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1、M0M垂面方程为垂面方程为0)1()2()1(2 zyx012 zyx即即：2o 求出求出 L1与此平面的交点与此平面的交点M：11122zyx 012 zyx32 t)32 ,31 ,32(M交交点点.35 ,35 ,35 0 MM ,1 ,1 ,1 3o S取取 得得所所求求直直线线为为：.111211:zyxL.L=t解：解：L1.11122:)1,2,1(1)10的方程的方程垂直相交的直线垂直相交的直线且与直线且与直线求过点求过点LzyxLM 11o 过过 M0作作 L1 的垂面，的垂面，dL1L2 方法方法 I 思路：思路：1o 过过L1做平面做平面 ，使，使 /L2.2o 点点M
2、L2,点点M 到平面到平面 的距的距 离即为离即为d.M.241342:31121:21dzyxLzyxL距离距离之间的之间的与与求直线求直线 (2)解：解：1s2s.先求平面先求平面 的法矢量：的法矢量：21ssn 2,1,43,1,2 6 ,16,1 06)1(16)1(:zyx015616:zyx即即 取点取点M(2,3,4)L2,2226161|15)4(63162|d有有.29311.n方法方法 II 思路：思路：.241342:31121:21dzyxLzyxL距离距离之间的之间的与与求直线求直线 .解：解：L1L21s2sMN利用混合积的几何意义：利用混合积的几何意义：所求的所求
3、的 d 就是三矢量构成的就是三矢量构成的平行六面体的高平行六面体的高.|2121ssNMssd .|2,1,43,1,2|4,2,32,1,43,1,2|.29311.(2)(3)思路思路I：.221L的的交交线线即即为为所所求求直直线线与与平平面面因为：因为：(1)它们共面它们共面.(2)它们不平行它们不平行.(L2平行于已知平面平行于已知平面 ，但显然，但显然 L 1 不平行不平行于于 .)相交。相交。问题问题：L2与与 L1 相交吗？相交吗？求直线的一般式方程求直线的一般式方程.2 1 2nL1L2.21331:,01043:)4,0,1(210LzyxLzyxM相交的直线方程相交的直线
4、方程又与直线又与直线平行平行且与平面且与平面求过点求过点 ：的的平平面面且且平平行行于于平平面面先先求求过过10 M.1可可求求出出.210LM的的平平面面过过已已知知直直线线且且再再求求过过.M0.2可可求求出出具体解答如下：具体解答如下：nM12nL1L2；的的平平面面且且平平行行于于平平面面求求出出过过10 M0143 :1 zyx：的平面的平面过已知直线过已知直线且且再求过再求过210 LMM0,)031(1M,为为记记点点 2法法矢矢量量则则平平面面.2,1,31 sL的的方方向向数数：M1sMMn 102 2,1,34,3,0 9,12,10 解：解：.04691210 :2 zy
5、x 046912100143:2 zyxzyxL所所求求直直线线.思路思路I：求直线的一般式方程求直线的一般式方程.sn.21331:,01043:)4,0,1(210LzyxLzyxM相交的直线方程相交的直线方程又与直线又与直线平行平行且与平面且与平面求过点求过点 2 1(3).思路思路II：.4437481:zyxl 为为所所求求直直线线1,4,32,1,34,3,0 1,4,39,12,10 求直线的标准式方程求直线的标准式方程.L11n2n从思路从思路 I 的分析知：的分析知：nnn 124,37,48 .22nL 的的方方向向矢矢为为设设.L2如图：如图：.n.21331:,0104
6、3:)4,0,1(210LzyxLzyxM相交的直线方程相交的直线方程又与直线又与直线平行平行且与平面且与平面求过点求过点 2 1 解：解：(3).2.（1）解：解：。处处的的一一阶阶偏偏导导数数在在点点求求 )0,0(0 0 0 2424242 yxyxyxyxz)0,0()0,(lim 0 xfxfx )0,0(xz 000lim420 xxxx =0 )0,0(yz)0,0(),0(lim0yfyfy 000lim20yyyy =0(2).:,)(22212xzyzyxzxzCCfyxfz 求求证证其其中中设设,fxz 左左：;2 fyxz,fyz右右：,22fxz .ff右右左左解：解
7、：证毕证毕.,e 22222)(yzyxzxzzyxzyx ，求求，已已知知:求求导导两两边边对对 x)1(e1 )(xzxzzyx 解：解：0)e1)(1()(，即即：zyxxz 0e1 )(，因因：zyx 01 ，xz .1 xz故故 .1 yz同同理理，.0 22222 yzyxzxz(3).解：解：.d2ddyxzP (4).)1,0,1(),(2 22处处的的全全微微分分点点在在确确定定的的隐隐函函数数由由方方程程 Pyxzzxyzzx0 2 22 xyzzx F设设1 :zxFFxzP处处在在点点则则,22yzzxxFx ,xzFy 22xyzxzFz ,21 PxF,1 PyF.
8、21 PzF2 zyFFyz.解：解：,2yzyux .(5).6,2,3)211(22的的方方向向导导数数处处沿沿方方向向，在在点点求求函函数数 lPxyz zxyu,2xzxyuy xyzuz 2,1 Pxu,0 Pyu3 Pzu6,2,371cos,cos,cos 的的方方向向余余弦弦l coscoscos PzPyPxPuuulu 76373 .715(6)解：解：.).(grad,)(222rfzyxrrf求求为为可可微微函函数数，其其中中设设 ,)(grad zfyfxfrf xrfxf ,ryfyf .rzfzf ,rxf .)(gradzy,x,rfrf 同理：同理：(7)的的
9、切切平平面面方方程程。上上平平行行于于平平面面求求椭椭球球面面 02 12 222 zyxzyx解：解：主主要要是是求求切切点点。,2 11/，则则 n2,4,2,zyxFFFnzyx .2,1,1 .,4,2 zyx,n为为设设所所求求切切平平面面的的法法矢矢量量.代代入入椭椭球球面面，定定.1122 .1122 ,11221,112 得得切切点点为为.2112 zyx切切平平面面为为(8)的的极极值值。求求函函数数 12153 23yxxyxz 012601533 22xyzyxzyx由由).1,2(),2,1(),1,2(),2,1(得得驻驻点点：求求二二阶阶偏偏导导：.6 ,6 ,6x
10、zyzxzyyxyxx ),(00yxABCACB 2结结 论论(1,2)(2,1)(1,2)(2,1)6612 0z(1,2)非极值非极值12126 0z(1,2)非极值非极值 12 12 6 0极大值极大值 z(2,1)=28列表分析：列表分析：8 设设D是矩形域：是矩形域：x ,1 y 1.则则 Dy d)sin2(设设,dd),(DyxyxfI则在极坐标下的二次积分为则在极坐标下的二次积分为,21 ,1 ),(xxyxyxD其中域其中域.交换二次积分的积分顺序：交换二次积分的积分顺序：d),(d1201 yxyxfy 1220 222dd)ln(limyxyxyx.dr)sin,cos
11、(dcos2cos sin1441arctan rrrfI.d),(d1021 xyyxfx.1(2)设设D是矩形域：是矩形域：x ,1 y 1.则则 Dy d)sin2(8 0dsin Dy（D关于关于x轴对称，轴对称，siny是是y的奇函数的奇函数.）.解：解：1(2)证毕证毕.,dd),(DyxyxfI则在极坐标下的二次积分为则在极坐标下的二次积分为,21 ,1 ),(xxyxyxD其中域其中域 dr)sin,cos(dcos2cos sin1441arctan rrrfI.oxy图形图形2y=xxy1 D1 141arctan1 cossin1 rx=2 cos2 r4 2 2.曲边扇
12、形曲边扇形解：解：即得答案即得答案.(3)证毕证毕.交换二次积分的积分顺序：交换二次积分的积分顺序：d),(d1201 yxyxfy d),(d1021 xyyxfx.解：解：oxy121x+y=1D d),(d1201 yxyxfy d),(d2101 yxyxfy d),(d0121 xyyxfx答案答案.限限上下上下换换(4)证毕证毕.换换序序.1220 222dd)ln(limyxyxyx 解：解：122222dd)ln(yxyxyx 1 20d lnd2rrr 分步分步 1 d ln 4rrr)441 ln2(422 0)(.(5)洛必达法则洛必达法则证毕证毕.3.计算计算(1)?)
13、,(.1,0,dd),(),(),(2 yxfxxyyDvuvufxyyxfyxfD求求所所围围成成的的闭闭区区域域是是由由其其中中，连连续续，且且 设设(2)xyxyIyyxyyxydedded121212141 计计算算：(3).,dd42222222围围成成的的闭闭区区域域和和直直线线是是由由曲曲线线其其中中xyxaayDyxyxayxID (4).)0(22222的的转转动动惯惯量量轴轴围围成成，求求该该物物体体对对及及由由曲曲面面设设有有一一均均匀匀物物体体Ozaayxzyxaz 解答解答:3.计算计算(1)而且必为一个而且必为一个常数常数。dd),(存在，存在，Dvuvuf,dd)
14、,(AvuvufD 设设.),(Axyyxf 由已知：由已知：只须求只须求A.将上式两端在将上式两端在 D 上作二重积分上作二重积分:dd)(dd),(DDyxAxyyxyxfA=2010d)(dxyAxyx3121A 81 A.81),(xyyxf因为因为 f(x,y)连续，连续，.解答解答:3(2)xyo的原函数不是初等函数，必须换序。的原函数不是初等函数，必须换序。xye 2141 21 :1yyxD由由 1 21 :2yyxyD 121 :2xxyxD得得yx 2121411D2D1y=xD ded2121 xxxyyxI.e21e83 .而言，而言，对积分对积分 de xxy解答解答
15、:3(3)xyoy=x22 xaay 2 22ayyx 04 sin20 :arD.D使用哪种坐标系？使用哪种坐标系？D的边界的表示式？的边界的表示式？d4d sin2022204 arrarI.sin2 tar 令令)dcos2(1d2 0042 ttaI.)2116(22 a.a解答解答:3(4)zVyx I d)(22 设设 =1 下下锥锥体体上上半半球球体体VyxVyx d)(d)(2222.arrdd 0342020dsin 03020dddarazrr 55101154aa .30115a .(柱系柱系)(球系球系)组组成成的的分分段段光光滑滑曲曲线线。的的直直线线段段与与连连接接
16、点点的的劣劣弧弧之之间间圆圆介介于于点点是是以以原原点点为为圆圆心心的的单单位位，BCCBABBALsyxL)2,1(,)1,0(),0,1(d)(oxyA(1,0)B(0,1)C(1,2)解解 Lsyxd)(BCAByxsyx)ds(d)(三三1.其中，其中，tytxABsincos:d )()(d22ttytxs 1 :x yBC dt d )(1d2xxys d 2 x )ds(Lyx d210 x 22 .d)sin(cos2 ttt线。线。组成的有向分段光滑曲组成的有向分段光滑曲的线段的线段到到上从点上从点与直线与直线的有向弧段的有向弧段到到上从点上从点是曲线是曲线，BCCByABBAxyLyxxyL)4,1(4 )4,2()1,1(d1d1 2 oxy14A(1,1)B(2,4)C(1,4)解解三三2.1 BCABL.212d)211(xxxx4121 21 xx 49.12d41x也可以用下面的方法：也可以用下面的方法：线。线。组成的有向分段光滑曲组成的有向分段光滑曲的线段的线段到到上从点上从点与直线与直线的有向弧段的有向弧段到到上从点上从点是曲线是曲线，BCCByABB
