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1、10 概念的引入概念的引入0 数列的定义数列的定义0 数列的极限数列的极限0 收敛数列的性质收敛数列的性质 第四节第四节 极限的概念极限的概念2一、数列的极限的定义一、数列的极限的定义 1.概概念念的的引引入入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”割圆术割圆术：刘徽刘徽S 345678910截杖问题：截杖问题：“一尺之棰一尺之棰,日取其半日取其半,万世不竭万世不竭”11;2x 第第一一天天截截下下的的杖杖长长为为2211;22x 第第二二天天截截下下的的杖杖长长总总和和为为2111;222nnnx
2、 第第 天天截截下下的的杖杖长长总总和和为为112nnx 1 庄庄子子 天天下下11例如例如2,4,8,2,;n1 1 11,;2 4 82n2 n12n11,1,1,(1),;n 1(1)n 2.数数列列的的定定义义 12,.nnnxxxnxx 按按一一定定顺顺序序排排列列起起来来的的无无穷穷多多个个数数称称为为.数数列列中中的的每每个个数数称称为为数数数数列列项项一一般般项项通通项项列列的的第第 项项称称为为数数列列的的或或.数数列列可可简简记记为为 定定义义12 数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在可看作一动点在数轴上依次取点数轴上依次取点:.,21nxxx1
3、x2x3x4xnx (),.nxf nnN ;,)1(,34,21,21nnn 1(1)nnn 3,33,333,数列的几何意义数列的几何意义.333 n 重重根根号号:nxn数数列列可可看看作作自自变变量量为为正正整整数数 的的函函数数13 3.数数列列的的极极限限1(1)1nnxn 1(1)1.nnn 观观察察数数列列当当时时的的变变化化趋趋势势19n 191432n 1(1)1nnxn 321540n 1(1)1nnxn 16 1(1)1nnxn 50n 17n=19n=32n=40n=501(1)1nnxn 18问题问题:(1)(1)当当 n 无限增大时无限增大时,数列数列xn是否无限
4、接近于是否无限接近于某一确定的数值某一确定的数值?如果是如果是,如何用数学语言描述如何用数学语言描述?(2)“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻画它刻画它.1(1),11.nnnxn 无无限限增增大大无无限限接接近近当当时时于于 我们可用两个数之间的我们可用两个数之间的“距离距离”来刻化两个数来刻化两个数的接近程度的接近程度.191nx 因因111(1)nnn 1(1)11nn 1,100 给给定定11,100n 要要使使100,n 只只要要时时 有有11,100nx 1,|1|nnnxn 随随着着 的的增增加加，会会越越来来越越小小.只只要要 足足够够大大
5、1,n 可可以以小小于于任任意意给给定定的的正正数数.例例如如201000n 只只要要时时,有有11,1000nx 1,1000 给给定定11,10000nx 10000n 只只要要时时,有有1,10000 给给定定 ,|1|nNnNx 一一般般地地 不不论论给给定定的的正正数数 多多么么小小 总总存存在在着着一一个个正正整整数数使使得得当当时时 不不等等式式都都成成立立.21 ,(),|,lim.().nnnnnnnxaNnNxaaxxaxaxan 设设是是一一数数列列是是常常数数.如如果果对对于于任任意意给给定定的的正正数数不不论论它它多多么么小小 总总存存在在正正整整数数使使得得当当时时
6、 不不等等式式都都成成立立 则则称称极极常常数数 是是数数列列的的或或者者称称数数列列记记为为 或或 限限收收敛敛于于 定定义义,limnnnnxxx 如如果果数数列列没没有有极极限限 就就说说数数列列是是的的发发散散.习习惯惯上上说说不不存存在在.22 nnxaxaNN (1 1)定定义义中中的的正正数数 可可以以任任意意给给定定,这这样样不不等等式式 才才能能刻刻划划与与 的的无无限限接接近近.(2 2)正正整整数数与与任任意意给给定定的的正正数数有有关关.一一般般来来 讲讲注注:,越越小小,就就越越大大.:可可用用下下述述语语言言来来描描述述数数列列的的极极限限lim0,|.nnnxaN
7、nNxa 正正整整数数当当时时 有有 N 这这是是数数列列极极限限的的定定义义.231(1)lim1.nnnn 例例 证证明明1 11(1)11nnnxn 证证 因因1n 0,对对1,nx 要要使使1,n 只只要要1(1)1nnn 1(1)lim1.nnnn 故故1.n 即即10,NnN 所所以以取取则则当当时时 有有24 2(1)lim0.(1)2nnn 证证明明 例例22(1)11101(1)(1)nnnnn 证证 由由 10,NnN 所所以以取取则则当当时时 有有2(1)0(1)nn 2(1)lim0.(1)nnn 即即 25 (3)虽虽然然 是是任任给给正正数数,但但常常常常可可限限制
8、制在在很很小小的的范范 围围内内.(1)|,:.nnxaxanN用用定定义义证证明明数数列列的的极极限限是是,关关键键是是从从不不 等等式式出出发发 找找出出 与与 的的关关系系 从从而而确确 定定使使不不等等式式成成立立的的注注(2)0,NNN 对对任任给给只只要要能能够够判判定定满满足足条条件件的的存存在在 即即可可.一一般般地地这这种种不不唯唯一一,也也没没有有必必要要去去求求最最 小小的的.26二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质nx ()()如如果果数数列列收收敛敛,则则它它极极限限的的的的极极限限定定是是理理1 1唯唯一一性性唯唯一一的的.,|;,nnnnnxMxxMxMx 有有界
9、界 设设数数列列如如果果存存在在正正数数使使得得对对一一切切满满足足则则称称是是如如果果定定义义的的这这样样的的 不不存存在在则则称称是是无无界界的的.27(1,2,),1nnxnn 例例如如,数数列列因因2(1,2,)nnxn 数数列列是是无无界界数数列列.|11nn nx所所以以是是有有界界数数列列.28 1(1),n 例例如如数数列列 1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,有有界界 但但却却发发散散.,:(1)有有界界是是数数列列收收敛敛的的必必要要条条件件 不不是是注注充充分分条条件件.(2),nnxx如如果果数数列列无无界界 则则一一定定发发散散.()2nnxx收收敛敛数数列列的的
10、有有界界性性 如如果果数数定定理理列列收收敛敛,则则有有界界.29 lim,00,0(0).nnnnxaaaNnNxx()()若若且且(或或),),则则存存在在正正整整数数当当时时,收收敛敛数数列列的的保保 定定理理3 3有有或或号号性性都都30发散数列判别法发散数列判别法:(1)nnx 证证明明数数列列是是例例发发散散的的.2221211,1(),1,1(),(1).kkkknnxxkxxkx 证证 因因所所以以数数列列 发发散散 2lncos,2,ln2().nknannnkakka 例例取取则则所所以以是是发发散散的的.3.3.如果两个子数列收敛到不同的极限如果两个子数列收敛到不同的极限,则数列发散则数列发散.2.2.如果数列存在一子数列发散如果数列存在一子数列发散,则该数列发散则该数列发散.1.1.无界数列必定发散无界数列必定发散.
