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1、6 高高 斯斯 公公 式式一、高斯公式一、高斯公式 定理定理 设空间闭区域设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面由分片光滑的闭曲面 所围成，所围成，函数函数),(),(),(zyxRzyxQzyxP在在 上具有一阶上具有一阶连续偏导数，连续偏导数，则有则有 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(或或 dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()(这里这里 取外侧，取外侧，cos,cos,cos为为 上点上点),(zyx处的法向量的处的法向量的方向余弦方向余弦。),(:11yxzz ),(:22yxzz ),(yxxyDxyzo 证证先证：先证：RdxdydvzR(1)简单情形简单情
2、形这时，这时，：),(),(21yxzzyxz xyDyx),(即：即：穿过穿过的内部并且的内部并且平行于平行于 的边界交点不多于两个的边界交点不多于两个.轴的直线与轴的直线与z),(:11yxzz ),(:22yxzz ),(yxxyDxyzo dvzRdzzRdxdy xyD),(1yxz),(2yxz xyD),(zyxR),(1yxz),(2yxzdxdy dxdyyxzyxRyxzyxRxyD),(,),(,12 ),(:11yxzz ),(:22yxzz xyDxyzo S Rdxdy dxdyyxR ,xyD),(1yxz 12RdxdyRdxdyRdxdyS 0 dxdyyxR
3、 ,xyD),(2yxz dxdyyxzyxRyxzyxRxyD),(,),(,12 ),(:11yxzz ),(:22yxzz xyDxyzo S dvzR Rdxdy(1)xyzo(2)一般情形一般情形 0S1 2 1 2 21 21 、都是简单情形的都是简单情形的闭区域，闭区域，因此，在因此，在21 、上有上有(1)式成立，式成立，即即 1dvzR )(1外外Rdxdy)(0下下SRdxdy 2dvzR )(2外外Rdxdy)(0上上SRdxdy 两式左右相加，即得两式左右相加，即得(1)式。式。同理可证：同理可证：dvxP Pdydz(2)dvyQ Qdzdx(3)(2)(3)(1)三
4、式左右相加，得三式左右相加，得 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(证毕。证毕。例例1 利用高斯公式计算利用高斯公式计算 xdydzzydxdyyx)()(其中其中 为为3,0,122 zzyx所围成的所围成的立体的整个边界曲面的外侧。立体的整个边界曲面的外侧。解解xyz13 Pxzy)(Q0 Ryx xyz13 xdydzzydxdyyx)()()()0()(zyxyxxzy dv dvzy)00(（高斯公式）（高斯公式）dvzy)(dzddz )sin(dzzdd)sin(2 200103 29(柱坐标柱坐标)例例2 利用高斯公式计算利用高斯公式计算 dSzyx)coscos
5、cos(222 其中其中 为锥面为锥面222zyx 介于平面介于平面及及0 zhz 之间的部分的下侧，之间的部分的下侧，cos,cos,cos为为上点上点),(zyx处的法向量的处的法向量的方向余弦。方向余弦。解解xyz 不是封闭曲面，不是封闭曲面，不能直接应用高斯公式不能直接应用高斯公式添上一个面添上一个面:1 hz h（取上侧）（取上侧）1 则则1 构成封闭曲面。构成封闭曲面。设设1 所围的闭区域为所围的闭区域为.由高斯公式得由高斯公式得xyz h1 1)coscoscos(222dSzyx )()()(222zzyyxx dv dvzyx )222(dzzyxdxdy)222(xyD22
6、yx hxyD),(yx hyxDdzyxdxdyxy 22)22(hyxDzdzdxdyxy 222 xy222hyx xyD xyDdxdyyxhyx)(22(22 xyDdxdyyxh)(222 0 hdhd02220)(对称性对称性)|0 2222)()21(2hh 424h 24h 即即 1)coscoscos(222dSzyx 24h:1 hz 0,0,1()22001 1 取上侧取上侧0n )1,0,0()cos,cos,(cos )1,0 ,0()1 ,0 ,0(0cos ，0cos ，1cos 1)coscoscos(222dSzyx 1)100(222dSzyx 12dSz
7、 xyz h1 xyD 2hxyDdxdy22001 hz :1 2h xyDdxdy 2h2h 4h 222hyx dSzyx)coscoscos(222 1)coscoscos(222dSzyx 1)coscoscos(222dSzyx 24h 4h 24h 例例3 设设),(),(zyxvzyxu、在闭区域在闭区域 上具有一阶、二阶连续偏导数，证明上具有一阶、二阶连续偏导数，证明:dxdydzzvyvxvu)(222222 dvzvzuyvyuxvxudSnvu)(这里这里nv 为为),(zyxv沿沿 的外法线方向的的外法线方向的方向导数，方向导数，为为 的边界曲面外侧。的边界曲面外侧。
8、证证设设 的外法线的法向量的外法线的法向量n的方向余弦为的方向余弦为.cos,cos,cos nv coscoscoszvyvxv dSnvu dSu)(coscoscoszvyvxv )cos cos cos(dSzvuyvuxvu PQR )()()(dvzvuzyvuyxvux （高斯公式）（高斯公式）)()(2222yvuyvyuxvuxvxu )(22dvzvuzvzu dvyvyuyvyuxvxu)(dvzvyvxvu)(222222 dxdydzyvyuyvyuxvxu)(dxdydzzvyvxvu)(222222即即dSnvu dxdydzyvyuyvyuxvxu)(dxdyd
9、zzvyvxvu)(222222dxdydzzvyvxvu)(222222 dSnvu dvzvzuyvyuxvxu)(二、通量与散度二、通量与散度定义定义1),(zyxA),(,),(,),(zyxRzyxQzyxP又又RQP、具有一阶连续偏导数，则称具有一阶连续偏导数，则称zRyQxP 为向量场为向量场A的散度，记为的散度，记为Adiv,即即Adiv zRyQxP 给了向量场给了向量场高斯公式：高斯公式：dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()(记向量场记向量场A),(RQP0n)cos,cos,(cos 又又则上式变为则上式变为 dSRQPdvzRyQxP)cos,cos,(c
10、os),()(Adivdv()A0n()dS这就是高斯公式的向量表示形式。这就是高斯公式的向量表示形式。定义定义2),(zyxA),(,),(,),(zyxRzyxQzyxP又又RQP、具有一阶连续偏导数，具有一阶连续偏导数，为向量场为向量场A内的一片有向曲面，内的一片有向曲面，0n为为 上点上点),(zyx处的单位法向量，即：处的单位法向量，即：0n)cos,cos,(cos 则称则称 A0n()dS为向量场为向量场A沿曲面沿曲面 的的指定一侧通过指定一侧通过 的通量，的通量，记为记为，即即 A0n()dS 给了向量场给了向量场说明说明通量通量 A0n()dS dSRQP)coscoscos
11、(RdxdyQdzdxPdydz当当 是封闭曲面时，是封闭曲面时，可考虑用高斯公式来计算可考虑用高斯公式来计算.练习题：练习题：利用高斯公式计算利用高斯公式计算 zdxdyydzdxxdydz其中其中 为上半球面为上半球面222yxRz 的上侧。的上侧。练习题答案：练习题答案：3 2R 提示：提示：添加一个面添加一个面0:1 zxyz（取下侧）（取下侧）使使1 构成封闭曲面，构成封闭曲面，从而，可在从而，可在1 上应用高斯公式，计算出上应用高斯公式，计算出1 1zdxdyydzdxxdydz然后，再减去然后，再减去 1zdxdyydzdxxdydz即得所求积分。即得所求积分。作业：作业：P236,1(1)(3)(4),2(2),3(1)P228,3(3),4
