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1、第五章 微扰理论量子力学中能够精确求解的情形是有限的，大部分问题不能量子力学中能够精确求解的情形是有限的，大部分问题不能求得精确解，因此发展近似方法求解就成为量子力学的一个求得精确解，因此发展近似方法求解就成为量子力学的一个重要课题。重要课题。微扰理论微扰理论是在简单问题的精确解基础上，将复杂的哈密顿量是在简单问题的精确解基础上，将复杂的哈密顿量分解成可精确求解部分和微扰部分，然后通过一定的近似技分解成可精确求解部分和微扰部分，然后通过一定的近似技巧求出微扰修正。两部分之和就是复杂问题的近似解。巧求出微扰修正。两部分之和就是复杂问题的近似解。微扰理论的分类微扰理论的分类：根据哈密顿量是否显含时
2、间分为定态微扰：根据哈密顿量是否显含时间分为定态微扰理论和含时微扰理论。理论和含时微扰理论。定态微扰理论定态微扰理论有简并情况的定态微扰理论和非简并定态微扰有简并情况的定态微扰理论和非简并定态微扰理论。理论。含时微扰理论含时微扰理论一般是和体系状态或能级跃迁有关，如光吸收一般是和体系状态或能级跃迁有关，如光吸收与发射。与发射。第一节第一节 非简并定态微扰理论非简并定态微扰理论一、非简并定态微扰理论一、非简并定态微扰理论体系哈密顿量不显含时间，能够分解成两部分：主要部分和体系哈密顿量不显含时间，能够分解成两部分：主要部分和微扰部分，且主要部分的解是已知的或是容易直接求解，微微扰部分，且主要部分的
3、解是已知的或是容易直接求解，微扰部分和主要部分相比很小。即：扰部分和主要部分相比很小。即：HHH)0()0()0()0()0(nnnEH而哈密顿量而哈密顿量 的本征值和本征函数分别为的本征值和本征函数分别为 和和 ，即：，即：HnnEnnnEH与与 相比，相比，发生了一定程度的移动，一般与能级间隔相发生了一定程度的移动，一般与能级间隔相比移动较小，其原因就是因为多了比移动较小，其原因就是因为多了 的作用。的作用。)0(nEnEH为了明显的表示微扰小的程度，我将微扰哈密顿量写成：为了明显的表示微扰小的程度，我将微扰哈密顿量写成：)1(HH其中其中是一个很小的实数，是一个很小的实数，它只作为微扰级
4、别的标志它只作为微扰级别的标志。相应的把哈密顿量的本征值和本征函数展开成为相应的把哈密顿量的本征值和本征函数展开成为和无微扰和无微扰本征值和本征函数的函数，即：本征值和本征函数的函数，即：)2(2)1()0(nnnnEEEE)2(2)1()0(nnnn这时我们称无微扰的本征值和本征函数为微扰作用下的零级这时我们称无微扰的本征值和本征函数为微扰作用下的零级近似本征值和本征函数，而近似本征值和本征函数，而 和和 的一级修正。的一级修正。)1()1(nnE下面将本征能量和本征波函数展开式代入到含微扰作用的薛下面将本征能量和本征波函数展开式代入到含微扰作用的薛定谔方程，则得到方程展开式：定谔方程，则得
5、到方程展开式：)()2(2)1()0()1()0(nnnHH)()2(2)1()0()2(2)1()0(nnnnnnEEE同次幂的系数应该相等，从而可以得到以下系列方程组：同次幂的系数应该相等，从而可以得到以下系列方程组：0)()0()0()0(nnEH)0()1()1()1()0()0()()(nnnnEHEH)0()2()1()1()1()2()0()0()()(nnnnnnEEHEH(1)(2)(3)方程方程(1)正是无微扰的薛定谔方程，方程正是无微扰的薛定谔方程，方程(2)是确定一级修正是确定一级修正的方程，由方程并利用一级修正可确定二级修正。的方程，由方程并利用一级修正可确定二级修正
6、。对于方程对于方程(2)，若，若 是方程的解，则是方程的解，则 也是方程的也是方程的解。解。？)1(n)0()1(nna)0()1()1()0()0()()(nnnnEHEH(2)假设所讨论的第假设所讨论的第 n 能级为非简并能级，则对应的波函数只能级为非简并能级，则对应的波函数只有一个，设该本征波函数已归一化。有一个，设该本征波函数已归一化。下面由方程下面由方程(2)确定本征能量和本征值的一级修正。设确定本征能量和本征值的一级修正。设=1，所，所以将以将 再换成再换成 。HH)1(上式两同时左乘上式两同时左乘 并对全空间积分得：并对全空间积分得：)*0(ndEHdEHnnnnnn)0()1(
7、)*0()1()0()0()*0()()(dHdEnnnnn)0()*0()0()1()*0(dHEnnn)0()*0()1(根据哈密顿量根据哈密顿量厄密算符厄密算符的性质，方程左边为：的性质，方程左边为：0)()()1(*)0()0()0()1()0()0()*0(dEHdEHnnnnnn所以得能量的一级修正为：所以得能量的一级修正为：nnnnnHdHE)0()*0()1(为求波函数的一级修正，将一级修正波函数按零级近似波函为求波函数的一级修正，将一级修正波函数按零级近似波函数展开为：数展开为：lllna)0()1()1(由于对于方程由于对于方程(2)，若，若 是方程的解，则是方程的解，则
8、也是方也是方程的解。所以上面的展开式完全可以不包括第程的解。所以上面的展开式完全可以不包括第 n 项。即：项。即：)1(n)0()1(nna)0()1()1(lllna求和号上的一撇表示求和不包含第求和号上的一撇表示求和不包含第 n 项。项。将展开式代入将展开式代入(2)式得：式得：)0()0()1()0()0()0()1()(nnnlnllHEEHa即：即：)0()0()1()0()1()0()0()1()0(nnnlllnllllHEaEaE上式两同时左乘上式两同时左乘 并对全空间积分得：并对全空间积分得：)()*0(nmmmnnmmlllnmllllHdHaEaE)0()0()1()0(
9、)1()0(即：即：mnmmnHaEE)1()0()0()(所以得：所以得：)0()0()1(mnmnmEEHa所以波函数的一级修正为：所以波函数的一级修正为：)0()0()0()1(mmnnmmnEEH对第对第(3)式利用同样的方式，可以求得能量二级修正为：式利用同样的方式，可以求得能量二级修正为：)0()0(2)2(|lnnllnEEHE这样得到能量准确到二级修正为：这样得到能量准确到二级修正为：)0()0(2)0(|mnmnmnnnnEEHHEE)0()0()0()0(mmnnmmnnEEH二、非简并定态微扰理论适用的条件二、非简并定态微扰理论适用的条件微扰理论适用的条件就是以上两式的级
10、数收敛，由于不知道微扰理论适用的条件就是以上两式的级数收敛，由于不知道一般项的表达式，所以对于现有已知的项要求：一般项的表达式，所以对于现有已知的项要求：)(,1)0()0()0()0(mnmnnmEEEEH可见微扰理论的成立不仅与微扰矩阵元有关，而且还与能级可见微扰理论的成立不仅与微扰矩阵元有关，而且还与能级间隔有关，所以间隔有关，所以对于同一体系的不同能级，微扰理论成立的对于同一体系的不同能级，微扰理论成立的条件不一定一样的条件不一定一样的。？三、例题三、例题一电荷为一电荷为 e 的线性谐振子，受恒定弱电场的线性谐振子，受恒定弱电场 E E 作用，电场沿作用，电场沿正正 x 方向，用微扰法
11、求体系的定态能量（到二级近似）和波方向，用微扰法求体系的定态能量（到二级近似）和波函数（到一级近似）。函数（到一级近似）。解：体系的哈密顿算符为：解：体系的哈密顿算符为：xexdxdH2E2222212弱电场引起的附加能量可以看作微扰，因此哈密顿量可以分弱电场引起的附加能量可以看作微扰，因此哈密顿量可以分解为：解为：2222)0(212xdxdH2xeHE体系是在线性谐振子的基础上加上微扰，所以其零级近似为体系是在线性谐振子的基础上加上微扰，所以其零级近似为线性谐振子的本征值和本征能量。线性谐振子的本征值和本征能量。所以直接利用公式计算微扰修正，则第所以直接利用公式计算微扰修正，则第 n 个能
12、级的一级修正个能级的一级修正为：为：dxxHxEnnn)()()0()*0()1(dxxxxenn)()()0()*0(Edxxaaxenn)()()2)()0(21)*0(Edxxnxnxennn)(1)()()2()0(1)0(1)*0(21E0再计算能量的二级修正，由于再计算能量的二级修正，由于)0()0(2)2(|mnnmmnEEHE所以先计算微扰矩阵元：所以先计算微扰矩阵元：dxxHxHnmmn)()()0()*0(dxxxxeHnmmn)()()0()*0(E即：即：dxxaaxenm)()()2)()0(21)*0(Edxxnxnxennm)(1)()()2()0(1)0(1)*
13、0(21E)1()2(1,1,21nmnmnneE能量二级修正的求和中只有能量二级修正的求和中只有 m=n-1 和和 m=n+1 两项，即：两项，即：)0()0(2)2(|mnnmmnEEHE12)0(1)0()0(1)0(22nnnnEEnEEneE1222nne E2222Ee能级移动与能级移动与 n 无关。无关。类似的可以计算出波函数的一级修正为：类似的可以计算出波函数的一级修正为：)0()0()0()1(nmnnmmnEEH12)0(1)0()0(1)0(1)0()0(1nnnnnnEEnEEneE121)0(1)0(13nnnneE对于对于 n=0 上面的求和计算中应去掉第上面的求和
14、计算中应去掉第 n-1 项，谐振子能级间项，谐振子能级间隔都相等，在偶极电场中，电场的附加能量对各能级都是相隔都相等，在偶极电场中，电场的附加能量对各能级都是相等的。等的。这说明在偶极电场中能级间隔仍然相等，仍具有谐振子的特这说明在偶极电场中能级间隔仍然相等，仍具有谐振子的特点。这一点通过对哈密算符配方，很容易看出。点。这一点通过对哈密算符配方，很容易看出。xexdxdH2E2222212222222222)(212EEeexdxd222222222212Eexdxd2可见加入电场后，能级低了可见加入电场后，能级低了 ，而平衡点也向右移动了，而平衡点也向右移动了 。势能曲线如下页图所示。势能曲
15、线如下页图所示。2222Ee2Ee-2-1012-1012345yx 例例2.2.设设HamiltonHamilton量的矩阵形式为：量的矩阵形式为：2000301cccH（1 1）设）设c11，应用微扰论求，应用微扰论求H本征值到二级近似；本征值到二级近似；（2 2）求）求H的精确本征值；的精确本征值；（3 3）在怎样条件下，上面二结果一致。）在怎样条件下，上面二结果一致。解：解：（1 1）c1c1，可取，可取0 0级和微扰级和微扰HamiltonHamilton量分别为：量分别为：cccHH0000002000300010H0 0是对角矩阵，是是对角矩阵，是Hamilton H0在自身表象
16、中的形式，在自身表象中的形式，而且能级是非简并的。所以能量的而且能级是非简并的。所以能量的0 0级近似为：级近似为：E E1 1(0)(0)=1 E=1 E2 2(0)(0)=3 E=3 E3 3(0)(0)=-2=-2由非简并微扰公式由非简并微扰公式 )0()0(2)2()1(|knknnknnnnEEHEHE得能量一级修正（得能量一级修正（此处每一能级都要修正！此处每一能级都要修正！）：）：cHEHEHE33)1(322)1(211)1(100能量二级修正为：能量二级修正为：2)0(3)0(1231)0(2)0(1221)0()0(121)2(121|cEEHEEHEEHEnkkk2)0(3)0(2232)0(1)0(2212)0()0(222)2(221|cEEHEEHEEHEnkkk0|)0(2)0(3223)0(1)0(3213)0()0(323)2(3EEHEEHEEHEnkkk准确到二级近似的能量为：准确到二级近似的能量为：cEcEcE231322122211设设 H H 的本征值是的本征值是 E E，由久期方程可解得：，由久期方程可解得：02000301 EcEccE0
