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,Sa bSa b若开区间集 覆盖了闭区间，则 中存在有限个开集也有限覆盖盖了理覆定：.,(,),(,).,(,),Sa bSaba bbSa b 证明：（利用确界定理因开区间集 覆盖了闭区间，所以使得若则被有限开区间集覆盖。若下面分三步来证明在 中可找到有限来证明个开覆盖）集。0000|,(,)2.,.=Ax xa ba xaxa xxAxA xbASupAaxSupAbSupA b 设被有限开集覆盖。令,则被有限开区间集覆盖。所以，又从而 是一个非空有界集。由确界定理的存在，且接下来证明Step1.。1111212222=1.,(,),(,),(,).sup,.,(,),SupA bSupAbStepaSupAbSupAca bSca bSccAxAxcSa xSSx cxba xSbx 证明。假设，由知必有记由于被有限开集 覆盖,而故，使得利用的定义得使得于是存在有限开区间集 覆盖了。记=则一定存在:使得被覆盖。事实上，t若ep2.取S2222.=supcbxbxAcA即可；若，取即可。但这与矛盾。3333434,(,),(,).,(,)=,.(,),bAa bSa bSbaa baSupA bxAxbSa xSSSa b 下证即被有限开集覆盖。事实上，已知 覆盖了，故使得若，则被有限开区间集覆盖；若，由知，使得存在有限开区间集覆盖了记=，则有限开区间集覆Step3.盖了。
