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1、一道向量例题的教学思考与设计摘要：在把握课程理念与目标、教材编写意图、解题能力发展阶段的情况下，数学例题教学应站在课程角度、内容角度及解题学角度上，引导学生多角度思考、多方法解决，积累基本活动经验，适时适切地渗透学科思维培养，提升学生数学核心素养.关键词：归纳思维；演绎思维；基本活动经验；数学思维1.引言人教社2019A版普通高中教科书数学必修第二册教材的第32页有例9如下：设P是线段P1P2上的一点，点Pl,P2的坐标分别是(xl,yl),(x2,y2).当P是线段P1P2的中点时,求点P的坐标；当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标1本题是给出线段P1P2的端点的坐标，求其若干等
2、分点的坐标，特别是在中点、三等分点的特殊情况下，求分点坐标.本题主要考查向量加减法、共线向量定理、向量坐标等知识点；考查了数形结合、分类讨论等主要思想方法.本小题实际上给出了中点坐标公式.笔者在进行教学内容的处理时，主要思考了两个方面：一是课程设置的理念与教材内容的编排思想，二是从解题教学角度思考本道典型例题的教学处理.2教材编排思考1 .1厘清课程设计目的与教材编写思路数学教材内容是数学课程标准落地的物化形式，它体现了课标的基本理念，通过被教学而达成课程目标，其根本目的是通过发展数学学科核心素养，促进学生的更好发展，有效地实施素质教育.“素质”一词，其具体内涵是指：人通过合适的教育和影响而获
3、得与形成的各种优良特征，包括学识特征、能力特征和品质特征.针对学生来说，在数学这一学科方面，学识特征主要体现为“四基”：基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验；能力特征即为课程标准中的“四能”：发现与提出问题的能力和分析与解决问题的能力，而能力集中表现为智慧，智慧的基础则是演绎思维与归纳思维两种思维方法的交融；品质特征主要体现为数学核心素养、实践能力和创新意识.课程改革的根本目的仍然是实施素质教育，去校正我国基础教育方式中的偏差：“偏差之一：在信息传递方式的时代装换上，目前尚停留在知识教育，而未进入到知识与智慧教育并重的时代；偏差之二：在学生思维能力的培养上，偏重演绎思维及其能力的训练，缺
4、少归纳思维及其能力的培养。2”由于在思维过程中“原始分类是思考定义的基础，归纳推理是构建定义的基础，演绎推理是确认定义的基础3”，因此本轮数学课程改革中的数学教材在概念的生成、典例的解题教学等方面非常重视学生归纳推理的培养，这道例题的设计同样遵循了这一要求.由于课程改革需要校正基础教育方式中的一些偏差，教材在编写的思路上则处处反映课改的深层次意图，教师在知晓我国的数学教育的根本任务是培养人的基础上，更应注重培养社会发展需要的人，即需要培养具有创新精神和创新意识的人.从育人目标去回顾并重归纳思维与演绎思维的教育与训练，分析两种思维的异相：演绎思维相对应的演绎能力,其目的是验证已知的结论，造就了我
5、国基础教育的优势，但演绎推理不能用于发现真理，依此培养的人及其思维形式和思维能力难以达成创新目标；归纳推理是由一些命题推出一般性命题的推理形式，主要功能是发现结论、发现真理而不是验证结论和真理，依此培养的人具有创新意识，是培养创新型人才，体现了素质教育的本质.立足于此，教师就明白教科书编者的为什么这样设计和编写，由此而领悟教科书的概念生成基本是按照归纳推理的形式编写，教科书的一些例题的解决、探究与思考也是引导学生按照这种方式去思考特例、探寻一般，把这种掌握和理解付诸于教学实践，潜移默化地培养学生的归纳推理思维和归纳推理能力.2 .2把握教学内容整体性在宏观层面上，教师在把握课程设计目的与厘清数
6、学教材的编写意图和原则的前提下，应了解本节教学内容的地位和作用，从系统方面处理好本节教学内容的教学.平面向量数乘运算的坐标表示在教材中起着向量坐标运算延伸的作用，它是在学生对平面向量基本定理有了充分的认识和正确的理解与应用后给出的.上一节是平面向量加减法的坐标的运算，本节加入数乘运算，使向量坐标运算的使用范围进一步扩大，可以解决位置关系（共线与平行）、求点分线段所成的比等问题.平面向量共线的坐标表示则为用“数”的运算处理“形”的问题搭建了桥梁，同时也为中点坐标公式和定比分点坐标公式的推导奠定了基础；共线向量的坐标表示，对立体几何问题也有着深远的意义，可使空间结构系统地代数化、把空间形式的研究从
7、“定性”推到“定量”的深度.在数学学科核心素养方面，本节主要涉及到数学抽象、逻辑推理和数学运算三种素养.在微观方面上，本节教学流程是：向量数乘运算的坐标表示一向量共线的充要条件（坐标形式）一典型例题（特殊关系）一探究（一般关系）.慎思例7例9、探究题可发现：例7由共线关系求坐标（正用公式解决问题：正向思维）；例8由三点坐标判断位置关系（逆用公式解决问题：逆向思维）；例9特殊分点的坐标（一般情况的点：有数学抽象素养考查、直接解决到分类讨论）；探究问题则是例7、例8、例9的抽象，形成一般共线问题.教学例题与探究的问题设置，采取层层递进的方式让问题不断从特殊情况抽象成一般情况，让思维从低阶思维发展到
8、高阶思维,这种根据经验进行类之间的比较，这种思维方式在本质上是归纳推理，因而本节为思维发展和培养提供了良好的题材与有益的渠道，也体现了“在知识形成过程中，所有的概念都是从具体的事例中抽象出来的”3.3 .教学思考与设计片段高中数学教学，不仅授业解惑，更应关注思维培养、教他们按学习规律办事，特别是2022年的高考数学试题重学科思维（或核心素养）考查对日常数学教学的引导作用不言而喻.思维的培养与发展体现在知识概念的生成过程中，体现在数学解题中.关于数学解题教学的认识，这里有两种观点值得思考，其一，“认为解题教学是解题活动的教学”，其二，“认为分析典型例题的解题过程是学会解题的有效途径，学会解题通常
9、要经过四个阶段：记忆模仿、变式练习、自发领悟、自觉分析，而自觉分析通常要经过整体分析与信息交合两个步骤4”解题活动是一种思维活动，解题教学不仅要给出解题活动的结果，还要暴露数学解题的思维过程；学生在教师的解题教学中，不仅要获得答案，更要在此过程中学会怎样解题，按数学的方式,按部就班地学，循序渐进地想，学会数学地思维，提高数学素养，发展其数学关键能力与必备品格.基于上述原因，关于典型例题9及例7与例8两道例题与后面的探究题的教学，笔者在授课前设计如下：例7的处理由学生口述解答过程，笔者在黑板上板书.【设计意图】本例主要考查向量共线充要条件坐标公式的直接运算,是对公式生成过程的记忆模仿，考查公式的
10、准确记忆和正确应用.教师板书则达到符号表达规范，过程推理严密，条理表达清楚的目的.例8在学生审题后，引导他们捕捉到关键信息“三点位置关系”及位置关系的类型：共线与不共线，从而解题思路自然形成，即验证两向量a=（xy将=（儿乃）的坐标是否满足了），7%=0?IxII【设计意图】本题主要考查向量共线充要条件的逆用与逆向思维能力.例题分析中培养学生解题的目标意识，通过目标分析，运用分析法，探究启充分条件.此例实为例7的变式练习，即解题过程中的第二阶段.例9在前两例题的基础上再次考查共线关系，诱导启发学生思考用何种方式表达共线关系，再去求相应位置对应点的坐标.解决途径可以借助直觉思维图形组织器，完成高
11、阶思维的“理解信息”、“概括洞察”、“发现应用”三个层次的“关联一联系性”维度项目，让思维过程视觉化，他们更清晰明了地看到问题解决的发生过程.该维度思维图形组织器5如下图所示.【设计意图】本题主要考查向量共线的充要条件、中点坐标公式、分类讨论数学思想方法.借助图形组织器在培养学生高阶思维上作初步尝试.另外本题的解决为“探究”问题的解决提供了思路与方法.UUU r OP“探究”题求解后，给学生一点时间梳理几道例题的变化及解题思路，随后笔者追问：“我们再回看例9,同学是否还有其他的思路或解法?怎么想到的？为什么这么处理？”UUUUUUFUUU解法二：设点6两足pp=/PP,则r-OPl=Iruuu
12、=sx+xUUU1UUU,/即r=Lr上一.+Z1+/op1opuuuP是线段PP2的一个三等分点时,当时，7f,2-y2-23当/=2时，,B332.即点P靠近P时，坐标 为O是使得公式中各量可以相互换算的系数），增大解题智慧或提高思度解题维层次可让解题过程简洁，减少解题长度.一道例题的前因思考，“后果”再探，笔者希望能把握数学课程理念与目标，能正确揣测编者意图的状态下，有效开展教学，发展学生数学思维，在提升他们的学科核心素养、关键能力和必备品格方面作积极的探索.参考文献1人民教育出版社等编著.数学必修第二册M北京：人民教育出版社,2019:32-33.2孔凡哲，史宁中著.中国学生发展数学核心素养概论M.上海：华东师范大学出版社，2021:53-54.3史宁中著.数学思想概论-数学中的归纳推理M.吉林：东北师范大学出版社,2018:97-99.4罗增儒著.数学解题学引论M.陕西：陕西师范大学出版社，2016,第三版印刷说明：12-13.5（美）R.布鲁斯.威廉姆斯著，刘静译.高阶思维培养有门道M.北京：教育科学出版社，2021:22.
