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1、1第第4章章 数的表示方法和算术运算电路数的表示方法和算术运算电路【课前思考课前思考】【学习指南学习指南】4.1数制和编码数制和编码4.2无符号数的加法运算无符号数的加法运算4.3有符号数的表示方法和算术运算有符号数的表示方法和算术运算4.4用用EDA工具设计算术运算电路示例工具设计算术运算电路示例【本章小结本章小结】24.1数制和编码数制和编码 日常生活中最常见的数据表示形式是十进制数，与此日常生活中最常见的数据表示形式是十进制数，与此同时也存在大量的其它数制。例如同时也存在大量的其它数制。例如 12英寸为英寸为1英尺是十二进制；英尺是十二进制；60秒为秒为1分钟是六十进制；分钟是六十进制；
2、24小时为小时为1天是二十四进制天是二十四进制。数字电路只可能有数字电路只可能有2个稳定状态（个稳定状态（H/L），因此数字），因此数字系统内部采用二进制数也合乎逻辑。系统内部采用二进制数也合乎逻辑。把数据转换为一组代码（这里特指二进制代码）称为把数据转换为一组代码（这里特指二进制代码）称为编码。编码。3数的位置表示法数的位置表示法 十进制数十进制数2758.12可以表示为：可以表示为：(2758.12)10=2 103+7 102+5 101+8 100+1 10-1+2 10-2 十进制数的一般形式十进制数的一般形式：（D）10=dn-1dn-2did1d0.d-1d-m 可以表示为：可以
3、表示为：式（式（4-1）中）中:下标下标 i 代表数字代表数字d i 的的位置位置，p i是十进制数第是十进制数第i 位数字的位数字的权权。十进制数中每一位十进制数中每一位d i有有10种可能的取值，并且其权重为种可能的取值，并且其权重为10的的幂，故称其为幂，故称其为以以10为基为基的数。的数。11010)(nmiiidD)14(10)(110iinmiiipdpD式中4数的位置表示法（续）数的位置表示法（续）二进制数的一般形式二进制数的一般形式：式（式（4-2）中）中:下标下标 i 代表数字代表数字b i 的的位置位置，p i 是二进制数第是二进制数第 i 位数字的位数字的权权。二进制数中
4、每一位二进制数中每一位 b i有有 2 种可能的取值，并且其权重为种可能的取值，并且其权重为 2 的的幂，故称其为幂，故称其为以以2为基为基的数。的数。122)(nmiiibB)24(2)(12iinmiiipbpB式中5数的位置表示法（续）数的位置表示法（续）r 进制数的一般形式进制数的一般形式：式（式（4-3）中）中:下标下标 i 代表数字代表数字s i 的的位置位置，p i 是是 r 进制数第进制数第 i 位数字的位数字的权权。r 进制数中每一位进制数中每一位 s i有有 r 种可能的取值，并且其权重为种可能的取值，并且其权重为 r 的幂，故的幂，故称其为称其为以以 r 为基为基的数。的
5、数。1)(nmiiirsrS)34()(1iinmiiirrpspS式中6数的位置表示法（续）数的位置表示法（续）r 进制数进制数 第第 i 位数字位数字si 的权值为的权值为pi，属于，属于有权编码有权编码。（与此相对的是无权编码）（与此相对的是无权编码）数字系统中常用的数制数字系统中常用的数制:提醒：二进制数中某一位提醒：二进制数中某一位b i 的单位为比特（的单位为比特（bit），比特的取值可为），比特的取值可为 0 或或 1，这里的，这里的 0 或或 1 具有数值的意义。第具有数值的意义。第1章中谈及布尔函数和布尔变量时，章中谈及布尔函数和布尔变量时，布尔变量的取值也可用布尔变量的取值
6、也可用 0 或或 1 表示，但那时表示，但那时 0 的含义是假，的含义是假，1 的含义是的含义是真。真。7二进制数与十进制数的相互转换二进制数与十进制数的相互转换 二进制数转换为十进制数：二进制数转换为十进制数：式（式（4-2）是二进制数与十进制数相互转换的数学基础是二进制数与十进制数相互转换的数学基础 例：例：)24(2)(12iinmiiipbpB式中8二进制数与十进制数的相互转换（续）二进制数与十进制数的相互转换（续）十进制数转换为二进制数十进制数转换为二进制数：通常把通常把整数部分整数部分与与小数部分小数部分分别处理分别处理 整数部分整数部分：（1）将十进制整数除以）将十进制整数除以2
7、，所得余数即为对应二进制数最低位的值；，所得余数即为对应二进制数最低位的值；（2）将上次所得商再除以）将上次所得商再除以2，所得余数即为对应二进制数次低位的值；，所得余数即为对应二进制数次低位的值；（3）重复执行第（）重复执行第（2）步的操作，直到商为）步的操作，直到商为 0 时为止。余数构成二进时为止。余数构成二进制数每一位的值。制数每一位的值。例：例：（45）10=（101101）29二进制数与十进制数的相互转换（续）二进制数与十进制数的相互转换（续）十进制数转换为二进制数十进制数转换为二进制数：整数部分转换简略的形式：整数部分转换简略的形式：除数 2 被除数/商 余数 2 45 .1 2
8、 22 .0 2 11 .1 2 5 .1 2 2 .0 2 1 .1 低位 高位 0 例：（例：（45）10=（101101）210二进制数与十进制数的相互转换（续）二进制数与十进制数的相互转换（续）十进制数转换为二进制数（续）十进制数转换为二进制数（续）：小数部分小数部分：（1）将十进制小数乘以）将十进制小数乘以2，所得乘积的整数部分（，所得乘积的整数部分（0或或1）即为对应二）即为对应二进制小数最高位的值；进制小数最高位的值；（2）将上次所得乘积的小数部分再乘以）将上次所得乘积的小数部分再乘以2，所得乘积的整数部分即为，所得乘积的整数部分即为对应二进制小数次高位的值；对应二进制小数次高位
9、的值；（3）重复执行第（）重复执行第（2）步的操作，直到乘积的小数部分为）步的操作，直到乘积的小数部分为0或所得小数或所得小数部分已满足精度要求时为止。部分已满足精度要求时为止。例：例：(0.6875)10=(0.1011)2 乘积的整数部分即乘积的整数部分即 二进制数的小数部分二进制数的小数部分 十进制数十进制数 的小数部分的小数部分 乘以乘以 2 0.6875(2 高位 1 0.3750(2 0 0.7500(2 1 0.5000(2 低位 1 0.0000 11二进制数与八进制数的相互转换二进制数与八进制数的相互转换 八进制数的二进制编码八进制数的二进制编码：3位二进制数对应于位二进制数
10、对应于1 位八进制数位八进制数12二进制数与八进制数的相互转换（续）二进制数与八进制数的相互转换（续）二进制数转换为八进制数：二进制数转换为八进制数：3位二进制数对应于位二进制数对应于1 位八进制数，转换算法非常简单：位八进制数，转换算法非常简单：（1）以小数点为分界线，分别向左和向右每）以小数点为分界线，分别向左和向右每 3 位看作一组位看作一组。注意，遇到不足注意，遇到不足3 位时将其补足位时将其补足3 位，向左扩展时向高位补位，向左扩展时向高位补 0，向右，向右扩展时向低位补扩展时向低位补 0。（2）把每一组的二进制码替换为对应的八进制码。）把每一组的二进制码替换为对应的八进制码。例例：
11、13二进制数与八进制数的相互转换（续）二进制数与八进制数的相互转换（续）八进制数转换为二进制数：八进制数转换为二进制数：（1）以小数点为分界线，分别向左和向右对每一八进制）以小数点为分界线，分别向左和向右对每一八进制码进行转换。码进行转换。（2）把每一八进制码替换为对应的二进制码。）把每一八进制码替换为对应的二进制码。注意注意，转换后的二进制码必须是，转换后的二进制码必须是 3 位，例如位，例如 28应转换为应转换为0102，而不是，而不是102。例例：14二进制数与十六进制数的相互转换二进制数与十六进制数的相互转换 十六进制数的二进制编码十六进制数的二进制编码：4位二进制数对应于位二进制数对
12、应于1 位十六进制数位十六进制数15二进制数与十六进制数的相互转换（续）二进制数与十六进制数的相互转换（续）二进制数转换为十六进制数：二进制数转换为十六进制数：4位二进制数对应于位二进制数对应于1 位十六进制数，转换算法非常简单：位十六进制数，转换算法非常简单：（1）以小数点为分界线，分别向左和向右每）以小数点为分界线，分别向左和向右每 4 位看作一组位看作一组。注意注意：遇到不足：遇到不足4 位时将其补足位时将其补足4 位，向左扩展时向高位补位，向左扩展时向高位补 0，向右，向右扩展时向低位补扩展时向低位补 0。（2）把每一组的二进制码替换为对应的十六进制码。）把每一组的二进制码替换为对应的
13、十六进制码。例例：16二进制数与十六进制数的相互转换（续）二进制数与十六进制数的相互转换（续）十六十六进制数转换为二进制数：进制数转换为二进制数：（1）以小数点为分界线，分别向左和向右对每一十六进）以小数点为分界线，分别向左和向右对每一十六进制码进行转换。制码进行转换。（2）把每一十六进制码替换为对应的二进制码。）把每一十六进制码替换为对应的二进制码。注意注意，转换后的二进制码必须是，转换后的二进制码必须是 4 位，位，例如例如316 应转应转换为换为00112，而不是，而不是112。例例：17十进制数的二进制编码十进制数的二进制编码 用二进制代码表示十进制数称为用二进制代码表示十进制数称为二
14、二 十进制码十进制码或或BCD码（码（Binary Coded Decimal，BCD）。）。4位二进制代码可以代表位二进制代码可以代表24=16种状态，而十进制数只种状态，而十进制数只需要需要10种状态，因此需要舍弃其中种状态，因此需要舍弃其中6种状态不用。种状态不用。8421码码：8421分别代表各位的权值。分别代表各位的权值。最高位的权值为最高位的权值为8、次高位为、次高位为4、再次为、再次为2、最低位为、最低位为1。18十进制数的二进制编码（续）十进制数的二进制编码（续）余余3码：是一种无权码码：是一种无权码。二二进进制制 编编码码 对对应应的的 十十进进制制数数 0000 舍弃不用
15、0001 舍弃不用 0010 舍弃不用 0011 0 0100 1 0101 2 0110 3 0111 4 1000 5 1001 6 1010 7 1011 8 1100 9 1101 舍弃不用 1110 舍弃不用 1111 舍弃不用 互为反码 19十进制数的二进制编码（续）十进制数的二进制编码（续）十进制数的有权编码示例十进制数的有权编码示例：20格雷码格雷码 格雷码是一种无权码，其格雷码是一种无权码，其特点为特点为任何任何2个相邻的代码个相邻的代码之间只在某之间只在某1位上取值不同位上取值不同。此特点在某些场合特别有此特点在某些场合特别有用，可以减少代码变换过用，可以减少代码变换过程中
16、发生错误的机会，是程中发生错误的机会，是一种高可靠性编码。一种高可靠性编码。右图为右图为二进制数反射二进制数反射格雷格雷码。码。反射码和二进制数之间反射码和二进制数之间的对应关系：的对应关系：二进制数二进制数 b3b2b1b0 格雷码格雷码 g3g2g1g0 0000 0000 0001 0001 0010 0011 0011 0010 0100 0110 0101 0111 0110 0101 0111 0100 1000 1100 1001 1101 1010 1111 1011 1110 1100 1010 1101 1011 1110 1001 1111 1000 ）（441iiibbg21格雷码（续）格雷码（续）十进制数反射格雷码示例：十进制数反射格雷码示例：十进制数十进制数 格雷码格雷码 0 0000 1 0001 2 0011 3 0010 4 0110 5 1110 6 1010 7 1011 8 1001 9 1000 22字符编码字符编码 数字系统中，数字系统中，0和和1不仅可以代表数字，而且可以进行不仅可以代表数字，而且可以进行组合用于表示字母、运算符以及控制符等
