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1、第九章 矩阵特征对的数值解法幂法、反幂法：求极端特征对本章考虑全部特征对解法！9.1 求特征方程根求三对角矩阵（Jacobi 矩阵）的特征对112211kkkkabcabAbca 0iibc 特征多项式为111211()det()kkkkkkabcafIAbca按最后一列展开，得111112221112()()det()det()()()()kkkkkkkkkkkkkkkfaIAbcIAafbcf,1,.,2kn n0()1f可以证明，()kf和()()()()(1)(111121).kkkkkkkkk1()kf的根都是实单根，满足序列)(),.,(),()(010ffffnnnk的变号数)(
2、aV定义为在a的变号数。遇到0)(afi时，去掉。例如，1,0,8,6,4,3)1(),1(),1(),1(),1(),1()1(01234550fffffffk则3)1(V定理9.1)(),.,(),()(010ffffnnnk的变号数)(aV就是三对角矩阵nA在),a上的特征值个数。进而，若nA在区间,ba,0)()(bfafnn则上的特征值个数为)()(bVaV线性代数中如下结果可用于估计特征值所在区间：1）矩阵A的迹nnnaaa.212211=A的特征值之和2）nA.)det(213）圆盘定理：A的特征值均位于以下n个圆盘的并集中：niaazijijii,.,2,1 ,特别地，k个圆盘
3、的相交部分中必有k个特征根，孤立的圆盘中必有一个特征根。求Jacobi矩阵nA之特征对的攻略：1）综合利用变号数、圆盘定理等确定有根区间。2）在有根区间上用二分法或Newton法求)(nf的根 。3）用反幂法求ii的特征向量:ixkxvmvuuvAIikkkkkni,)(,)(1例1.求在（0，3.5）中的全部特征值：541430013200124A解.先计算变号数。由)(4)()5()()(3)()4()(2)2)(3()(2)(1)(234123210fffffffff得 ,)5.3(),5.3(),5.3(),5.3(),5.3(,)0(),0(),0(),0(),0(432104321
4、0ffffffffff从而224)5.3()0(VV即在0,3.5 上有两个根。进一步，可以算出,3)5.1(V因此，在（0,1.5）和（1.5，3.5）上各有一个根。可以用二分法求出：)1,0(,0)0(,12)1(44ff上有单根。(0.5,1),0)1()5.0(,3125.0)5.0(444fff上有单根。)515625.0(0.5,0)64/15.0()5.0(,3490455.0)515625.0(444fff上有单根。)5078125.0(0.5,0)5078125.0()5.0(,0208501.0)5078125.0(444fff上有单根。9.1.2 对称矩阵化为Jacobi
5、矩阵定义.次对角线以下元素都为零的准上三角矩阵称为Hessenberg矩阵（H阵）。若次对角元素皆非零，则称为不可约Hessenberg矩阵。对方阵A可以通过Household变换化成H阵：选取0.000.0111PP其中1P使得TTnaaaPaP)0,.,0(*,),.,(13121111于是，2111*.*0.*.*0*.*.*0000.01.*0.*.*0*.*.*APAPPTT如此进行 步之后，得到Hessenberg矩阵1n1nA特别地，当A是对称矩阵时，1nA成为Jacobi阵。可以用变号数方法以及二分法等等求解。例.求对称矩阵特征值943494349A解.先计算Househoul
6、d矩阵：310534013434221exx8.06.006.08.00001 ,8.06.06.08.02)(1PIHPTT?算错了？作用到A得16.512.1012.184.1250592TPAPA算出45620227)det()(232AIg由0)5(,0)0(gg知)(g在（0，5）间至少有一个根。类似可以看出在（5，8）和（14，20）间各有一个根。再用二分法或Newton法即可求出特征值。9.3 QR方法9.3.1 基本公式已知，任意矩阵A可以分解为正交矩阵和上三角矩阵的乘积QRA。可惜的是R不相似于A，不能直接用来求特征值。但是，毕竟RAQT是上三角矩阵。相似变换RQAQQT也许在某种程度上保留了上三角矩阵的潜质。由此，定义QR迭代法：1）令AA 12）做QR分解kkkQRA2反转相乘kkkQRA12,.1,0k
