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1、第一节 线性差分方程一、后移算子B定义为，从而1ttBXXmtt mB XX前面的MA(m)模型、AR(n)模型和ARMA(n,m)模型可分别表示为：()ttXB a()ttB Xa()()ttB XB a212()1nnBBBB 212()1mmBBBB 其中：二、线性差分方程1111ttnt nttm t mXXXaaa()()ttB XB a212()(1)nnBBBB212()1mmBBBB()()tXC tI t差分方程的通解为：可将写成这里这里，C(t)是齐次方程通解解，I(t)是特解。三、齐次方程解的计算()0tB X12()(1)(1)(1)nBG BG BG B假定G1，G2
2、，Gn是互不相同，则在时刻t的通解：1122ttttnnXAGA GA G其中Ai为常数（可由初始条件确定）。无重根 考虑齐次差分方程重根 设()0B10G2101210dttdXAAtA tAtG有d个相等的根，可验证通解为对一般情形，/120()(1)(1)(1)(1)dnBG BG BG BG B 因此，齐次方程解是由衰减指数项Gt、多项式tj、衰减正弦项Dt-ksin(2f0t+F)，以及这些函数的组合混合生成的。/1001()dntjtkjiijiC tGA tDG齐次方程解便是 定义：设零均值平稳序列,0,1,2,.tX t 第二节第二节 格林函数格林函数(Greens funct
3、ion)和平稳性和平稳性(Stationarity)一、格林函数(Greens function)能够表示为0tjtjjXG a则称上式为平稳序列 tX的传递形式，式中的加权系数 jG称为格林（Green）函数，其中01.G ttXG B a格林函数的含义：格林函数是描述系统记忆扰动程度的函数。（1）式可以记为其中 0jjjG BG B式（1）表明具有传递形式的平稳序列可以由现在时刻以前的白噪声通过系统“”的作用而生成，是j个单位时间以前加入系统的干扰项 对现实响应的权，亦即系统对 的“记忆”。0jjjG BG BjGtjatja一、AR（1）系统的格林函数111111212111().ttt
4、tttttttttXXaXXaXaaaa由AR（1）模型即：10jttjjXa则AR(1)模型的格林函数 1jjG例例：下面是参数分别为0.9、0.1和-0.9的AR（1）系统对ta扰动的记忆情况。（演示试验）AR（n）模型，即()ttB Xa其中：212()1nnBBBB 的平稳性条件为：()0B的根在单位圆外1212()0nnnn （或 的根在单位圆内）。AR（n）系统的平稳性条件：）系统的平稳性条件：（请同学们观察平稳性AR(n)与非平稳性AR(n)的区别。）格林函数与格林函数与AR（n）系统的平稳性）系统的平稳性平稳性的涵义就是干扰项对系统的影响逐渐减弱，直到消失，对于一个AR（n）系
5、统，将其写成格林函数的表示形式，0tjtjjXG a如果系统是平稳的，则预示随着j，扰动的权数 0jG 上面结论也可以用来求AR(n)系统的系数平稳性条件。请同学们思考MA(m)系统的平稳性条件。ARMA模型格林函数的通用解法()()tB XBARMA(n,m)模型且 ()ttXG B a则 ()()()B G BB*,00,jjjnjn令 *,00,lllmlm()()()B G BB则 化为 *000jkljkljklBG BB比较等式两边B的同次幂的系数，可得*0,1,2,3,.ljljljGl由上式，格林函数可从1l 开始依次递推算出。例：求AR(2,1)系统的格林函数。是零均值平稳序
6、列，如果白噪声序列tXta1ttjtjjaXI X第三节第三节 逆函数和可逆性（逆函数和可逆性（Invertibility）能够表示为一、逆函数的定义设则称上式为平稳序列 tX式中的加权系数1,2,.jIj 称为逆函数。ARMA（n,m）模型逆函数通用解法对于ARMA（n,m）模型的逆函数求解模型格林函数求解方法相同。01()1,1jtjjI BI XI 令 二、ARMA模型的逆函数的逆转形式tX1ttjtjjaXI X()ttaI B X则平稳序列可表示为由ARMA(n,m)模型()()ttB XB a()()()BB I B可得仍由先前定义的*j*l和，则上式可化为*000jlkjlkjl
7、kBBI B 比较上式两边B的同次幂的系数，得到*0jjkl kkI 即*1,1,2,.jjjkj kkIIj可从jI1j 由此开始推算出。对于MA（m）模型的可逆性讨论与AR（n）模型平稳性的讨论是类似的，即：1212.0mmmmVVVkV1kV MA（m）模型的可逆性条件为其特征方程的特征根满足 ARMA(n,m)系统格林函数与逆函数的关系在格林函数的表达式中，用用jIjG代替代替，代替代替代替代替，即可得到相对应的逆函数。理论自协方差函数和自相关函数对于ARMA系统来说，设序列的均值为零，则自协方差函数ktt kE X X第四节第四节 自相关函数与偏自相关函数自相关函数与偏自相关函数自相
8、关函数0kk 样本自相关函数的计算 在拟合模型之前，我们所有的只是序列的一个有限样本数据，无法求得理论自相关函数，只能求样本的自协方差函数和自相关函数。样本自协方差有两种形式：*11,0,1,2,.,1Nktt kt kX XkNNk 一、自相关函数则相应的自相关函数为 112201111NNtt ktt kkt kt kkNNttttX XX XNXXN *112201111NNtt ktt kkt kt kkNNitttX XX XNNkNkXXN 11,0,1,2,.,1Nktt kt kX XkNN 在通常情况下，我们采用第一种算法。1 1、AR(p)AR(p)过程自相关函数过程自相关
9、函数ACFACF1阶自回归模型阶自回归模型AR(1)Xt=Xt-1+t 的k阶滞后自协方差自协方差为：011)(kkttktkXXE=1,2,因此，AR(1)模型的自相关函数自相关函数为 kkk0=1,2,由由AR(1)的稳定性知的稳定性知|1，因此，因此，k k时，呈指数形时，呈指数形衰减，直到零衰减，直到零。这种现象称为拖尾拖尾或称AR(1)有无穷记忆有无穷记忆（infinite memory）。注意注意，0时，呈振荡衰减状。Xt=1Xt-1+2Xt-2+t该模型的方差0以及滞后1期与2期的自协方差1,2分别为阶自回归模型阶自回归模型AR(2)2221100211212011类似地,可写出
10、一般的一般的k期滞后自协方差期滞后自协方差：22112211)(kktttktkrXXXE(K=2,3,)于是,AR(2)的k 阶自相关函数阶自相关函数为：2211kkk(K=2,3,)其中:1=1/(1-2),0=1如果如果AR(2)AR(2)稳定，则由稳定，则由 1 1+2 211知知|k k|衰减趋于零，呈拖尾状。衰减趋于零，呈拖尾状。至于衰减的形式，要看至于衰减的形式，要看AR(2)AR(2)特征根的实虚性，特征根的实虚性，若为实根，若为实根，则呈单调或振荡型衰减，若为虚根，则呈正弦波型衰减。则呈单调或振荡型衰减，若为虚根，则呈正弦波型衰减。一般地，p阶自回归模型阶自回归模型AR(p)
11、Xt=1Xt-1+2Xt-2+pXt-p+tk期滞后协方差为:pkpkktptpttKtkXXXXE22112211)(从而有自相关函数:pkpkkk2211 可见，无论无论k k有多大，有多大，k k的计算均与其到的计算均与其到p p阶滞后阶滞后的自相关函数有关的自相关函数有关，因此呈拖尾状呈拖尾状。如果如果AR(p)AR(p)是稳定的，则是稳定的，则|k k|递减且趋于零递减且趋于零。其中：1/zi是AR(p)特征方程(z)=0的特征根，由AR(p)平稳的条件知，|zi|1时，时，k k0，即，即Xt与与Xt-k不相关，不相关，MA(1)MA(1)自自相关函数是截尾的。相关函数是截尾的。其
12、自协方差系数自协方差系数为 一般地一般地，q阶移动平均过程阶移动平均过程MA(q)qtqtttX11qkqkkXXErqkqkkqkttk当当当01)(0)1()(112222212相应的自相关函数自相关函数为 kkkkq kqqrrkkqkq01112210110当当当()/()可见，当kq时，Xt与与Xt-k不相关，即存在截尾现象，因此，当当kq时，时，k k=0是是MA(q)的一个特征的一个特征。于是：可以根据自相关系数是否从某一点开始一直为可以根据自相关系数是否从某一点开始一直为0 0来判断来判断MA(q)MA(q)模型的阶。模型的阶。二、二、偏自相关函数偏自相关函数 自相关函数自相关
13、函数ACF(k)给出了给出了X Xt t与与X Xt-1t-1的总体相关性，但总体的总体相关性，但总体相关性可能掩盖了变量间完全不同的隐含关系。相关性可能掩盖了变量间完全不同的隐含关系。例如，在AR(1)随机过程中，Xt与Xt-2间有相关性可能主要是由于它们各自与Xt-1间的相关性带来的:即自相关函数中包含了这种所有的“间接”相关。与之相反，X Xt t与与X Xt-kt-k间的间的偏自相关函数偏自相关函数(partial(partial autocorrelationautocorrelation，简记为，简记为PACF)PACF)则是消除了中间变量则是消除了中间变量X Xt-1t-1，X
14、Xt-k+1t-k+1 带来的间接相关后的直接相关性，它是在已知序列值带来的间接相关后的直接相关性，它是在已知序列值X Xt-t-1 1，X Xt-k+1t-k+1的条件下，的条件下，X Xt t与与X Xt-kt-k间关系的度量。间关系的度量。)()(2112122ttttXXEXXE 从Xt中去掉Xt-1的影响，则只剩下随机扰动项t，显然它与Xt-2无关，因此我们说Xt与Xt-2的偏自相关系数偏自相关系数为零，记为 在AR(1)中，0),(2*2ttXCorr 同样地，在在AR(p)过程中过程中，对所有的kp，Xt与Xt-k间的偏自相关系数偏自相关系数为零。AR(p)的一个主要特征是的一个
15、主要特征是:kp时，时，k*=Corr(Xt,Xt-k)=0 即即 k*在在p以后是截尾的。以后是截尾的。一随机时间序列的识别原则：一随机时间序列的识别原则：若若XtXt的偏自相关函数在的偏自相关函数在p p以后截尾，即以后截尾，即kp时，时，k*=0=0，而，而它的自相关函数它的自相关函数 k是拖尾的，则此序列是自回归是拖尾的，则此序列是自回归AR(p)AR(p)序序列。列。对于一个k阶AR模型，有：11221,2,jkjkjkkj kjk 由此得到Yule-Walker 方程，记为：1211111222123111kkkkkkkkkk 已知时，由该方程组可以解出k,2112,.,kkkk。
16、遗憾的是，用该方程组求解时，需要知道自回归过程的阶数。因此，我们可以对连续的k值求解Yule-Walker方程。对k=1，2，3，依次求解方程，得1111212212221111111 上述12211132123112111212311111kkkkkkkkkkkkk kk 序列为AR模型的偏自相关函数。偏自相关性是条件相关，是在给定 121,.,jjj kXXX 的条件下，jX和 j kX的条件相关。换名话说，偏自相关jX函数是对 和 j kX所解释的相关的度量。121,.,jjj kXXX 之间未被由最小二乘原理易得，1,2,.,kkkk 是作为 jX关于12,.,jjj kXXX线性回归的回归系数。如果自回归过程的阶数为n，则对于kn应该有kk=0。MA(1)过程可以等价地写成过程可以等价地写成 t t关于无穷序列关于无穷序列X Xt t，X Xt-1t-1，的线性组合的形式：的线性组合的形式：221ttttXXX或ttttXXX221（*）(*)是一个AR()过程，它的偏自相关函数非截尾但却趋于零，因此MA(1)MA(1)的偏自相关函数是非截尾但却趋于零的偏自相关函数是非截尾但
