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1、第四节 随机变量的独立性随机变量的独立性 随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念随机变量的独立性是概率论中的一个重要概念两事件两事件A,B独立的定义是：独立的定义是：若若P(AB)=P(A)P(B)则称事件则称事件A,B独立独立.设设 X,Y是两个是两个r.v，若对任意的，若对任意的x,y,有有)()(),(yYPxXPyYxXP 则称则称X,Y相互独立相互独立.两随机变量独立的定义是：两随机变量独立的定义是：)()(),(yFxFyxFYX用分布函数表示用分布函数表示,即即 设设 X,Y是两个是两个r.v，若对任意的，若对任意的x,y,有有则称则称X,Y相互独立相互独立.它表明，两个它表明
2、，两个r.v相互独立时，它们的联合相互独立时，它们的联合分布函数等于两个边缘分布函数的乘积分布函数等于两个边缘分布函数的乘积.),(yxf其中其中是是X,Y的联合密度，的联合密度，)()(),(yfxfyxfYX 几乎处处成立，则称几乎处处成立，则称X,Y相互独立相互独立.对任意的对任意的 x,y,有有 若若(X,Y)是连续型是连续型r.v，则上述独立性的，则上述独立性的定义等价于：定义等价于：这里这里“几乎处处几乎处处成立成立”的含义是：的含义是：在平面上除去面在平面上除去面积为积为0的集合外，的集合外，处处成立处处成立.分别是分别是X的的)(),(yfxfYX边缘密度和边缘密度和Y 的边缘
3、密度的边缘密度.若若(X,Y)是离散型是离散型r.v，则上述独立性的，则上述独立性的定义等价于：定义等价于：)()(),(jijiyYPxXPyYxXP则称则称X和和Y相互独立相互独立.对对(X,Y)的所有可能取值的所有可能取值(xi,yj),有有由条件密度的定义：由条件密度的定义：可知，当可知，当X与与Y相互独立时，相互独立时，),()|(|yfxyfYXY 也可用此条件判别二维连续型也可用此条件判别二维连续型r.v(X,Y)的两个分量的两个分量X与与Y是否相互独立是否相互独立.)(),()|(|xfyxfxyfXXY)(),()|(|yfyxfyxfYYX)()|(|xfyxfXYX 例例
4、1 设设(X,Y)的概率密度为的概率密度为其它,00,0,),()(yxxeyxfyx问问X和和Y是否独立？是否独立？解：解：0)()(dyxexfyxX0)()(dxxeyfyxY,xxe,yex0 即：即：其它,00,)(xxexfxX其它,00,)(yeyfyY对一切对一切x,y,均有：均有：故故X,Y 独立独立)()(),(yfxfyxfYXy 0 若若(X,Y)的概率密度为的概率密度为其它,y,yx,)y,x(f01002情况又怎样？情况又怎样？解：解：),1(22)(1xdyxfxXyYydxyf0,22)(0 x1 0y1 由于存在面积不为由于存在面积不为0的区域，的区域，)()
5、(),(yfxfyxfYX故故X和和Y不独立不独立.例例2 甲乙两人约定中午甲乙两人约定中午12时时30分在某地会面分在某地会面.如果甲来到的时间在如果甲来到的时间在12:15到到12:45之间是均匀之间是均匀分布分布.乙独立地到达乙独立地到达,而且到达时间在而且到达时间在12:00到到13:00之间是均匀分布之间是均匀分布.试求先到的人等待另一试求先到的人等待另一人到达的时间不超过人到达的时间不超过5分钟的概率分钟的概率.又甲先到的又甲先到的概率是多少？概率是多少？解解:设设X为甲到达时刻为甲到达时刻,Y为乙到达时刻为乙到达时刻以以12时为起点时为起点,以分为单位以分为单位,依题意依题意,X
6、U(15,45),YU(0,60)其它,04515,301)(xxfX所求为所求为P(|X-Y|5)及及P(XY)其它,0600,601)(xyfY解解:设设X为甲到达时刻，为甲到达时刻，Y为乙到达时刻为乙到达时刻以以12时为起点，以分为单位，依题意，时为起点，以分为单位，依题意，XU(15,45),YU(0,60)其它,0600,4515,18001),(yxyxf甲先到甲先到的概率的概率由独立性由独立性先到的人等待另一人先到的人等待另一人到达的时间不超过到达的时间不超过5分钟分钟的概率的概率解一：解一：45155x5xdxdy18001P(|X-Y|5)xy015451060405yx5y
7、x=P(-5 X-Y 5)=1/6=1/2xy01545106040yx P(XY)451560 xdxdy18001解二：解二：5|yx|dxdy18001P(X Y)P(|X-Y|5)类似的问题如：类似的问题如：甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的达是等可能的.若甲船需停泊若甲船需停泊1小时，乙船需小时，乙船需停泊停泊2小时，而该码头只能停泊一艘船，试求小时，而该码头只能停泊一艘船，试求其中一艘船要等待码头空出的概率其中一艘船要等待码头空出的概率.在某一分钟的任何时刻，信
8、号进入收音机在某一分钟的任何时刻，信号进入收音机是等可能的是等可能的.若收到两个互相独立的这种信号若收到两个互相独立的这种信号的时间间隔小于的时间间隔小于0.5秒，则信号将产生互相干秒，则信号将产生互相干扰扰.求发生两信号互相干扰的概率求发生两信号互相干扰的概率.把长度为把长度为a的线段在任意两点折断的线段在任意两点折断成为三线段，求它们可以构成三角形的成为三线段，求它们可以构成三角形的概率概率.长度为长度为a 随机变量独立性的概念不难推广到随机变量独立性的概念不难推广到两个以上两个以上r.v的情形的情形.（见教材）（见教材）定理定理1 若连续型随机向量（若连续型随机向量（X1,Xn）的）的概
9、率密度函数概率密度函数f(x1,xn)可表示为可表示为n个函数个函数g1,gn之积，其中之积，其中gi只依赖于只依赖于xi，即，即 f(x1,xn)=g1(x1)gn(xn)则则X1,Xn相互独立相互独立,且且Xi的边缘密度的边缘密度fi(xi)与与gi(xi)只相差一个常数因子只相差一个常数因子.最后我们给出有关独立性的两个结果：最后我们给出有关独立性的两个结果：定理定理2 若若X1,Xn相互独立相互独立,而而 Y1=g1(X1,Xm),Y2=g2(Xm+1,Xn)则则Y1与与Y2独立独立.这一讲，我们由两个事件相互独立的这一讲，我们由两个事件相互独立的概念引入两个随机变量相互独立的概念概念
10、引入两个随机变量相互独立的概念.给出了各种情况下随机变量相互独立的条给出了各种情况下随机变量相互独立的条件，希望同学们牢固掌握件，希望同学们牢固掌握.下一讲我们将介绍随机向量函数的分布，下一讲我们将介绍随机向量函数的分布，请事先预习请事先预习.),(,),(,2的联合概率密度的联合概率密度求求上服从均匀分布上服从均匀分布在在服从服从并且并且相互独立相互独立和和设随机变量设随机变量YXbbYaNXYX 练习练习;,e21)(222)(xxfaxX又又)()(),(yfxfyxfYX 所所以以解解由于由于X 与与Y 相互独立相互独立,.,0,21)(其他其他bybbyfY,e2121),(222)(axbyxf 得得.0),(,yxfby时时当当.,bybx 其其中中
