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1、1通信原理2通信原理第第11章差错控制编码章差错控制编码 3第11章差错控制编码l11.1 概述概述n信道分类：从差错控制角度看u随机信道：错码的出现是随机的 u突发信道：错码是成串集中出现的u混合信道：既存在随机错码又存在突发错码 n差错控制技术的种类u 检错重发:p差错控制码元差错控制码元p出错重发u前向纠错 p差错控制码元差错控制码元p有错误、且可纠正，则进行纠正p有错误、但不可纠正，则仅报告错误u反馈校验p不需要差错控制码元不需要差错控制码元p出错重发u检错删除 p差错控制码元差错控制码元p出错则放弃该组数据。4检错重发的实现：3种ARQ系统l3种种ARQ（Automatic Repe
2、at reQuest）系统）系统n停止等待ARQ系统n拉后ARQ系统n选择重发ARQ系统l简单了解即可，主要了解其与简单了解即可，主要了解其与“前向纠错方法前向纠错方法”相比的优缺点相比的优缺点uARQ的主要优点：p监督码元较少即能使误码率降到很低，即编码效率较高；p检错的计算复杂度较低；p检错编码方法和加性干扰的统计特性基本无关，能适应信道uARQ的主要缺点：p需要双向信道来重发，且不能用于一点到多点的通信系统。p因为重发而使ARQ系统的传输效率降低。p信道干扰严重时，会发生因不断重发而致实际的通信中断。p在要求实时通信的场合，如电话通信，往往不允许使用ARQ法。5第11章差错控制编码n差错
3、控制编码差错控制编码：常称为纠错编码纠错编码u差错控制编码过程：差错控制编码过程：在发送端按照某种规则在需要发送的信息码元序列中增加一些冗余的码元，从而使接收端可以根据这些冗余码元来进行检错或纠错的过程。u差错控制编码差错控制编码：具有检错和/或纠错能力的编码被称为“差错控制编码”。u监督码元监督码元：差错控制编码中的冗余码元被称为“监督码元”。u设编码序列中信息码元数量为k，总码元数量为n，即监督码元的数量为(n-k)，则p多余度多余度：定义为(n-k)/np冗余度：冗余度：定义为(n-k)/kp编码效率编码效率(简称码率码率)：定义为 k/nu理论上，差错控制以降低信息传输速率为代价换取提
4、高传输可靠性。6第11章差错控制编码l11.2 纠错编码的基本原理纠错编码的基本原理n某些信息被编码为k位二进制码元，并且每一个k位二进制数字的排列都被用来表示一个信息。u设所有可能的天气被分为4种，它们可以用2位二进制数字构成的码组来表示，即k=2。这4种天气的编码为：“00”（晴），“01”（云），“10”（阴），“11”（雨）n对于k位二进制码组，如果其所有的2k种组合都被用来表示有效信息，则任意一个有效码组在传输中发生错误、其结果仍然是一个有效的码组。u接收端不能够区分以下两种情况：“接收的码组没有错误”、“接收的码组=一个正确的码组+错误”，从而无法进行检错或纠错。u上例中，假设发送
5、的是“00”（晴），但由于信道噪声，接收端错误地判决为“01”，则接收端只能认为天气是“云”，从而导致了错误。7第11章差错控制编码n为了进行检错或纠错，可以采用为了进行检错或纠错，可以采用n位二进制数字来表示位二进制数字来表示“用用k位二位二进制数字即可表示的信息进制数字即可表示的信息”，其中，其中nk。n采用n位二进制数字表示k位二进制数字即可表示的信息时，仅仅用了2n种排列中的2k种，其余（2n-2k）种排列并未被使用。n所使用的2k种排列，即所使用的2k种码组，被称为“许用码组许用码组”。n未使用的（2n-2k）种排列，即未使用的码组，被称为“禁用码组禁用码组”。n几种可能的情况n如传
6、输中未发生错误，则接收端得到的每一个码组都应该是许用码组许用码组。n当传输中发生错误，接收端判决得到的的结果可能还是一个许用码组。n当传输中发生错误，接收端判决得到的的结果可能是一个禁用码组n接收端判决得到一个禁用码组，则表明传输过程中一定发生了错误，即达到了检错检错的目的。n对于合理设计的编码，还可能纠正某些错误，从而达到纠错纠错的目的。8第11章差错控制编码u用nk位二进制数字表示“用k位二进制数字即可表示的信息”的例子。n采用如下的许用码组许用码组来表示4种天气：可检1个错、不能纠错；要纠错，需增加多余度序号序号天气天气编码（实际是偶校验码）编码（实际是偶校验码）1晴晴00 02云云01
7、 13阴阴10 14雨雨11 0原始信息位信息位监督码元：监督位监督位9第11章差错控制编码u分组码(Block code)p将信息码分组，并在每组信息码附加若干监督码元的编码称为分分组码组码。前面的编码即是一种分组码。p在分组码中，监督码元仅监督本码组中的信息码元。分组码的一般结构p分组码的符号：(n,k)N 一个码组的总位数，又称为码组的长度（码长），k 码组中信息码元的数目，n k r 码组中的监督码元数目，或称监督位数目。10第11章差错控制编码u分组码的码重和码距p码重码重：把码组中“1”的个数目称为码组的重量，简称码重码重。p码距码距：把两个码组中对应位上数字不同的位数称为码组的距
8、离，简称码距码距。码距又称汉明距离汉明距离。例如，“000”晴，“011”云，“101”阴，“110”雨，4个码组之间，任意两个的距离均为2。p最小码距最小码距：把某种编码中各个码组之间距离的最小值称为最小码距最小码距(d0)。例如，上面的编码的最小码距d0=2。11第11章差错控制编码u码距和检纠错能力的关系p一种编码的最小码距d0的大小直接关系着这种编码的检错和纠错能力p为检测为检测e个错码，要求最小码距个错码，要求最小码距 d0 e+1【证】设一个码组A位于O点。当发生e个错误时，则我们可以认为A的位置将移动至以O点为圆心、以e为半径的圆上某点。只要d0e，则A就不会变成另一个准用码组准
9、用码组。即，要检测e个错误，则必须有d0e，也即d0 e+1。0123BA汉明距离ed012第11章差错控制编码u为了纠正为了纠正t个错码，要求最小码距个错码，要求最小码距d0 2t+1BtA汉明距离012345td013第11章差错控制编码u为纠正为纠正t个错码，同时检测个错码，同时检测e个错码，要求最小码距个错码，要求最小码距n纠检结合：纠检结合：这种工作方式是自动在纠错和检错之间转换的。n当错码数量少时，系统按前向纠错方式工作，以节省重发时间，提高传输效率。n当错码数量多时，系统按反馈重发方式纠错，以降低系统总误码率。ABe1tt汉明距离)(10teted14第11章差错控制编码l11.
10、3 纠错编码的性能纠错编码的性能n监督码元的加入的两面性u发送序列长度信息速率不变的情况下，码元速率带宽噪声Pe u具有纠错和/或纠错的能力Pen总的效果：一般说来，采用纠错编码后，误码率总是能够得到很大改善的。u改善的程度和所用的编码有关。u改善的代价是所用带宽增加。15第11章差错控制编码u由编码导致的性能改善p相同信噪比时p相同误比特率时编码增益编码增益10-610-510-410-310-210-1编码后PeCDEAB信噪比(dB)16第11章差错控制编码l11.4简单的实用编码简单的实用编码n11.4.1 奇偶监督码u偶数监督码偶数监督码：p发送端的编码发送端的编码：监督位只有1位，
11、它使码组中“1”的数目为偶数，即满足下式条件：式中a0为监督位，其他位为信息位。p接收端的解码接收端的解码：按照上式对判决器的输出求“模2和”。p若计算结果为“1”就说明存在错码。p若结果为“0”就认为无错码。p检错检错/纠错能力纠错能力：能够检测奇数个错码，不能纠错。u奇数监督码奇数监督码：与偶数监督码相似，只不过其码组中“1”的数目为奇数：0021aaann1021aaann17第11章差错控制编码n11.4.2 二维奇偶监督码（方阵码）u二维奇偶监督码的构成012101212021222110111211ccccaaaaaaaaaaaannmmmnmnnnnn18第11章差错控制编码u二
12、维奇偶监督码的性能p有可能有可能检测偶数个错码检测偶数个错码。有一些偶数错码不可能检测出来。例如，构成矩形的4个错码，譬如前页图中用方框标出的4个码元发生错误时，就检测不出。p适于检测突发错码适于检测突发错码。因为突发错码常常成串出现，随后有较长一段无错区间。p由于方阵码只对构成矩形四角的错码无法检测，故其检错能力较强。有些时候可以使误码率下降至原误码率的1/1001/1000。p二维奇偶监督码不仅可用来检错，还可以用来纠正一些错码还可以用来纠正一些错码。19第11章差错控制编码l11.5 线性分组码线性分组码n按编码原理（产生监督位的方法）分类基本概念u代数码代数码：建立在代数学基础上的编码
13、。u线性码线性码：按照一组线性方程构成的代数码。在线性码中信息位和监督位是由一些线性代数方程联系着的。u线性分组码线性分组码：按照一组线性方程构成的分组码。n本节以汉明码为例介绍线性分组码的一般原理。20第11章差错控制编码n汉明码汉明码u能够纠正1位错码且编码效率较高的一种线性分组码u汉明码的构造原理。p在偶数监督码中，由于使用了一位监督位a0，它和信息位an-1 a1一起构成一个代数式：p在接收端解码时，实际上就是在计算若S=0，就认为无错码。若S=1，就认为有错码。p上式称为监督关系式监督关系式，S称为校正子校正子（又称（又称校验子、伴随校验子、伴随式式）。0021aaann021aaa
14、Snn21第11章差错控制编码p若监督位增加一位，即变成两位，则能增加一个类似的监督关系式。由于两个校正子的可能值有4中组合：00，01，10，11，故能表示4种不同的信息。若用其中1种组合表示无错，则其余3种组合就可用来指示一个错码的3种不同位置。p同理，r个监督关系式能指示1位错码的(2r 1)个可能位置。p一般来说，若码长为一般来说，若码长为n，信息位数为，信息位数为k，则监督位数，则监督位数rnk。如果。如果希望用希望用r个监督位构造出个监督位构造出r个监督关系式来指示个监督关系式来指示1位错码的位错码的n种可能位种可能位置，则要求置，则要求1212rknrr或22第11章差错控制编码
15、u例：设分组码分组码(n,k)中k=4，为了纠正1位错码，由上式可知，要求监督位数 r 3。若取 r=3，则n=k+r=7。我们用a6 a5 a0表示这7个码元，用S1、S2和S3表示3个监督关系式中的校正子，则S1、S2和S3的值与错码位置的对应关系可以规定如下表所列：S1 S2 S3错码位置S1 S2 S3错码位置001a0101a4010a1110a5100a2111a6011a3000无错码23第11章差错控制编码u由表中规定可见，仅当一位错码的位置在a2、a4、a5或a6时，校正子S1为1；否则S1为零。这就意味着a2、a4、a5和a6四个码元构成偶数监督关系：u同理，a1、a3、a
16、5和a6构成偶数监督关系：u以及a0、a3、a4 和a6构成偶数监督关系24561aaaaS13562aaaaS03463aaaaS24第11章差错控制编码u在发送端编码时，在发送端编码时，信息位a6、a5、a4和a3的值决定于输入信号，因此它们是随机的。监督位a2、a1和a0应根据信息位的取值按监督关系来确定，即监督位应使上3式中S1、S2和S3的值为0（表示编成的码组中应无错码）：上式经过移项运算，解出监督位 给定信息位后，可以直接按上式算出监督位（见下表）。给定信息位后，可以直接按上式算出监督位（见下表）。000034613562456aaaaaaaaaaaa346035614562aaaaaaaaaaaa25第11章差错控制编码信息位a6 a5 a4 a3监督位a2 a1 a0信息位a6 a5 a4 a3监督位a2 a1 a0000000010001110001011100110000101011010010001111010110010100110110000101011011101010011001111101000111000111111126第11章差错控制编码u接收端
