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1、3.1 自适应滤波原理图 3.1 自适应滤波器原理如上图，自适应滤波器由参数可调的数字滤波器和自适应算法两部分组成。参数可调数字滤波器可以是FIR数字滤波器或IIR数字滤波器，也可以使格型数字滤波器。该系统具有最小均方误差和最小方差。自适应滤波器的特性有：（1）收敛速度（2）误调整（3）计算的复杂性（4）对于随时间变化的数据的循迹能力（5）结构：高模块性、高平行性、高并行性（适合超大规模集成电路的实现）（6）数值特性：数值稳定性和数值精确性（7）稳定性：小能量的干扰仅仅带来很小的估计误差3.2 自适应线性组合器自适应线性组合器是一种参数可自适应调整的有限冲激响应（FIR）数字滤波器，具有非递归
2、结构形式。它的分析和实现比较简单，在大多数自适应信号处理系统中得到广泛应用。图 3.6所示的是自适应线性组合器的一般形式。输入信号适量x(n)的L+1个元素，既可以通过在同一时刻n对L+1个不同信号源取样得到，也可以通过对同一信号源在n以前L+1个时刻取样得到。前者成为多输入情况，后者称为单输入情况。图3.6所示的是多输入情况，图3.7所示的是单输入情况。这两种情况下输入信号矢量都用x(n)表示，但应注意它们有如下区别：多输入情况：X(n)=x0(n)x1(n)xL(n)T （3.1）单输入情况：X(n)=x(n)x(n-1)x(n-L)T （3.2）这意味着，多输入情况下x(n)是一个空间序
3、列，其元素由同一时刻的一组取样值构成，相当于并行输入；而单输入情况下x(n)是一个时间序列，其元素由一个信号在不同时刻的取样值构成，相当于串行输入。对于一组固定的权系数来说，线性组合器的输出y(n)等于输入矢量x(n)的各元素的线性加权和。然而实际上权系数是可调的，调整权系数的过程叫做自适应过程。在自适应过程中，各个权系数不仅是误差信号e(n)的函数，而且还可能是输入信号x(n)的函数，因此，自适应线性组合器的输出就不再是输入信号的线性函数。输入信号和输出信号的关系为单输入情况：（3.3）多输入情况：（3.4）Lkkknxnwny0 Lkkknxnwny0自适应线性组合器的L+1个权系数构成一
4、个权系数矢量，称为权矢量，用w(n)表示，即W(n)=w0(n)w1(n)wL(n)T (3.5)这样，式（3.3）和式（3.4）可统一表示为y(n)=xT(n)w(n)=wT(n)x(n)(3.6)参考响应与输出响应之差称为误差信号，用e(n)表示，即e(n)=d(n)-y(n)=d(n)-xT(n)w(n)=d(n)-wT(n)x(n)(3.7)自适应线性组合器按照误差信号均方值（或平均功率）最小的准则，即(n)=Ee2(n)=min (3.8)来自动调整权矢量。3.3 均方误差性能曲面由式（3.6）、（3.7）、（3.8）得均方误差表示式为 （3.9）在d(n)和x(n)都是平稳随机信号
5、的情况下，输入信号的自相关矩阵R，d(n)与x(n)的互相关矩阵P都是与时间n无关的恒定二阶统计，分别定义为 2()()2()()TTnE dnn E x n xnnE d n xnnTwww （3.10）（3.11）以上二式对应于多输入情况。对于单输入情况，不难写出类似结果。将上二式代入式（3.9），得到均方误差的简单表示形式 （3.12）0110110 xxxxxxxxxxxxxxxxxxRRRLRRRLEnnRLRLRTRxx 01()(),()(),()()TLE d nnE d n x n d n x nd n xnPx 22nE dnnnnTTwRwP w从该式看出，在输入信号和参
6、考响应都是平稳随机信号的情况下，均方误差是权矢量w各分量的二次函数。这就是说，若将上式展开，则w各分量只有一次项和二次项存在。的函数图形是L+2维空间中一个中间下凹的超抛物面，有唯一的最低点min该曲面称为均方误差性能曲面，简称性能曲面。自适应过程是自动调整权系数，使均方误差达到最小值min的过程，这相当于沿性能曲面往下搜索最低点。最常用的搜索方法是梯度法，因此，性能曲面的梯度是一个很重要的概念。均方误差性能曲面的梯度用表示，定义为 (3.13)01 TLnnnnnnwnw nwnw将式3.12代入上式，得到 （3.14）最小均方误差对应的权矢量称为最佳权矢量或维纳解，用 表示。在性能曲面上，
7、该点梯度等于零，即 （3.15）将其代入式（3.12），得最小均方误差 ()()22nnnnwRwP *220 nn1RwPwR Pw (3.17)由于是w 的二次型，且在w=处有唯一最小值，故可写成下列标准形式 （3.18）若定义权偏移矢量 （3.19）则上式可写成下列更简单的形式：（3.20）w wwRwwTminnwwv RvvTminn 2min21212 E dnE dnE dnE dnTTT1T1T1TwRw2P wR PR R P2PR PP R PPPRwwRvvT该式表明，当权矢量w相对于最佳值 偏离了义个数值v（v 0）时，均方误差将比最小均方误差min大一个数值 。为了保
8、证对任何可能的v值都使为非负，显然要求 （任取v值）(3.21)这就是说，R应该是正定或正半定的，正半定是指对某些有限个v或所有v，=0的情况。实际应用中的R应该满足这一要求。根据式（3.20）计算性能曲面得梯度，得 (3.22)该式与式（3.14）等效。w0RvvTRvvTRvv2 3.4 二次性能曲面的基本性质平稳随机信号的统计特性不随时间变化，因此，其性能曲面在坐标系中是固定不变或“刚性”的，自适应过程就是从性能曲面上某点(初始状态)开始，沿着曲面向下搜索最低点的过程。但对于非平稳随机信号来说，由于其统计特性随着时间在变化，因而其性能曲面是是“晃动的”或“模糊的”。在这种情况下，自适应过
9、程不仅要求沿性能曲面向下搜索最低点，而且还要求对最低点进行跟踪。下面只讨论平稳随机信号情况下性能曲面的某些基本性质。由式(3.18)或式(320)看出，性能曲面的形状和取向都与R有关，因此，它的性质将取决于输入信号自相关矩阵R的性质。为便于理解，下面讨论只有两个权系数w0和w1的自适应线性组合器。在这种情况下，性能曲面是三维空间(,w0,w1)中的一个抛物面。现用一个与w0-w1平面平行且与其相距1的平面切割该抛物面，所得的交线在w0-w1 平面上的投影是一个椭圆，如图38所示。桶圆的中心为w*(w0*，w1*)，它是性能曲面最低点min的投影。如果用若干个与w0-w1 平面距离不同的平行平面
10、来切割性能曲面，则所得的交线投影将是一组中心同在w*的椭圆，它们各与一个确定的值相对应，因此，称这些椭圆为等均方误差线或等高线，如图3.9所示。图 3.8 与1对应的等高线图 3.9 一组等均方误差线在（w0,w1)坐标系中，等高线方程可由式（3.12）得到，即 （3.23）若将坐标原点平移至(w0*,w1*)，便得到权偏移矢量坐标系(v0,v1)=(w0-w*,w1-w*)，在该坐标系中等高线方程为 （3.24）这仍是一组同心椭圆，中心位于新的坐标原点（v=0)。在图3.9中，和 是椭圆的主轴。2TTw RwP w常数vv TR常数0v1v将以上讨论推广到有L+1个权系数的情况，不难想象，等
11、高线将是L+1维空间中的一组同心椭圆，椭圆中心位于坐标系（v0,v1,vL)的原点。这组同心超椭圆有L+1根主轴，它们也是均方误差曲面的主轴。若把这组同心超椭圆看成是函数F(v)=vTRv的等高线，F的梯度也是的梯度，那么，与椭圆正交的任何矢量都可用F的梯度来表示。F的梯度为 v （3.25）任何通过坐标原点v=0的矢量都可表示为。主轴 与F(v)正交且通过坐标原点，故有 （3.26）或 （3.27）考虑到R与其特征值n和特征矢量Qn满足下列关系 （3.28）01,.2LFFFvvv Rv2Rvv2RI v0nnRI Q0将该式与式（3.27）比较，可以看出，即主轴是R的特征矢量，这是性能曲面
12、的第一个性质。R是对称和正定的，可化为标准形 （3.29）式中，是R的特征值矩阵，它是一个对角矩阵，即 （3.30）n vQ1RQ QL,diag,1,0对角上的元素n(n=0,1,2,L)是R的L+1个特征值，可由R的特征方程 （3.31）接触。Q是R的特征矢量矩阵，它是以R的特征矢量Q n 作为列构成的方阵，即 Q=Q0 Q1 QL (3.32)这里，Q n(n=0,1,2,L)是R的特征矢量，它们与R的特征值之间有下列关系 （3.33）0IRdetnnnRQQ 将式（3.29）代入式（3.20），可得到性能曲面的另一种表示形式 （3.34）该式中 （3.35）它是坐标系v旋转后得到的新坐
13、标系统。在坐标系 中性能曲面的梯度可由式（3.34）求出，为 （3.36）vmin1minmin()TT1TTvQ QvQ vQ vvv1TvQ vQ v 0 01 122,TLLvvvv v将该式与式（3.25）进行对照，可以看出，如果只有一个分量 是非零的，那么，梯度矢量就位于坐标轴上。因此，式（3.35）定义的旋转坐标系统 就是超椭圆的主轴坐标系统。这是性能曲面的第二个性质。由式（3.36）可知，沿主轴 的梯度分量可写成 （3.37）nv vnvLnvvnnn.,2,1,0,2 nv沿主轴 的二阶导数为 （3.38）这就是说，输入信号的自相关矩阵R的特征值给出有了性能曲面沿主轴的二阶导数
14、值。这时性能曲面的第三个性质。现将二次性能曲面的三个基本性质总结如下：1）根据输入相关矩阵的特征向量定义性能曲面的主轴。Lnvnn,1,0 ,2 222）旋转坐标系统确定了性能曲面等高线的主轴坐标系统。3）输入信号的自相关矩阵R的特征值给出了性能曲面沿主轴的二阶导数值。3.5 最陡下降法最陡下降法是沿性能曲面的最陡方向向下搜索曲面的的最低点。曲面的最陡下降方向是曲面的负梯度方向。这是一个迭代搜索过程即首先从曲面上某个初始点(对应于初始权矢量w(0)出发，沿该点负梯度方向搜索至第1点(对应的权矢量为w(1)，w(1)等于初始值w(0)加上一个正比于负梯度的增量。用类似的方法，一直搜索到 w*(对
15、应于曲面最低点)为止。最陡下降法迭代计算权矢量的公式为 (3.39)式中，是控制搜索步长的参数称为自适应增益参数，或收敛参数；曲面上各点的梯度不同，因此，梯度加有时间指标n。将梯度公式代入上式，得 nnnww1 (3.40)求解式（3.40）即可求得权矢量随迭代次数变化的函数关系。由于w(n)的系数短阵(I-2R)不是对角短阵，若将式(3.40)展开，则各方程之间将通过w(n)的各分量互相耦合起来，这就给式(3.40)的求解造成因难。为了将式(3.40)变换成L+1个互相独立的标量方 RwwRIPRwPRwwPRwww122 2 22 1nnnnnnnn n v程，需要将w坐标通过平移和旋转进
16、一步变换成主轴坐标 ，这样式(340)变为 （3.41）式中，和 的定义分别由式（3.30）和式（3.35）给出。式（3.41）展开后，得到L+1个独立的标量方程 12nnvIv v （3.42）由于它们之间没有耦合，因此，可分别由初始权值进行迭代运算求解，最后得 （3.43）nvnvnvnvnvnvLLL211211211111000 0001111 21 21 2nnnLLLvnvnv nv nvnvn式中，是L+1个初始权值，它们构成初始权矢量 （3.44）式（3.43）用矢量表示为 （3.45）从式（3.43）可看出，为确保算法稳定且收敛，必须要求所有的特征值满足下式 (0)(0,1,2)kvkL 20nvIvIf lim 1 20,0,1,nknkL01(0)(0)(0)(0)TLvvvv内选取，那么，条件式（3.46）必然满足。上式中max是R的最大特征值。式（3.47）是最陡下降法搜索二次误差性能曲面迭代计算收敛的必要条件，当此条件满足时，根据式（3.45），有1maxlim201 2|1,0,1,(3.46)0(3.47)nnkkLI或或|如果 值在下列范围 Rtr这表
