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1、第七章多元函数积分学7.1二重积分(甲)内容要点一、在直角坐标系中化二重积分为累次积分以及交换积分顺序问题模型I：设有界闭区域o=(yWb,0G)y02()其中心(x),%(x)在,加上连续，/(x,y)在。上连续，则b(a)qf(x,y)d=f(x,y)dxdy=dxf(x,DDal(x)模型【I：设有界闭区域o=(xy)cyd,O(y)则 /( y)d =/(x, y)dxdy = y /(x, y)dx其中%(y),外。)在匕刈上连续，在。上连续关于二重积分的计算主要根据模型I或模型II,把二重积分化为累次积分从而进行计算,对于比较复杂的区域D如果既不符合模型I中关于D的要求，又不符合模
2、型11中关于D的要求，那么就需要把。分解成一些小区域，使得每一个小区域能够符合模型I或模型II中关于区域的要求,利用二重积分性质，把大区域上二重积分等于这些小区域上二重积分之和,而每个小区域上的二重积分则可以化为累次积分进行计算。在直角坐标系中两种不同顺序的累次积分的互相转化是一种很重要的手段,具体做法是先把给定的累次积分反过来化为二重积分，求出它的积分区域D,然后根据D再把二重积分化为另外一种顺序的累次积分。二、在极坐标系中化二重积分为累次积分在极坐标系中一般只考虑一种顺序的累次积分，也即先固定。对7进行积分，然后再对。进行积分，由于区域D的不同类型，也有几种常用的模型。模型I设有界闭区域D
3、=,)a,)1S其中科(O),02(6)在,上连续，f(x,y)=/(/cos6,ysin。)在O上连续。的(0)f(x,y)d=/(/cos,sn)dd=df(/cos/sin)d例模型II设有界闭区域O=(y,6)e/?,Oy0(6)其中夕(6)在,0上连续，f(x,y)=/(ycosysin6)在。上连续。JJf(X,y)d=IJ/(CoSa/sin)dd=JdeJ/(yCoSa/sin)d（乙）典型例题一、二重积分的计算x3dr+(2-x2)2dr=+y例3求，=1J(F+y2+y)d(Dd,2+4(xl)2+y21解一：JHJ-JTDDkn4+y2+yd=+yd。+0(对称性)D大I
4、fl%(Sl16一22=Jdr2dr0O3#.2_2COwP=yx2+y2d+0=dr2dr=D小网D小现巴。92.JJ.+y2+y)d弋(3万一2)解二：由积分区域对称性和被积函数的奇偶性可知JJyd=0Dyx2+y2d=2yx2+y2dDDt原式=2yx2+y2d+yx2+y2d_Di.lDi.2.=2=2Zr 2 r1d-d J r2drK-2 cosJ(32)解 原式=7(,y)atdy二、交换积分的顺序2aJ2at交换dxjf(x,y)dy的积分顺序0其中D由y=y2ax-x2和y=12aX以及x=24所围的区域。=QuD2“3y=2ax解出X=匕由2ay=7lax-x2W出X-ay
5、a2-y2因此按另一顺序把二重积分化为累次积分对三块小区域得a 2a f(x9y)dx+dy _f(x,y)dx2a2a/(x,y)必:+yj22.2a例2设/(y)连续，证明a-ya2-COStaf=f,(y)dydt=句fy)dy=f(a)-/(0)-COS/22三、二重积分在几何上的应用1、求空间物体的体积例1求两个底半径为R的正交圆柱面所围立体的体积解设两正交圆柱面的方程为f+y2=R2和f+z2=R2,它们所围立体在第一卦限中的那部分体积V1=yR2-x2dxdy其中。为0xR,OyyR2-x2R0)所围(包含原点那一部分)的体积解V；=4jy4R2-x2-y2dxdy其中。为孙平面
6、上y = 42Rx-2与x轴所围平面区域用极坐标系进行计算7.2三重积分(甲)内容要点一、三重积分的计算方法1、直角坐标系中三重积分化为累次积分(1)设C是空间的有界闭区域O=(x,Xz)zl(x,y)zz2(x9y)9(x9y)d其中Z)是孙平面上的有界闭区域，Z(x,y),Z2(x,y)在D上连续函数/(x,y,Z)在。上连续，则OJ/(R,y,Z)小=JJafyJf(,y,z)dzDz(x.,)设C=(x,y,z)zA(%,y)ZXz)其中。为竖坐标为Z的平面上的有界闭区域，则J/(x,乂z)du=Jdzjf(x9y,z)dxdyaD(z)2、柱坐标系中三重积分的计算相当于把(,y)化为
7、极坐标(小60而Z保持不变p0、Q2 jJjJ/(x,y,z)dxdydz=JjJ/(rcos,rsinz)rdrddz3、球坐标系中三重积分的计算X=夕SineCOSe+乡+=1所围的区域JNabcabc解令x=apsin0cos,y=bpsinsin,Z=Cy?Cos。2222-1则(-+=+j)dxdydz=abcdsindpdp=abcQabCooo5例3计算JJJX2+y2+z2Mz,其中C由曲面冗2+y2+z2=Z所围的区域解用球坐标12CosGJX2+V+ZIdXdydZ=ddp3sindpOOOCOS5 52 =10o1 3TT=2cos4sind=七2例4计算JJ（f+y2的
8、ydz,其中C由曲面入丫2=2z,z=2所围的区域2万2222解JjJ(x2+y2Mxdydz=drydrdz=2-(2-)r3Jroo二o2T二、在物理上的应用丫2y22例1求椭圆锥面r+J=和平面Z=C围成物体的重心（设密度均匀恒为1）abc解设重心坐标（x,y,z）物体所占空间区域为C由对称性可知/=0,y=0jzdxdydzjjdxdydzn由锥体体积公式可知dxdydz=TUibc令X=arcos0,y=brsiniz=Ct211而JJjZdXdydZ=abc2JdNMdtdtCRI-)=2abc.abc2ar=4因此，重心坐标X=0,y=0,z=4例2设有一半径为R的球体，工是球表
9、面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到巴的距离平方成正比（比例系数QO）,求球体重心的位置解一：设球面方程为J+y2+z2=R2,Po为（ROe球体C的重心坐标为（ZH）由对称性可知y=(),Z=Ox(x-？)2y2+z2vX=-J-R)2z2Wv由区域的对称性和函数的奇偶性，则有-2RJjpdU=OMX2+R2+y2+z2dv=0于是J(%-R)2+y2+z2dv=JJ(x2+z2)v+R1Jdv=Jdp4sindpR1=-R5ooo315j4U-R)2+y2+z2tv=-2Rjx%u=-(x2+y2+z2)dv=-RfJa15_RR因此X=-2,重心、坐标为一令,0,0)44解二：设球
10、面坐标x2+y2+(z-R)2=R2,P0(0,0,0),重心坐标(My,Z)由对称性可知x=0,y=()zkx1+y2+z2dv2 =-kx2+y2+z2dvn222Rcosff+2+z2dv=4ddp5cos0sindp000=tcos7Osind6=-63 3222Kcos6q,JjJ(x2+y2+z2)Jv=4dp4sindp=-7R5ooo155S于是z=-Rf重心坐标(0,0,R)447.3曲线积分(数学一)(甲)内容要点一、第一类曲线积分(对弧长的曲线积分)参数计算公式我们只讨论空间情形(平面情形类似)设空间曲线L的参数方程=(ty=y(tz=z(t(at)l则(x,z)ds=J
11、fx(t),y(t),z(t)Nxt)2+y,(t)2zr(t)26ra(假设/(x,y,z)和xQ),y(),z皆连续)这样把曲线积分化为定积分来进行计算二、第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)参数计算公式我们只讨论空间情形(平面情形类似)设空间有向曲线L的参数方程%=x(ty=MO,Z=zQ),起点A对应参数为a,终点8对应参数为#(注意：现在和/y的大小不一定aV)如果尸(X,y,z),Q(x,y,z),R(X,y,z)皆连续,又xQ),VQ),zQ)也都连续,则fP(X,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(X,y,z)dz=J：Px(r),y(O*z(F)f+Qx(r),y(f),z(t)VQ)+Rx(r),y(r),z(t)z,(t)dt这样把曲线积分化为定积分来计算。值得注意：如果曲线积分的定向相反，则第二类曲线积分的值差一个负号，而第一类曲线积分的值与定向无关，故曲线不考虑定向。三、两类曲线积分之间的关系空间情形：设L=AB为空间一条逐段光滑有定向的曲线，尸(x,y,z),Q(x,y,z),R(y,z)在L上连续，则fP(x,y,z)dx+(x,y,z)dy+R(x,y,z)dzJAB1.JP(X,y,Z)cosa+Q(x9y,z)cos+R(x,y9z)CoSyHv其中CoSa,cosP,cosy为曲线弧上AB上点(x,y,z)处沿定向A到B方向的切线的方向
