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1、菱形的性质及判定【知识梳理】1 .菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2 .菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质：边的性质：对边平行且.里边相等.角的性质：邻角互补，对角相等.对角线性质：对角线互相金宣不分且每条对角线平分一组对角.对称性：菱形是中心对称亩就也是篇益森由M菱形的面积等于底乘以高，等于对角履家寂盆一半.点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半.3 .菱形的判定判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形.判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.判定：四边相等的四边形是菱形.【例题精讲】板块一、菱形的性质【
2、例1】菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是【例2】如图所示，在菱形ABCD中，NABC=60。，DEAe交BC的延长线于点E.求证：de=1be.2【例3】如图，在菱形ABCD中，ZA=60o,AB=4,O为对角线BD的中点，过O点作OE_LAB,垂足为E.(1)求NABD的度数；(2)求线段BE的长.【例3】如图，四边形ABCD是菱形，BEj_AD、BFCD,垂足分别为E、F.(1)求证：BE=BF;(2)当菱形ABCD的对角线AC=8,BD=6时，求BE的长.B【例4】如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一
3、个动点(不与A、B重合)，连接DP交对角线AC于E连接BE.(1)证明：ZAPD=ZCBE;(2)若NDAB=60。，试问P点运动到什么位置时，ADP的面积等于菱形ABCD面积的2,为什么？4【例5】如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是ICms.(1)在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？(2)分别求出菱形AQCP的周长、面积.【例6】如图，菱形花坛MCD的周长为20m，乙I8C-60，沿着菱形的对角线修建了两条小路/C和8D，求两条小路的长和花坛
4、的面积.EBi【例7】已知，菱形AeC。中，、尸分别是8C、CD上的点，若4=/二尸=”，求/C的度数.【作业】L在菱形ABCD中，AB=5cm,则此菱形的周长为（A. 5cmB. 15cmC. 20cmAD. 25cm2 .如图，在菱形ABCD中，ZBAD=60o , BD=4,则菱形ABCD的周长是3 .已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长度是6和8,则这个菱形的周长是（A、20B、14C、 28 D、 244 .如图，菱形ABCD的周长是16,ZA=60o,则对角线BD的长度为（）A.2B.2VJC.4D.4735 .已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点0,NBAD=I20,A,
5、/菰积是（）、C、M (5, 0) , N (7, 4)i点 M、ND、M (4, 0) , N (7, 4)二、填空题7.如图，菱形ABCD的边长是2cm,E是AB的中点，且DEJLAB,则菱形ABCD的面积为一2cm第7题第8题第9题8.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,且AC=8,BD=6,过点。作OH_LAB,垂足为H,则点。到边AB的距离9 .如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD,若AD=6cm,NABC=60。，则四边形ABCD的面积等于cm2.10 .(2011河北，14,3分)如图，已知菱形ABCD,其顶点A,B在数轴上对应的数分
6、别为-4和1,则BC=.DCOB第10第1111 .如图，在菱形ABCD中，NBAD=60,BD=4,则菱形ABCD的周长是三、解答题12 .如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分别在边川求证：zACEgZACF013.如图，(1)(2)四边形ABCD为菱形，己知A(0,4),B(-3,求点D的坐标;求经过点C的反比例函数解析式.14.如图所示，在菱形ABCD中,求证：DE15.(2011湘西州)如图,已知矩形ABCD的两条对角线相交于0,NACB=30。，AB=2.(1)求AC的长.(2)求NAoB的度数.(3)以OB、OC为邻边作菱形OBEa求菱形OBEC的面积.板块二、菱形的判定【
7、例1】如图，如果要使平行四边形A5CD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是.【例2】如图，在中，8。平分Z/I8C，的中垂线交46于点E,交BC于点产，求证：四边形8。尸是菱形【例3】已知：如图，平行四边形ABa)的对角线AC的垂直平分线与边力0、AC分别相交于E、A求证：四边形/RE是菱形.【例4】如图，在梯形纸片ABC。中，08C,dOC0,将纸片沿过点。的直线折叠,使点C落在Ao上的点C处，折痕交比于点E,连结CE.求证：四边形CDCE是菱形.【例5】如图，在ABC中，/8-/C，“是BC的中点.分别作IfDJ./6于。，MTLdC于E,OFINC于尸，EGLzfS于GOF
8、、EG相交于点夕.求证：四边形OMEP是菱形.【作业】1 .有一组邻边相等的是菱形，对角线的四边形是菱形。2 .菱形的面积为24Cm,一条对角线的长为6cm,则另一条对角线长为cm,边长为cm,高为cmo3 .菱形周长为20,相邻两角的比为1:2,则菱形的两对角线的长为o4 .如图1所示，菱形ABCD中，AEBC,BE=EC,AE=2,BD=。5 .如图2所示，菱形ABCD中，AB=AE=EF=FA,ZC=。-7C6 .菱形对角线的平方和等于一边平方的（）A.2倍B.3倍C.4倍D.8倍A.对角线互相平分B.邻角互补对角相等D.每条对角7 .菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（线平分一组对
9、角8 .如图3所示，菱形ABCD中，DEAB,DFBC,E、F为垂足，AE=EB,则NEDF等于（）A.75oB.60oC.50oD.459 .下列条件中不能确定菱形的形状和大小的是（）A.已知菱形的两条对角线B.已知菱形的一边和一个内角C.已知菱形的四条边D.已知菱形的周长和面积10 .下列命题正确的是（）A.有两组邻角相等的四边形是菱形B.有一组邻边相等的四边形是菱形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形11 .菱形的周长为热高为力，一条对角线长为力，则另一对角线的长可示为：12 .如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E,求证：ZAFD=Z
10、CBE013 .如图，ZXABC中，AB=AC,AD是角平分线，E为AD延长线上一点，CFBE交AD于F,连结BF、CE,求证：四边形BECF是菱形。14 .如图，ZXABC中，NACB=90,NB的平分线交高CD于E,交AC于F,FGAB,G为垂足，求证：四边形CEGF是菱形。15 .如图，已知BD是aABC的角平分线，AE_LBD交BC于E,交BD于F,ZFAG=ZFADo连结EG、ED,求证：四边形AGED为菱形。16 .如图5所示，已知AABC中，AB=AC,D为BC中点，DEAC,DFAB,E,F为垂足,FG1C,EHlAB,且交于Q,G、H为垂足，求证：四边形DEQF为菱形。17
11、.如图，在菱形ABCD中，ZB=ZEAF=60o,NBAE=20,求NCEF的度数。1 .用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）A、一组临边相等的四边形是菱形B、四边相等的四边形是菱形C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形D、每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形2.如图.若要使平行四边形ABCD成为菱形.则需要添加的条件是（）A.AB=CDB.AD=BCC.AB=BCD.AC=BD3.如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PEAB,PFAD,垂足分别为E、F,且PE=PF,平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？4.GH、在四边形ABCD中，E、F、
12、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点HE.（1）请判断四边形EFGH的形状，并给予证明；（2）试添加一个条件，使四边形EFGH是菱形.（写出你添加的条件，不要求证明）5、如图，在平行四边形ABCD中，ZDB=60o,AB=2AD,点E、F分别是CD的中点，过点A作AGBD,交CB的延长线于点G.求证：四边形DEBF是菱形；矩形知识梳理：1 .矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2 .矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，还具有自己独特的性质:边的性质：对边平行且相等.角的性质：四个角都是直角.对角线性质：对角线互相平分且相等.对称性：矩形是中心对称图形，
13、也是轴对称图形.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.直角三角形中，3r角所对的边等于斜边的一半.3.矩形的判定判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形.判定：对角线相等的平行四边形是矩形.判定：有三个角是直角的四边形是矩形.【例题精讲】(。下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是()A、对边相等B、对角相等C、对角线相等D、对边平行(2)矩形力题中，对角线4G仍相交于0,/力如=60,Jr=IOcm,则D=cm,BC=cm.(3)在力比中，NC=90,C=5,BC=3,则月8边上的中线g.(4)矩形的对角线长为2；两条邻边之比是2：3,则矩形的周长是.(5)如图，/为矩形纸片4%刀的比边
14、上一点，将纸片沿熊向上折叠，使点8落在Zr边上的少点处.若的周长为9,改产的周长为3,则矩形4%刀的周长为(6).矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86Cnb对角线是13cm,那么矩形的周长是【矩形的判定】【例1】如图，在四边形的8中，乙加C=4CD=90o,AC=BD,矩形.M是A。的中点，且“8-MC,求证：四边形【例2】如图，在平行四边形AeC。中,.8是矩形.JB【例3】如图，平行四边形ABCD中，A。、BN、CN、W分别是ZzMr以BC、/BCD、/Cl的平分线，AQ与BN交于p,CN与DQ交于M,证明：四边形如，八：是矩形.【例5】如图，在AABC中，。是3C边上的一点，E是AO的中点，过X点作AC的平行线交CE的延长线于点尸，且彳尸=80,连结8尸.、求证：BD-CD.、如果M=AC,试判断四边形,4尸8。的形状，并证明你的结论.【例6】已知，如图，在4BC中，/ACfAO是8C边上的高，HF是NZHC的外角平分线，。后AB交AF于E,试说明四边形/以石是矩形.【矩形的性质及应用】【例7】如图，在矩形旗8中，点E是6C上一点，AE=ADfDFLAEf垂足为尸.线段。尸与图中的哪一条线
