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1、“四个理解”视角下的正弦定理教学研究【摘要】章建跃博士在2017年4月进一步完善了他所提出的“四个理解”，即理解数学、理解学生、理解教学、理解技术1。在新课标的指引下，本文基于“四个理解”，对高中教材人教版(2019)必修二第六章第四节平面向量的应用第二课时正弦定理进行探讨，教材将本节课放在平面向量和三角函数的后面，起到了承前启后的作用。本节课从理解数学、理解学生、理解教学、理解技术的角度进行分析探究，利用微课、flash动画、几何画板等技术手段对一般三角形的边角关系进行研究，让学生发现并掌握一般三角形中边角之间的数量关系，找到各边及其所对应角的正弦的比值是定值，得出正弦定理，进而应用定理解三
2、角形，解决一些数学问题及生产生活实际问题。从而，以点带面，提升课堂教学的效率和学生理解的深度，为落实大单元教学理念，发展学生的数学核心素养提供了帮助和支持。关键词四个理解正弦定理核心素养本文的教学设计理念来自于对“四个理解”的认识，在教学过程中，教师以“正弦定理的发现、证明”为基本的探究内容，通过不断应用微课、几何画板、flash动画等技术手段进行不断的启发和引导，让学生进行积极的思考，为学生提供质疑、探究、讨论、自由表达的机会，经历完整的知识形成过程，培养学生积极发现规律，探索规律，总结规律，证明结论的能力，培养了学生的数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学建模等核心素养。一、从本质特征上理解数
3、学正、余弦定理揭示了三角形边角之间的关系，正、余弦定理及其探究过程将平面几何、三角函数、向量运算等知识联系起来，反映出模块之间、单元内部知识的交融，突出体现了三角函数和平面向量的工具性价值2。在上一课时学生已学习余弦定理的相关内容，能解决部分类型的解三角形问题，对于不能使用余弦定理来解决的解三角形问题，就迫切的需要探究新的方法和定理，完善知识体系，因此，探究正弦定理是对前期学习的延续和补充。定理的发现源自测量问题，在下一课时教材也将利用正、余弦定理来解决一些测量问题，所以本课也是对后续内容的铺垫，也是本单元和本节的重点。因此，本节课的教学无论从数学思想上，还是数学方法上让学生经历“生活情境引入
4、一数学抽象一问题解决一定理探究一定理证明一定理应用”的过程，理解掌握正弦定理并能进行简单计算。学生经历了用向量法证明正弦定理的过程，体会数学对象之间的转化，以汴河博物馆到河对岸的距离测量情境引入，激发学生的探究热情，培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模的素养，树立学生由特殊到一般、数形结合的数学思想意识，最终寻求三角形边角之间的关系。二、从思维规律上理解学生学生在上一课已经学习了余弦定理，学习了作高法、坐标法和向量法证明余弦定理，将一般三角形分割为学生所熟悉的直角三角形来研究是初中常用做法，因此，作高法证明正弦定理可交由学生提出并解决，教师作适当补充，而对于利用向量法证明正弦定理，存在一定难
5、度，学生可能存在的困难是：向量积公式中的余弦如何转化为正弦；利用向量证明等式成立的意识不强，这两方面需要教师多加引导。正弦定理这节课，教师带领学生从已有的知识结构进行出发，对实际问题积极探索发现总结，构建数学模型，采取观察-猜想-验证-发现，并加以证明，最后进行简单的应用。教师根据特殊情景提出问题，让学生进行分析问题，探究问题，总结规律从而得出定理，并对具体问题简单应用，让学生真正成为正弦定理的“发现者”、“创造者”、“实施者”。教学过程中，学生要充分发挥多媒体的作用，大胆创新，激发学生的思维，渗透数形结合、转化、划归等数学思想，发挥学生的主动性、积极性、自觉性，让学生体会知识探究及再创造的过
6、程。理解学生就是要遵循建构主义的观点，在教师的引领下，让学生自主探究发现，教师不要“捅破窗户纸”，帮助学生逐步学会更全面、更合理、更清晰、更规范、更深入、更系统的进行思考探索发现总结，并能由“感性认识”逐步走向“理性思维”最终上升到“理性精神。三、从教学规律上理解教学课堂教学要充分把握教学规律，遵循学生的认知心理，让学生逐步的自主构建知识体系。这节课我采取以问题为导向，不断的发现问题、分析问题、解决问题，注重对学生思维的引导，加强学生的理解力的培养，从而给学生提供一个知识架构.主要教学过程,摘录如下：1情境导入：我和语文老师去三角洲游玩，我发现在我们所在位置B的北偏东60。方向有一个美丽的建筑
7、物汴河博物馆，当我们顺着汴河向正东方向走了5百步后，发现汴河博物馆在我们的北偏西45的位置,我问学生们建筑物离我和语文老师多远？【设计意图】引导学生理清题意，设计解决方案，有数学符号语言转化为数学图形，探索解决问题的方法。由具体的实际问题进行情境导入，转化为数学问题，然后将数学问题儿何化，激发学生探究问题的兴趣，体现了数学来源于生活，又服务于生活的数学理念，进一步使得学生对要研究的知识有了一种更深的迫切感。2 .规律总结在直角三角形中有成立让学生大胆猜想：对于锐角、钝角三角形也成立。我带着学生利用几何画板、flash等软件探究正弦定理，随着鼠标拖动，不断的改变A,B,C在圆上的位置，从而边长a
8、,b,c和对应角的正弦值也随着发生相应的变化，但它们之间的比值却一直都相等。【设计意图】flash动画演示等多媒体技术手段来增强学生学习的趣味性，主动性，充分调动学生的积极性，学生通过自己操作、小组讨论，发现规律，总结规律，加深学生对知识的理解，降低了学生学习难度，使教学的重难点得以顺利突破，提高了课堂教学质量。3 .证明结论利用微视频，引导学生采取向量法证明正弦定理，从而突出向量的工具作用，将向量和解三角形这两个看似没有关联的问题联系在一起，帮助学生完善知识体系。4 .巩固应用【例1】已知在aABC中，已知C=3,B=45,C=60Mb=OoA.2B.3C.32D.222学生自主完成，利用智
9、慧课堂的“答题功能”上传答案，教师使用智慧课堂生成报告，展示学生做题情况，抽取一名学生回答思考过程，并引出解三角形定义。设计意图：正弦定理的简单应用，增强学生的信心，通过智慧课堂生成的报告，及时了解学生的掌握情况，同时引出解三角形的定义。【例2】在AABC中，已知AC=Io,AB=103,B=60,求其它的边角。学生自主探究，将答题过程“拍照上传”并对比讲解，教师引导学生总结方法和思路。设计意图：问题难度升级，体现习题的层次性，学生使用拍照上传功能可以及时有效地展示学生的思考过程，通过对比讲评，可以让学生们直接观察到本题的易错点，从而加深印象。四、从服务数学教学上一一理解技术本节课根据教学内容
10、选择了flash动画演示调动学生的迫切性和主动性，增强了学习的趣味性，降低了学生的学习难度，加深了学生对正弦定理的理解。在课堂练习上，利用平板上传展示学生的作品，及时总结分析学生的错误之处加深学生对定理的进一步理解，利用微课对定理的证明凸显教学重点、突破教学难点提供了有力的帮助，学生的直观想象、逻辑推理、数学建模等素养得到了有力的培养，为教学的顺利进行提供了积极的辅助作用。五、教学思考与启示本节课在“四个理解”的基础上，以问题为引领，以信息技术为辅助，落实教学的基本知识；应用所学的知识，将数学的实际问题转化为数学语言，将数学语言几何化，从而解决三角形有关的问题，促进学生基本技能的发展；利用flash动画，让学生探索发现，获得关于正弦定理知识的这一基本活动经验。“四个理解”是一体的，只有互为表里，不能割裂，才能落实新课程下的单元教学理念，培养学生的“四基”，发展学生的核心素养。参考文献：1郑毓信.数学深度教学的理论与实践M.南京：江苏凤凰教育出版社，2020.2唐恒钧，张维忠.数学问题链教学的理论与实践M.上海：华东师范大学出版社2021.
