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1、3.2.1立体几何中的向量方法方向向量与法向量lAPa 直线的方向向量直线的向量式方程OPOAta 换句话说换句话说,直线上的非零向量叫做直线的直线上的非零向量叫做直线的方向向量方向向量APta 2、平面的法向量、平面的法向量Aa lP平面平面 的向量式方程 换句话说换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面与平面垂直的非零向量叫做平面的的法向量法向量0AP a.oxyzABCO1A1B1C1练习 如图所示,正方体的棱长为1(1)直线OA的一个方向向量坐标为_(2)平面OABC 的一个法向量坐标为_(3)平面AB1C 的一个法向量坐标为_(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)练习练习.在空
2、间直角坐标系内在空间直角坐标系内,设平面设平面 经过经过 点点 ，平面，平面 的法向量为的法向量为 ，为平面为平面 内任意一点，求内任意一点，求 满足的关系式。满足的关系式。),(000zyxP),(CBAe),(zyxMzyx,000(,)PMxxyyzz ，解：由题意可得解：由题意可得 0 PMe000(,)(,)0A B Cxxyyzz 即即000()()()0A xxB yyC zz 化化简简得得：由两个三元一次方程由两个三元一次方程组成的方程组的解是组成的方程组的解是不惟一的，为方便起不惟一的，为方便起见，取见，取z=1z=1较合理。较合理。其实平面的法向量不其实平面的法向量不是惟一
3、的。是惟一的。(2,2,1),(4,5,3),ABACABC 例：已知求平面的 单位法向量。nxyz解：设平面的法向量为（，），(2,2,1)0(4,5,3)0,nABnACxyzxyz 则，（，），（，）220,4530 xyzxyz即1121xzy 取，得1(,1,1),2n3|2n 12 2(-33 3ABC平面的单位法向量为，）练习练习 如图，在四棱锥如图，在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是是正方形，侧棱正方形，侧棱PD底面底面ABCD，PD=DC=1,E是是PC的中点，的中点，求平面求平面EDB的一个法向量的一个法向量.ABCDP PE E解：如图所示建立空间直角坐标系解
4、：如图所示建立空间直角坐标系.(0,0,0),(0,0,1),1 1(0,)2 2PE依依题题意意得得D DB(1,1，B(1,1，0)0)1 1(0,)2 2DE DB=(1,1，DB=(1,1，0)0)XYZ设平面设平面EDB的法向量为的法向量为(,1)nx y,nnDEDB 则1101,1,1220ynxy于是 定理定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行则这两个平面平行已知已知 直线直线l与与m相交相交,lm,lm.求证 l,ma,.bv 证明 取的方向向量取,的法向量u,lm,av bv v u ab,b 又a 不共线 所以v是 的一个法向量于是 v 同时是、的一个法向量 .mlab3.平行关系：平行关系：3.平行关系：平行关系：a aAC axAByAD u3.平行关系：平行关系：v u u巩固性训练 设设 分别是平面分别是平面,的法向量的法向量,根据根据 下列条件下列条件,判断判断,的位置关系的位置关系.vu,)4,1,3(),5,3,2()3()4,4,2(),2,2,1()2()4,4,6(),5,2,2()1(vuvuvu垂直垂直平行平行相交相交
