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1、2、速度、加速度的重量表达式上一次课，我们为了将运动的一些特征能直接的表示出来，而定义了速度和加速度，P=-；=21。在一般状况下它们往往都是时间t的函数。何谓定义呢？定义它dtdtdt本身不是可以用什么方法或者数学手段加以证明得到的，而是依据实际需要经常用到而定义下来的名称和概念。例如过两点成一条直线。由于速度和加速度都是矢量，因此都可以将它们表示成重量的形式。这次课将预备争论速度、加速度在各种坐标系中的表达式。在直角坐标系中，质点的位置矢径可以写成为:一、直角坐标系直角坐标系又称笛卡儿坐标系r=z+jy+kz（1）依据速度的定义可知/三包将（1）代入，则有dt1、速度：旦&+办+0=心+#
2、+%包dtdt力Jdt力）Jf+j+EPI于是，我们比较上面的等式，就可得到速度在直角坐标系中的重量表达式为：VV=生=尢八=0=%L=史=2可见速度沿三直角坐标轴的重量（即分速度）就等dtydt-dt于其相应的坐标对时间I的一阶导数。速度的大小：Ml=U=JY+匕2速度的方向-VvVv.V就用方向余弦来表示：cos(v,/)=;cos(v,y)=;cos(v,Z:)=O同理，我们由加速VVV度的定义不难得到它的重量表达式。2、加速度依据加速度的定义：_dvd,ldx+dy+kdzxTd2x+Jd2y+kd2zidvjdvkdv,Cl=()=HHdtdtdtdtdtdtdt比较这=iax+ja
3、y+kaz些恒等式可得加速度的直角坐标重量表达式:于是可得加速度的大小为：同=4=击，加速度的方向用方向余弦表示。假如质点始终在某一平面内运动，我们采纳的坐标是平面正交坐标系的话，那么将上面的重量表达式中的某一重量去掉，剩下的就是平面正交坐标系中的重量表达式了。二、平面极坐标系在争论质点的平面曲线运动问题时，除了可用平面正交坐标系外，还可以采纳平面极坐标系。有时采纳极坐标系会比采纳平面正交坐标系来计算问题要简洁的多，特殊是在争论有心力作用的力学问题时，采纳极坐标就更显示出它的优越性。在平面极坐标系中，质点的位置是用极径r和极角这两个极坐标来确定的。在平面极本、%坐标系中的单位矢量的取法与正交坐
4、标系的情形是不同的，在这里是沿矢径方向上取一单位矢量%为径向单位矢量。在垂直矢径方向上取一单位矢量4就称做横向单位矢。f量。于是，在极坐标中，运动质点的位置矢径：r=rrQ.由于得到了位矢在详细的坐标系中的表达式，然后依据速度和加速度的定义，相继就可以推出它们在详细的坐标系中的重量表达式。所以，由速度的定义D=它=且（%）这个结果dtdt对不对？不对。为什么不对？，千万要留意：这里的单位矢量后,仇与直角坐标系中的单位矢量是不同的。尽管这儿的单位矢量和瓦的大小仍旧等于1是不变的，但是，它们的方向却是随时在变化的，因此它们不是恒矢量而是变矢量，既然是变量，它们对时间的微商当然就不会等于0了：半0,
5、华0所以上式中还有一项要考虑进去。不能把它丢掉。dtdt所以，速度应当等于：D=W=4（及-）=及竺+坐=+启）这两项之和。下面我们atatdtat先来计算%?簪=?为了直观起见，我们结合图来争论（上课时添加一图）。从图上可以清晰地看到运动质点从M这位置移到M这个位置时，单位矢量的方向都发生了变化，它们的变化量分别为d后和d4。这两个变化量都是由于单位矢量的方向的转变所引起的变化量，单位矢量的大小等于1是不变的。于是我们就很简洁得到径向单位矢量对时间微商的大小：|”|二场J=L二它的方向与与横向单位矢&相同。所以Z对时间Tdtdtdt的微商四优。同样道理可以得到横向单位矢量对时间的微商也二-航
6、。为什么这atat里要加一个负号呢？从图上可以看到d0的方向与。的方向反向，所以这里要加上一个负(10.号表示T与无的方向相反。将结果代入前式。则有：D=丹+6Ore=无匕+%(1)at由于：速度是矢量，所以可以将它投影到径向和横向上去。得到径向分速度匕和横向分速度仄彩，就分别称它们为径向速度和横向速度，所以，它又恒等于德0十瓦为于是，我们比较(1)的两个恒等式可见径向速度重量：vr=r：横向速度重量汽=一8。这就是速度在平面极坐标系的两个重量表达式，由此可得速度的大小为：y=|3I=2+UJ我们结合上面的争论由(1)式不难了解它们的物理意义：径向速度鸳是由位矢大小的变化引起的。我们对(1)再
7、求一次微商就能得到加速度在平面极坐标中的重量表达式：亦d-&=彳吟Ure)atat=riir-riir+q-Viirr=r+r-rr2+rr=rr-r2)+(2r+r)=r0r+BOae同样道理，我们也可以将加速度后沿径向和横向分解成两个重量，沿径向的重量就用相应的符号勺表示，沿横向的加速度重量就用先表示。所以上式又等于无外+行。，。我们就将此式的第一项叫做径向加速度，其次项就叫做横向加速度。由(2)这个等式可见：径向加速度的大小ar=r-r横向加速度的大小=2r+r=-r2).故有加速度的rdt大小：a=a=Jaj+aj.这里要我们引起留意的是：同学中往往简洁把其次项给丢了,由于径向速度匕二
8、八则径向加速度就等于极径的二次微商ar=r.户这项只是由径向速度大小的变化所引起的，所以我们除了要考虑这一项之外，还得考虑由于横向速度的方向的转变所引起的另一项-广，它也是径向的。这一点必需要记住，应用时不要忘了其次项。我盼望大家课外由2=生去推导一下。通过推导不仅可以深入我们的印象，而且还能够使dt我们在推导过程中明确各项量的物理意义。三、柱坐标系：接下去介绍一下与平面极坐标有关的另一种空间坐标系，即柱坐标系。在平面极坐标系的基础上，我们就可以很省力地给出速度和加速度在柱坐标系中的重量表达式。对柱坐标系我想大家还是比较熟的，直角坐标与极坐标的变换关系大家都知道，即：x=rcos,y=rsin
9、,z=z.在三维空间运动的质点P的位置，在极坐标系中是由二仇Z这三个坐标来确定的。我们从图上可以看到，这三个柱坐标就是由运动质点在空间任一点的位置P在OXY平面上垂足（即投影点M）,它在OXY这个平面内的极坐标（R,加上这个垂直坐标Z而构成的。所以，在柱坐标系中，运动质点的位置矢径尸的详细表达式好不好写呢？它只是比平面极坐标系多了（1）这里的单位矢量就如图一个Z重量而已。位置矢径尸就等于：R=rrzk哪样取。仿照平面极坐标系的推导方法，就能很快地推出速度和加速度在极坐标系中的重量表达式：速度。=+r羽j+乐（2）所以速度下在无,4,这三个方向的重量分别为：唯=户；=用巳=无。速度的大小：V=V
10、=7vr2v+v三2。加速度就等于：a=rr-r2）+90（2r/9+r（7）+-zk则加速度的三个重量为：ar=r-r2a0=2r+r,加速度的大小：a=同=Jar?+a；+a；az=z我们从（2）,（3）两式可以看出，速度，加速度在柱坐标系中的重量只是比平面极坐标系多了一个Z方向的重量。因此，只要记住了速度、加速度在平面极坐标系中的重量式。那么，它们在柱坐标中的重量式也就不难记住了。在平面极坐标的速度和加速度的重量表达式肯定要记住。接下去介绍速度，加速度在自然坐标系中的重量式，也就是内禀方程。四、自然坐标系：内禀方程在这里我们只争论平面运动的状况质点作平面运动的状况。当质点在作平面曲线运动
11、的状况下，采纳自然坐标系比采纳极坐标系，有时显得更加便利一些。对自然坐标大家是熟识的。由于，在力学基础中已经学过。什么是自然坐标？请哪个同学回答。所谓的自然坐标，就是在已知的质点运动轨迹上取任一点。做为原点，并规定轨迹的方向。质点在任意时刻的位置就用它相对质点。的曲线弧长S来确定的，这个弧坐标S称为自然坐标。假如我们把质点的运动轨迹的切线和法线作为坐标轴而建立坐标系，这种坐标系就叫做“自然坐标系”。自然坐标系的方位指向是随着运动质点的位置的变化而变化的。在自然坐标系中我们同样可以将速度和加速度分解成切向和法向重量。今H我们不采纳过去的推导方法，而采纳更dr a,.的方简洁的方法得出同样的结论。
12、推导的动身点仍旧是他们的定义。D=更将它改写一下更包=备包=Gy由于在极限的状况下”=1,dt=dsdtdtds向就是质点在该点轨迹的切线方向，所以我们可以用切线方向上的单位矢量来表示。路as程S对时间的变化率就是速率即速度的大小。V=f0v一dvd/_dv_dr.Cl=(VJ=TqV-”,-Li=Ij1-dtdtdtdt所以依据加速度的定义有：fdv_ddu_V_=rov-=ro+一dtdtdtpI假如我们令轨道的切线和X轴的夹角为的话哪么我们套用前面号系这一结果，就很简洁地得到：牛二丝瓦这里的耳是垂直与f0指向曲线凹的一面atat的单位矢量即法向力的单位矢量。为了使角量不在这个式子中消失，
13、我们可以想方法用其.t.小土上.心/r-rBdeQq、IdddsdVd他的量代替它。我们可以将一写成为：一=-=v=dtdtdsdtdtpds这个比值我们由高等数学学问可知，它就等于曲线在该处的曲率，即该处曲率半径P的倒数:d ds_dv_v2_万斗。+3dv于是可得切向加速度的大小：ar=（2）法向加速度的大小an=一（3）dtp由前面的推导可知切向加速度是由速度的大小转变而引起的，法向加速度是由速度方向的转变所引起的。所以，当质点作曲线运动时，切向加速度有可能等于0,而法向加速度不行能有等于零的状况的。由于4和明都与坐标系无关。只与轨道的本身性质有关。因此，（2）（3）两式有时也就称为内禀
14、性方程。上面我们争论的前提是质点作平面运动。那么，所得到的结果对空间曲线运动能否适用呢？对这个回答是确定的，它还能适用于空间曲线，在这里我们要遇到微分几何学上的一个基本概念：亲密平面，我们书上叙述比较繁，我们初次接触往往不简洁看懂，我用一句简洁的话关心我们理解亲密平面的概念。由确定的平面就是亲密平面，假如我们用f0表示切向单位矢量，那么，d七的方向就是打算主法线的方向，我们就用瓦来表示主法线方向上的单位矢量。除了位于亲密平面内的主法线之外。还有一条垂直与切平面的副法线。副法线方向的单位矢量就用符号表示。它的方向由右和见的方向打算，用矢量式表示的话，则有：=f00o遵循右手螺旋法则。所以在上图应当这样画（见上图）。这个切向和主法线方向亍-%组成的平面也就是亲密平面。由于加速度总是位于轨迹的亲密平面内，所以，加速度只有在切线方向和主法线方向上的重量,加速度在垂直于亲密平面的副法线方向上的加速度重量必定是等于0的。最终再介绍一下球坐标系中的速度和加速度。五、球坐标系运动质点在球坐标系中的位置是用球坐标伍。）来表示的。这儿的三个单位矢量是八,0,直角坐标与球坐标得关系为：卜=-SinOcosJ+jrsin。sin。+EFCOSe同样依据速度和加速度的定义可以求出球坐标系中的速度和加速度的表达式：我将结果写出来，推导过程就留给大家去做。作
