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1、2023-9-141第三节 三维几何及建模变换n三维图形的几何变换及其矩阵表示n平移变换n旋转变换n缩放变换n反射变换n错切变换n物体在不同坐标系之间的建模变换2023-9-142三维代数空间定义n基底：n任意矢量：100:010:001:ZYXzyxZYXzyxzyx),(100010001n定理:三维空间中任意矢量可唯一地表示为其基底的线性组合2023-9-143三维几何变换的代数表示10001343332312423222114131211zyxazayaxazazayaxayazayaxax),(),(:zyxzyx；变换后的点：记变换前的点2023-9-144三维几何变换的矩阵表达式
2、1144434241343332312423222114131211zyxaaaaaaaaaaaaaaaazyxn引入齐次坐标后可表示为：2023-9-145平移变换（1）11zyxtzztyytxx2023-9-146平移变换（2）110001000100011zyxtttzyxzyx记为：PTP其中参 数zyxttt,是 平 移 距 离n三维平移变换矩阵：2023-9-147平移变换（3）n点的平移n图形的平移2023-9-148缩放变换（1）n相对于原点进行的缩放变换矩阵11zszysyxsxzyx110000000000001zyxssszyxzyx记为：PSP2023-9-149缩放
3、变换（2）n相对于任意点的缩放),(fffzyx设缩放参考点为：则分解为：平移、关于坐标原点的缩放以及逆平移变换2023-9-1410缩放变换（3）n即：PTPfffzyx),()1(),()2(PSPzyxsss),()3(PTPfffzyxPTSTPfffzyxfffzyxssszyx),(),(),(),(),(),(fffzyxfffzyxssszyxTSTT因此，变换矩阵2023-9-1411缩放变换（4）1000)1(00)1(00)1(00fzzfyyfxxzssyssxss2023-9-1412旋转变换（1）n由旋转轴和旋转角度确定n二维旋转变换是三维空间中绕Z轴的旋转1100
4、0010000cossin00sincos1zyxzyx记为：PRPz)(XYZ2023-9-1413以X为轴的旋转变换（1）可视作x,y,z坐标系变换为y,z,x坐标系,变换矩阵为：110000cossin00sincos000011zyxzyx2023-9-1414以X为轴的旋转变换（2）记为：PRPx)(100010cossin00sincos0000zyxzyxzzyxyzyxxYZX2023-9-1415以Y为轴的旋转变换（1）可视作x,y,z坐标系变换为z,x,y坐标系，变换矩阵为：110000cos0sin00100sin0cos1zyxzyx2023-9-1416以Y为轴的旋转
5、变换（2）记为：PRPy)(注：相反角度的旋转实现其逆变换100010cos0sin0000sin0coszyxzyxzzyyyzyxxZXY2023-9-1417绕任意轴的旋转变换（1）n旋转轴不与坐标轴重合时变换的实现：n经复合变换使旋转轴与坐标轴重合n绕指定轴进行旋转变换n还原坐标系假设给定旋转轴),;,(:22211121zyxzyxPP和旋转角YZXP1P22023-9-1418绕任意轴的旋转变换（2）（1）平移使P1与坐标原点重合10001000100011111zyxT不妨设P1P2为方向矢量，P2点为(a,b,c)2023-9-1419cbaXYZOP1P2XYZ2023-9-
6、1420XYZXYZO绕任意轴的旋转变换(3)（2）绕X轴旋转使指定旋转轴落在XZ面上2023-9-1421cbaXYZXYZO2023-9-1422cbaXYZXYZO2023-9-1423cbaXYZXYZO2023-9-1424cbaXYZXYZO2023-9-1425cbaXYZXYZO2023-9-1426cbaXYZXYZO2023-9-142722100000000001cbddcdbdbdcRx其中cbaXYZXYZO2222sincoscbbcbc此时P2点为(a,0,d)P22023-9-1428),0,(da绕任意轴的旋转变换（4）（3）绕Y轴旋转使指定旋转轴与Z轴重合X
7、YZXYZOadsincos100000001000daadRy2023-9-1429XYZXYZO2023-9-1430绕任意轴的旋转变换（5）（4）绕Z轴即指定旋转轴旋转指定角度)(2zRT2023-9-1431绕任意轴的旋转变换（6）（5）坐标系还原上述变换的复合实现绕任意轴的旋转：11111)()(TRRRRRTRxyzyx2023-9-1432对称变换（1）n是关于某个对称轴或对称平面进行的n关于某个轴进行的反射变换等同于关于该轴做180度的旋转变换n例如：关于Z轴的对称变换矩阵为：1000010000100001T考虑：关于任意轴的对称变换2023-9-1433对称变换（2）n当反
8、射平面是坐标平面时，等同于进行左、右手坐标系的互换，相应变换矩阵是把第三维坐标值取反n例如：关于xy平面的反射变换矩阵为：1000010000100001T2023-9-1434对称变换（3）关于任意平面的反射可以分解为平移、旋转（使得指定的反射平面与某坐标平面重合）关于坐标平面的反射逆变换2023-9-1435错切变换n依赖轴：对应坐标保持不变n方向轴：对应坐标关于依赖轴坐标呈线性变化n变换表达式分别是：zcyzyyayxxY为依赖轴：zzbzyyazxxz为依赖轴：zcxzybxyxxX为依赖轴：2023-9-1436建模变换（1）n实现两个不同坐标系之间的转换n新坐标系定义方式如右图所示
9、：XYZXYZ原点坐标是),(000zyx，三个坐标轴的单位向量分别是),(),(),(321321321zzzyyyxxx 2023-9-1437建模变换（2）可由线性代数方法得到建模变换公式：（即：新坐标系的坐标轴在旧坐标系下的表示矩阵的逆矩阵）1000032103210321zzzzyyyyxxxxT当坐标系使用不同的缩放时，还需定义缩放补偿。2023-9-1438建模变换的合成方法（3）n可由以下变换复合得到同样结果：1.平移：使两坐标系原点重合2.绕X轴旋转：使Z轴落在XOZ面上；3.绕Y轴旋转：使Z轴与Z轴重叠；4.绕Z轴旋转：使X轴与X轴重叠；注意：TTTABBA)(2023-9-1439小结n单个坐标系下的几何变换n平移n缩放n旋转n反射n错切n建模变换2023-9-1440作业6：n利用变换复合方法推导建模变换矩阵。
