定理若一点在三角形三边所在直线上的射影共线,则该点在三角形的外接圆上。九点圆定理三角形三
3、条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。蒙日定理三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幕（即切线长）相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴）欧拉定理AABC的外心0,垂心H,重心G三点共线，且。G=IG”.2二、方法与例题1 .同一法。即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。例1在AABC中，ZABC=70o,ZACB=3Oo,P,Q为AABC内部两点，ZQBC=ZQCB=10,ZPBQ=NPCB=20,求证：A,P,Q三点共线。证明设直线CP交AQ于H,直线BP交AQ于P2,因为NACP=NPCQ=I0,所以AP ACQPcq
4、,在AABP,BPQ,AABC中由正弦定理有AB二偿。鸟二BQ_=SinZA鸟BsinZABIsin20SinNQsin30sin700DD由，得一L=一L。又因为H,P2同在线段AQ上，所以P,P?重合，又BP与Q6QP2CP仅有一个交点，所以巴，P?即为P,所以A,P,Q共线。2 .面积法。例2见图16T,QABCD中，E,F分别是CD,BC上的点，且BE=DF,BE交DF于P,求证：AP为NBPD的平分线。证明设A点到BE,DF距离分别为h,h2,则Sabe=2BEX4,SMDF5DFXh2,又因为Sabe=-SoabcifSaif,又BE=DF。所以hi=h”所以PA为NBPD的平分线
5、。3 .几何变换。例3（蝴蝶定理）见图16-2,AB是。O的一条弦，M为AB中点，CD,EF为过M的任意弦,CF,DE分别交AB于P,Qo求证：PM=MQo证明由题设OM_LAB。不妨设Ab3D作D关于直线OM的对称点。二连结尸DD,D,F,则=DMZPMD=NDMQ.要证PM=MQ,只需证/PDM=/MDQ,又NMDQ二NPFM,所以只需证F,P,M,)共圆。因为NPb二180吆fV=180NMEr二180。-NPM。（因为。_LOM。AB/DD）所以F,P,M,。四点共圆。所以APOMgMDQ所以MP=%例4平面上每一点都以红、蓝两色之一染色，证明：存在这样的两个相似三角形，它们的相似比为
6、1995,而且每个三角形三个顶点同色。证明在平面上作两个同心圆，半径分别为1和1995,因为小圆上每一点都染以红、蓝两色之一，所以小圆上必有五个点同色，设此五点为A,B,C,D,E,过这两点作半径并将半径延长分别交大圆于A1,B1,C1,D1,E1,由抽屉原理知这五点中必有三点同色，不妨设为N,B.,为则ABC与AABG都是顶点同色的三角形,且相似比为1995。4 .三角法。例5设AD,BE与CF为AABC的内角平分线，D,E,F在AABC的边上，如果NEDF=90,求NBAC的所有可能的值。解见图16-3,记NADE=,NEDC=B,由题设NFDA=2-,ZBDF=-,22由正弦定理:AED
7、ECEDESinCr.AsinZysinCsinL2但AESinaSinC得一=CEsinB.AsinCsin9BCBrSina=,所以sinAsinsinCAp又由角平分线定理有一ECAB7AB=,又BCSinC,Asin29sinA化简得他12Sina=2cos-,2I=IESinZ.BDFACOs-2cos-,即-2CoSa=2cos-.2IRJ狂-SinZADF所以口COS夕r.t-q.，所以SInBCoSa-COSsinQ=sin(-0)=0.SinaCoSa12又一JTB-Q3PG.6 .解析法。例1H是AABC的垂心，P是任意一点，HLlPA,交PA于L,交BC于X,HMlPB,
8、交PB于M,交CA于Y,HNJ_PC交PC于N,交AB于Z,求证：X,Y,Z三点共线。解以H为原点,取不与条件中任何直线垂直的两条直线为X轴和y轴,建立直角坐标系，用(xk,yJ表示点k对应的坐标，则直线PA的斜率为二一力，直线HL斜率为“一A,-力一打直线HL的方程为X(xp-xa)+y(yp-y.O=0.又直线HA的斜率为丛，所以直线BC的斜率为-幺，直线BC的方程为xxyyA=XAXu+y.WB,力又点C在直线BC上，所以xcXycy=XXByyR.同理可得XXc+yRyc=XAX5+yyR=XXc+yyc.又因为X是BC与HL的交点，所以点X坐标满足式和式，所以点X坐标满足xp+yy=
9、XXB+yAyB.同理点Y坐标满足xp+yyp=xnXc+yByc.点Z坐标满足xxp+yyi=xcxA+ycyA.由知，表示同一直线方程，故X,Y,Z三点共线。7 .四点共圆。例8见图16-5,直线1与。0相离，P为1上任意一点，PA,PB为圆的两条切线，A,B为切点，求证：直线AB过定点。证明过O作OCj_1于C,连结0A,OB,BC,0P,设OP交AB于M,则0P_LAB,又因为0APA,OBlPB,OClPCo所以A,B,C都在以OP为直径的圆上，即0,A,P,C,B五点共圆。AB与OC是此圆两条相交弦，设交点为Q,又因为OPjLAB,OClCP,所以P,M,Q,C四点共圆，所以0M0
10、P=0Q0C。QA2由射影定理OAM)MOP,所以0A2=0Q0C,所以OQ=(定值)。OC所以Q为定点，即直线AB过定点。三、习题精选1. 0和。分别是AABC的边AB,AC上的旁切圆，G)Ol与CB,CA的延长线切于E,G,。2与BC,BA的延长线切于F,II,直线EG与FH交于点P,求证：PA_L.BC。2. 设。0的外切四边形ABCD的对角线AC,BD的中点分别为E,F,求证：E,0,F三点共线。3. 已知两小圆。0与。相外切且都与大圆。相内切，AB是。01与。O?的一条外公切线，A,B在。0上，CD是。Ch与。2的内公切线，与。0?相切于点P,且P,C在直线AB的同一侧，求证：P是A
11、ABC的内心。4. AABC内有两点M,N,使得NMAB=NNAC且/MBA=NNBC,求证：AM-ANBMBNCMCN1AB-ACBCBACACB5. AABC中，0为外心，三条高AD,BE,CF相交于点H,直线ED和AB相交于点M,直线FD和AC相交于点N,求证：(1)OBlDF,OCIDE；(2)OHlMNo6. 设点I,H分别是锐角AABC的内心和垂心，点B,G分别是边AC,AB的中点，己知射线IM交边AB于点B2(B2B),射线CJ交AC的延长线于点Cz,B2Cz与BC相交于点K,A为ABHC的外心。试证：A,I,Al三点共线的充要条件是ABKBz和ACKCz的面积相等。7. 己知点A,Bi,7,点Az,B2,C2,分别在直线h,L上,BzG交BC于点M,GA2交Ae于点N,BA交BA于L求证：M,N,L三点共线。8. AABC中，ZC=9Oo,ZA=30o,BC=I,求ABC的内接三角形(三个顶点分别在三条边上的三角形)的最长边的最小值。9. AABC的垂心为H,外心为0,外接圆半径为R,顶点A,B,C关于对边BC,CA,AB的对称点分别为A,8,C,求证：8,8,。三点共线的充要条件是022t
