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1、第五章第五章 根轨迹分析法根轨迹分析法5.1 引言引言根轨迹方程根轨迹方程绘制绘制(10(10个规则个规则)根轨迹扩展应用根轨迹扩展应用根轨迹根轨迹开环零、极点对根开环零、极点对根轨迹的影响分析轨迹的影响分析改变开环零极点，改变开环零极点，提高系统稳态或提高系统稳态或动态性能动态性能本章知识体系本章知识体系MATLAB绘制根轨迹图绘制根轨迹图5.2 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念例例5-1 5-1 为根轨迹增益。为根轨迹增益。为开环放大系数；为开环放大系数；ggLKKssKssKsG3)-(5,)4()125.0()(4)-(54)()()(2ggKssKsTsRsY 5)-(5042 gK
2、ss特特征征方方程程：ggKKs42241642,1闭环特征根：5.2 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念ggKKs42241642,1闭环特征根：参数的变化参数的变化根的变化根的变化影响系统的动态特性影响系统的动态特性04,4,ggKK不相等负实根，阶跃响应单调上升共轭复根，衰减震荡5.2 根轨迹的基本概念根轨迹的基本概念根轨迹：当系统开环传递函数的根轨迹：当系统开环传递函数的某一参数从某一参数从0变化到无穷时，系变化到无穷时，系统的闭环特征根在根平面上变化统的闭环特征根在根平面上变化的轨迹。的轨迹。根平面根平面:专一用来描述根大小的复平面专一用来描述根大小的复平面;根轨迹图根轨迹图:根平面加
3、上根轨迹。根平面加上根轨迹。K一变，一组根变；一变，一组根变；K一停，一组根停；一停，一组根停；5.2 根轨迹的基本概念：根轨迹的基本概念：根轨迹方程根轨迹方程7)-(5)(1)()()()()()()()()()()(sGsGsGsTsRsYsDsNsHsGsGsGLpcLLpcL 系系统统的的闭闭环环传传递递函函数数：系系统统开开环环传传递递函函数数：)9-5(0)()()8-5(0)(1 sNKsDsGLgLL或或特特征征方方程程：10)-(51)()()()()(11 sDsNKpszsKsGLLgnllmiigL典型反馈典型反馈控制系统控制系统s到底是什么？到底是什么？式中式中。上述
4、方程又可。上述方程又可写为：写为：gnjjmiiKpszs1)()(11 由于满足上式的任何由于满足上式的任何s都是系统的闭环极点，所以当系统的都是系统的闭环极点，所以当系统的结构参数，如结构参数，如Kg在某一范围内连续变化时，由上式制约的在某一范围内连续变化时，由上式制约的s在在s平面上描画的轨迹就是系统的根轨迹。因此上式称之为系统的平面上描画的轨迹就是系统的根轨迹。因此上式称之为系统的。根轨迹的幅值方程：根轨迹的幅值方程：gnjjmiiKpszs111 根轨迹的幅角方程：根轨迹的幅角方程：11()()(21)mnijijszspk式中，式中，k=0，1，2，（全部整数）。（全部整数）。前式
5、通常称为前式通常称为 根据这两个条件，可完全确定根据这两个条件，可完全确定s平面上根轨迹平面上根轨迹及及根轨迹上根轨迹上任一点对应的任一点对应的Kg值。值。是确定是确定s平面上根轨迹的平面上根轨迹的，因此，绘制根轨迹时，只需要使用幅角条件；而当需要确定根因此，绘制根轨迹时，只需要使用幅角条件；而当需要确定根轨迹上各点的轨迹上各点的Kg值时，才使用幅值条件。值时，才使用幅值条件。11()1()miingjjszKsp 幅值条件和相角条件幅值条件和相角条件相角相角条件条件,2,1,0,360180)()(1111kkpszsnllmiinllmii相角以逆时针方向为正，相角以逆时针方向为正，顺时针
6、方向为负。顺时针方向为负。幅值条件和相角条件幅值条件和相角条件222(1)()(2)(1.5)(0.5)1(12.340.466 2.342.3)(),(2)()20.8254LggsGsKsssKG sG ssss考虑，求取值使得闭环系统具有环节221,22222.340.466 2.342.3(1)()21=-0.4661 0.442.34661.092.072.34nnG ssjjssj 思路：目标极点：幅值条件与相幅值条件与相角条件的应用角条件的应用-1.5-1-20.5-1.09+j2.072.2666.27o78.8o2.112.61127.53o92.49o2.072K*=2.2
7、62.112.612.072=6.006892.49o-66.27o-78.8o-127.53o=180ognjjmiiKpszs111 1)()(11nllmiigpszsK绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则1、2、3、4规则规则1 根轨迹的连续性根轨迹的连续性闭环特征方程根是根轨迹增闭环特征方程根是根轨迹增益益Kg的连续函数；根轨迹的连续函数；根轨迹是连续的直线或曲线。是连续的直线或曲线。规则规则2 根轨迹的分支数根轨迹的分支数=特征根个数特征根个数=系统阶数系统阶数n。规则规则4 根轨迹起点与终点根轨迹起点与终点根轨迹的起点根轨迹的起点(Kg=0时时)：位于：位于开环传递函数的极点
8、开环传递函数的极点处。处。根轨迹的终点根轨迹的终点(Kg=时：止于时：止于开环传递函数的零点开环传递函数的零点规则规则3 根轨迹的对称性根轨迹的对称性实系数特征方程的根必为实数实系数特征方程的根必为实数或共轭复数或共轭复数,必对称于实轴。必对称于实轴。A：另有另有n m条根轨迹的终点将在无穷远处，可以认为条根轨迹的终点将在无穷远处，可以认为。Q:Q:在实际系统中，开环传函在实际系统中，开环传函其中其中 m n，有，有n 条根轨迹起点为开环极点处，有条根轨迹起点为开环极点处，有m条根轨条根轨迹终点在开环零点处，那其他迹终点在开环零点处，那其他n m条根轨迹的终点在哪里？条根轨迹的终点在哪里？nj
9、jmiiggpszsKsNsMKsHsG11)()()()()()(11()()()=0=,()mgiiinjjKszG s H ss z ssp 0j 0j Kg Kg Kg j K=0K=0K K 0 实轴上的某一区域，若实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹域必是根轨迹。证明：设零、极点分证明：设零、极点分布如图示：布如图示：在实轴上取一测试点在实轴上取一测试点s s0 0 。由图可见，复数共轭极点到实轴由图可见，复数共轭极点到实轴s s0 0 点的向量幅角和为点的向量幅角和为2 2，复数，复数共轭零点如此
10、。因此在确定实轴上的根轨迹时，可以不考虑复数零、共轭零点如此。因此在确定实轴上的根轨迹时，可以不考虑复数零、极点的影响。极点的影响。11()()(21)mnijijszspk s0 点点边开环实数零、极点到边开环实数零、极点到s1 点的向量幅角均为零，也不影点的向量幅角均为零，也不影响实轴上根轨迹的幅角条件。响实轴上根轨迹的幅角条件。而而s0 点点边开环实数零、极点到边开环实数零、极点到s1 点的向量幅角为点的向量幅角为。如果如果s0是根轨迹，则只有当零极点数目之和为奇数时，才满足是根轨迹，则只有当零极点数目之和为奇数时，才满足幅角条件：幅角条件：j i=(2k+1)根据根据，当开环传递函数中
11、，当开环传递函数中m n 时，将有时，将有n m 条条根轨迹分支沿着与实轴夹角为根轨迹分支沿着与实轴夹角为 a，交点为，交点为 a 的一组渐近的一组渐近线趋于无穷远处，且有：线趋于无穷远处，且有：mnzpmiinjja 11 mnka )12(k=0,1,)例例5-2 已知三阶系统的开环传递函数已知三阶系统的开环传递函数试在平面上确定系统根轨迹的渐近线。试在平面上确定系统根轨迹的渐近线。解：系统无零点，而有三个开环极点：解：系统无零点，而有三个开环极点：-p1=0，-p2=-3和和-p3=-4，因此，因此有有n-m=3条根轨迹分支趋向无穷远。条根轨迹分支趋向无穷远。渐近线在实轴上的交点为渐近线
12、在实轴上的交点为和和n-m=3个渐近线与实轴的夹角个渐近线与实轴的夹角为为)4)(3()(sssKsGgL37030)4()3(0 1,0k,180,60,6003k360180求取根轨迹的渐近线求取根轨迹的渐近线 两条或两条以上的根轨迹在两条或两条以上的根轨迹在s平面上相遇后立即分开的平面上相遇后立即分开的点，称为根轨迹的分离点点，称为根轨迹的分离点(会合点会合点)。0 j z1 j1Ap1p2KgKgKg=0=0Kg=0=01）分离点是系统闭环重根；）分离点是系统闭环重根；2）由于由于根轨迹是对称的，所以分离点或位于实轴上，根轨迹是对称的，所以分离点或位于实轴上，或以共轭形式成对出现在复平
13、面上；或以共轭形式成对出现在复平面上；3）4）在一个开环零点和一个开环极点之间若有根轨迹，该段无）在一个开环零点和一个开环极点之间若有根轨迹，该段无分离点或分离点成对出现。分离点或分离点成对出现。j 0用重根法求取根轨迹的分离点或汇合点用重根法求取根轨迹的分离点或汇合点()()0()()(5-20)qLgLD sK NsspF s21)-(50)()()()()()(1 dssdFpssFpsqdssdNKdssdDqqLgL由此，根轨迹的分离点或会合点，重根必然满足如下式子：由此，根轨迹的分离点或会合点，重根必然满足如下式子：()()0LgLDsK Ns()()0LLgdD sdNsKdsd
14、s()()()()0LLLLdNsdDsDsNsdsds()G()LLgLNssKD s 分离点上，根轨迹的切线与正实轴的夹角称为根轨迹的分离角分离点上，根轨迹的切线与正实轴的夹角称为根轨迹的分离角，用下式计算：用下式计算：。kd/180 miimiinjjnjjzszsdsdpspsdsd1111)()()()(dszsddspsdmiinjj 11)(ln)(ln miinjjdszsddspsd11)ln()ln(njjmiipszs1111VVV )(ln njjmiipdzd11111()(),()()mnLiLjiijNsszD ssp()()()()0LLLLdNsdDsDsNs
15、dsds例例5-2 已知三阶系统的开环传递函数已知三阶系统的开环传递函数试在平面上确定系统根轨迹的渐近线。试在平面上确定系统根轨迹的渐近线。解：系统无零点，而有三个开环极点：解：系统无零点，而有三个开环极点：-p1=0，-p2=-3和和-p3=-4，因此，因此有有n-m=3条根轨迹分支趋向无穷远。条根轨迹分支趋向无穷远。渐近线在实轴上的交点为渐近线在实轴上的交点为和和n-m=3个渐近线与实轴的夹角个渐近线与实轴的夹角为为)4)(3()(sssKsGgL37030)4()3(0 1,0k,180,60,6003k360180用重根法求取根轨迹的分离点或汇合点用重根法求取根轨迹的分离点或汇合点用重
16、根法求取根轨迹的分离点或汇合点用重根法求取根轨迹的分离点或汇合点根据规则根据规则5可知，闭环系统根轨迹在实轴上的区间为（可知，闭环系统根轨迹在实轴上的区间为（-,-4和和-3,0，显然，点，显然，点s1=-3.5352在实轴上的根轨迹区间之外，在实轴上的根轨迹区间之外，故根轨迹分离点必位于点故根轨迹分离点必位于点s2=-1.1315处。处。sssssssDL127)4)(3()(23 1)(sNL2314120ss1315.13137,5352.3313721 ss()()()()0LLLLdNsdDsDsNsdsds 例例 已知系统开环传函为已知系统开环传函为)3)(2()1()(ssssKsG试绘制系统的根轨迹。试绘制系统的根轨迹。解：解：0j 213)1(32011 mnzpmiinjja 2212 ka3121111 ddddd=2.5 左左=0.67 右右=0.4d=2.01 左左=0.99 右右=99.49d=2.25 左左=0.8 右右=3.11d=2.47 左左=0.68 右右=0.65d=2.4723绘制根轨迹的法则绘制根轨迹的法则8：与虚轴的交点：与虚轴的交点例例5
