《导数及其应用》知识点总结.docx

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1、导数及其应用学问点总结一、导数的概念和几何意义1 .函数的平均改变率:函数在区间三上的平均改变率为:IXI。2 .导数的定义:设函数目在区间上有定义,目,若a无限趋近于O时,比值XI无限趋近于一个常数A,则称函数目在臼处可导,并称该常数A为函数目在自处的导数,记作日。函数目在叵处的导数的实质是在该点的瞬时改变率。3 .求函数导数的基本步骤:(1)求函数的增量一;(2)求平均改变率:1;(3)取极限,当回无限趋近及O时,无限趋近及一个常数A,则目.4 .导数的几何意义:函数臼在国处的导数就是曲线目在点目处的切线的斜率。由此,可以利用导数求曲线的切线方程,详细求法分两步:(1)求出口在x处的导数,

2、即为曲线目在点E三3处的切线的斜率;(2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为当点目不在日上时,求经过点P的目的切线方程,可设切点坐标,由切点坐标得到切线方程,再将P点的坐标代入确定切点。特殊地,假如曲线目在点日处的切线平行及y轴,这时导数不存在,依据切线定义,可得切线方程为o5 .导数的物理意义:质点做直线运动的位移S是时间t的函数臼,则目表示瞬时速度,三表示瞬时加速度。二、导数的运算1 .常见函数的导数:(1) El (k, b 为常数);(3)目;(5) 日; ;(9);(11)日;(13) =1;(2) (C为常数);(4)日;(6)国;(8) 为常数);(10)(12)臼

3、;(14) I 一 o6 .函数的和、差、积、商的导数:(1) PnV-B;(2) I-1(C为常数);(3) V;(4) .3.简洁复合函数的导数:若I一,则l,即三、导数的应用1 .求函数的单调性:利用导数求函数单调性的基本方法:设函数目在区间内可导,(1)假如恒目,则函数目在区间上为增函数;(2)假如恒目,则函数目在区间上为减函数;(3)假如恒目,则函数目在区间上为常数函数。利用导数求函数单调性的基本步骤:求函数目的定义域;求导数;解不等式目,解集在定义域内的不间断区间为增区间;解不等式三,解集在定义域内的不间断区间为减区间。反过来,也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题(如确定参数的

4、取值范围):设函数目在区间内可导,(1)假如函数目在区间日上为增函数,则目(其中使目的习值不构成区间);(2)假如函数目在区间上为减函数,则三(其中使目的可值不构成区间);(3)假如函数目在区间上为常数函数,则三恒成立。2 .求函数的极值:设函数目在可及其旁边有定义,假如对日旁边的全部的点都有l(或l),则称三是函数的微小值(或极大值)。可导函数的极值,可通过探讨函数的单调性求得,基本步骤是:(1)确定函数的定义域;(2)求导数;(3)求方程目的变时,国和国值的改变状况:Xa3日三正负O正负O正负单调性单调性单调性全部实根,顺次将定义域分成若干个小区间,并列表:X改(4)检查的符号并由表格推断

5、极值。3 .求函数的最大值及最小值:假如函数在定义域I内存在国,使得对随意的三,总有1.J,则称为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不肯定唯一,但在定义域内的最值是唯一的。求函数在区间上的最大值和最小值的步骤:4 1)求日在区间上的极值;5 2)将第一步中求得的极值及日比较,得到国在区间臼上的最大值及最小值。6 .解决不等式的有关问题:(1)不等式恒成立问题(肯定不等式问题)可考虑值域。IX1的值域是时,不等式目恒成立的充要条件是LJ,即区J;不等式三恒成立的充要条件是三l,即皿。I1的值域是时,不等式三恒成立的充要条件是LrJ;不等式目恒成立的充要条件是皿O(2)证明不等式目可转化为证明目,或利用函数的单调性,转化为证明FIo7 .导数在实际生活中的应用:实际生活求解最大(小)值问题,通常都可转化为函数的最值.在利用导数来求函数最值时,肯定要留意,极值点唯一的单峰函数,极值点就是最值点,在解题时要加以说明。

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