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1、专题15双动点问题第一饼斜率双用(含斜率和积比、中点弦问题、特殊定点问题)两点式直线方程新高考针对斜率和差积的考查越来越多，常规联立是设点找点带点，并非直接针对斜率，需要几个转化步骤，导致计算量较大，针对斜率问题，我们推出了斜率双用、齐次化、同构式三板斧，其实走到最后，都会发现那种殊途同归的感觉，到了这个感觉的时候，你也许就会有数学带给你的那种茅塞顿开之境的痛快，说到这里，又要补充一句，圆锥曲线，有手就行)直线的两点一般式：yy2-2y=工(、2-y)-y(2_XJ斜率的和差互换设椭圆+，=1的弦A&其中a(xi,X)INJ2)，则勉=(777)H=I(I)与+4=1(2),两式相减区斗5+与
2、+i=0ababaab/(%+y)斜率双用过二次曲线C上一定点P(Ab,%)做两条直线交CA(X,),8(x2,%),两点,直线PA、PB的斜率分别为匕、k2,且匕、七满足：?(4+&)+成1&+=，则直线AB恒过定点，我们会在下一讲进行重点归纳总结.在处理此类定点定值问题时，寻找对称性是关键，斜率通过和差互换，轮番上阵，最后作差得到直线(,2为已知条件,具体操作如下:两点一般式,从而找到定点,我们仅以kpAkpB=入lp-Jf=/(yo+xJxl-a2(y0+y,)根据点差法可得：J,为了对称性，下面进入斜率双用的交叉相乘模式,=%一3。=(%+/)-/(%+必)/(+%)/(%+%)-万(
3、x0+xj 二丸 /(% + y) J化简可得:(芯%+%一?zo-XOy2)=-廿(XoX+/X-XOyo-/%)2丸(2y0+X一-Xoy)=一8？(XOy2+1y2-yo-yo)两式相减：(a?丸一2)(王必-2yj=仅2+2)x0(ji-y2)-(2+2)y0(x)(b2+a20(b2+a2)y0即玉为一为M=2.二(丁一%)-2二(二一无)，对比直线得两点一般式方程可得则直线a-ha-hAB恒过定点Aa2 +b2 a2 +b2 注意：关于式和式，为了对称化构造，就是用人替换X，%替换K，这样两式作差，是为了凑出直线的两点式方程中的;就能得到直线方程，从而避开繁琐的坐标联立和坐标转化斜
4、率的过程.V2v2【例I】(2022新高考1卷)已知A(2,l)在双曲线C：/一芝二l(l)上，直线/交C于P、。两点,直线AP,A。斜率之和为0.求/的斜率j2(2020山东卷)已知椭圆0+方=l(h0)的离心率为孝，且过A(2,l).(1)求C的方程;点M,N在C上,且AM_L4V,AO_LMN,。为垂足，证明:存在定点。,使得2为定值.【例3】(九龙坡模拟)已知抛物线C:V=2内的焦点为尸，。为抛物线上一点，O为坐标原点，AOO的外接圆与抛物线的准线相切，且外接圆的周长为34.(1)求抛物线C的方程；(2)过点E(2,1)分别作斜率为k，网的两条直线4和4交抛物线于A，B两点,4交抛物线
5、于C,D两点，且M,N分别是线段A,8的中点，+2=3,证明：直线MN过定点.【例4】（丹阳市月考）已知左焦点为耳（-1,0）的椭圆过点E（l,q一）,过右焦点人分别作斜率为K，网的椭圆的动弦AB,CD.设点M,N分别为线段AB,CD的中点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求三角形OAB面积的最大值；（3）若他=1,求证：直线MN经过定点T,并求出定点T的坐标.例5（2020新课标I）已知A,B分别为椭圆E：I+y2=i（i）的左、右顶点，G为E的上顶点，aAGGB=S.P为直线x=6上的动点，RA与七的另一交点为C,PB与石的另一交点为。.（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.本题也可
6、以用极点极线模型去解释，详见相关章节、还有曲线系相关的解法，参见二次函数曲线系.关于“天凹-内%”在其他地方也有很多用途，接下来我们再来看一个常见的例子：第二饼共姬中心弦模型/v2Aa，M）,8小，力）在椭圆.+,T上，（1）当且仅当kAkBO=时，ZO48的面积取得最大值L山.a-2此时满足“；+考=；+=/，OA2+OB2=12+y；+xlyl=a2+b2（3）动点尸满足OP=/104且点P在椭圆E上，万+为定值先给出大家熟知的一个公式及其证明：在平面直角坐标系工。），中，已知AQAK的顶点分别为0（0,0）,（x1,yl）,Bx2,y2）,则它的面积为s=gk%-%y22【例6】（涟水期
7、末）在平面直角坐标系Xo），中，已知椭圆二十与=130）的左右焦ab-点分别为6、F2,上下顶点分别为M,N,若椭圆的离心率为立，短轴长为2.2（1）求椭圆E的方程；（2）若直线MK与椭圆交于另一点E,求MGE的面积；（3）。（相，）是单位圆/+丁2=1上任一点，设尸，A,B是椭圆E上异于顶点的三点且满足OP=mOA+nOB,求证：直线04与08的斜率之积为定值.【例7】（越秀期末）已知椭圆d+*=13b0）的离心率为亚，大、工是椭圆C的左、右焦点，Pab3是椭圆。上的一个动点，且4P耳鸟面积的最大值为10匹.（I）求椭圆。的方程；(2)若Q是椭圆C上的一个动点，点、M,N在椭圆I+/=1上，
8、O为原点，点Q,M,N满足OQ=OM+30N,则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.【例8】(茂名一模)已知抛物线V=4L的焦点为椭圆，+卷=13人0)的右焦点，且椭圆的长轴长为4,M、N是椭圆上的动点(1)求椭圆标准方程；(2)设动点P满足：OP=OM+2ON,直线OM与ON的斜率之积为-L,证明：存在定点耳，K，使2得IPKI+PI为定值，并求出石，外的坐标；(3)若M在第一象限，且点M,N关于原点对称，MA垂直于X轴于点A,连接NA并延长交椭圆于点3,记直线MN,MB的斜率分别为A.，Kmb，证明：v+l=例9(2011山东)已知直线/与椭圆C:
9、A=1交于P(X,y),Q(X?，必)两不同点，且AOPQ的面积SAOPQ=，其中。为坐标原点(1)证明工：+x；和yl2y；均为定值；(2)设线段产。的中点为M,求I。MMQQl的最大值；椭圆C上是否存在点O,E,G,使得SE=SG=S阻=争若存在，判断)瓦；的形状；若不存在，请说明理由.第三讲抛物线有关的双动点问题抛物线设点，作差相除很容易得到一个斜率或者斜率的倒数，利用这一特征，抛物线我们一般多采用设点法.【例10(浙江模拟)已知抛物线C的方程为V=2y,A,8为抛物线上两点，过A,8分别作抛物线C的切线,2,设，6交于点(1)如果点尸的坐标为(-2,0),求弦长IAB|；(2)若MA_
10、LMB,其中M(2,2),O为坐标原点，设抛物线C的焦点为尸，求一色匕一的取值范围.AF+BF图4-2-3第日用重心问题及其他三角形重心公式为g(士出士玉，%+为),涉及到点的坐标，故遇到重心相关的问题也可以采用设点的33方法.22【例11(浙江模拟)如图424所示，已知椭圆C:二+5=1经过(2,0)和(0,应)，过原点的一条直线/a-b-交椭圆于A,5两点(A在第一象限)，椭圆。上点。满足Ao_LAB,连直线应与X轴、)，轴分别交于M、N两点，AAQ的重心在直线X=U的左侧.21(1)求椭圆的标准方程；(2)记A4OZXOMN面积分别为S、S2,求g-S2的取值范围.【例12如图4-2-5
11、所示，已知点尸(1,0)为抛物线丁=23(p0)的焦点.过点尸的直线交抛物线于A,3两点，点C在抛物线上，使得ABC的重心G在X轴上，直线AC交X轴于点。，且Q在点尸的右侧.记AFG,ZXCQG的面积分别为S,S2.(1)求的值及抛物线的准线方程：(2)求3的最小值及此时点G的坐标.【例如图426所示,椭圆噂+。)的离心率为多直线人十与椭圆E相交于人B两点,A=25,C,。是椭圆石上异于A、8的任意两点，且直线AC、相交对点直线A。、BC相交于点N,连结MN.(1)求椭圆E的方程；(2)求证:直线MN的斜率为定值.整套系列资料分17讲见：最新版圆锥曲线专题17之1基础知识最新版圆锥曲线专题17
12、之2焦长焦比体系最新版圆锥曲线专题17之3轨迹方程求法最新版圆锥曲线专题17之4三角形相关性质最新版圆锥曲线专题17之5四边形相关性质最新版圆锥曲线专题17之6圆锥曲线与圆综合最新版圆锥曲线专题17之7抛物线的综合问题最新版圆锥曲线专题17之8齐次化问题最新版圆锥曲线专题17之9曲线系方程最新版圆锥曲线专题17之10切线与切点弦的应用最新版圆锥曲线专题17之11极点极线与定点定值最新版圆锥曲线专题17之12阿基米德三角形最新版圆锥曲线专题17之13定比点差体系最新版圆锥曲线专题17之14不联立体系第一讲一单动点问题最新版圆锥曲线专题17之15不联立体系第二讲一双动点问题最新版圆锥曲线专题17之16不联立体系第三讲一三点共线问题最新版圆锥曲线专题17之17不联立体系第四讲一设点与比例问题
