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1、无穷级数 无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具无穷级数是研究函数的工具表示函数表示函数研究性质研究性质数值计算数值计算数项级数数项级数幂级数幂级数第九章常数项级数的概念和性质 二、常数项级数的概念二、常数项级数的概念 三、无穷级数的基本性质三、无穷级数的基本性质 四、级数收敛的必要条件四、级数收敛的必要条件 第一节 第九章 一、问题的提出一、问题的提出 一、问题的提出1.1.计算圆的面积计算圆的面积R正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积1a21aa 正正 形的面积形的面积n23 naaa 21naaaA 21即即 n10310003100310331.2二、级数的概
2、念1.1.级数的定义级数的定义:nnnuuuuu3211(常数项常数项)无穷级数无穷级数一般项一般项部分和数列部分和数列 niinnuuuus121级数的部分和级数的部分和,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus 2.2.级数的收敛与发散级数的收敛与发散:当当n无限增大时无限增大时,如果级数如果级数 1nnu的部分和的部分和数列数列ns有极限有极限s,即即 ssnn lim 则称无穷级数则称无穷级数 1nnu收敛收敛,这时极限这时极限s叫做级数叫做级数 1nnu的和的和.并并写成写成 321uuus如如果果ns没没有有极极限限,则则称称无无穷穷级级数数 1nnu发发散
3、散.即即 常常数数项项级级数数收收敛敛(发发散散)nns lim存存在在(不不存存在在)余项余项nnssr 21nnuu 1iinu即即 ssn 误误差差为为nr)0lim(nnr例例 1 1 讨讨论论等等比比级级数数(几几何何级级数数)nnnaqaqaqaaq20 )0(a的的收收敛敛性性.解解时时如如果果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1,11qaqqan ,1时时当当 q0lim nnqqasnn 1lim,1时时当当 q nnqlim nnslim 收敛收敛 发散发散时时如果如果1 q,1时时当当 q,1时时当当 q nasn 发散发散 aaaa级级数数变变为为不不存存在在
4、nns lim 发散发散 综上综上 发发散散时时当当收收敛敛时时当当,1,10qqaqnn例例 2 2 判判别别无无穷穷级级数数 11232nnn的的收收敛敛性性.解解nnnu 1232,3441n已知级数为等比级数，已知级数为等比级数，,34 q公比公比,1|q.原级数发散原级数发散例例 3 3 判别无穷级数判别无穷级数 )12()12(1531311nn 的收敛性的收敛性.解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn)1211(21limlim nsnnn),1211(21 n,
5、21.21,和为和为级数收敛级数收敛 例4.判别级数2211lnnn的敛散性.解解:211lnn221lnnn nnnln2)1ln()1ln(2211lnkSnkn2ln21ln3ln3ln22ln4lnln2)1ln()1ln(nnn5ln4ln23ln 2lnnnln)1ln(2ln)1ln(1n,2lnlimnnS故原级数收敛,其和为.2ln三、基本性质性性质质 1 1 如如果果级级数数 1nnu收收敛敛,则则 1nnku亦亦收收敛敛.性质性质 2 2 设两收敛级数设两收敛级数 1nnus,1nnv,则级数则级数 1)(nnnvu收敛收敛,其和为其和为 s.结论结论:级数的每一项同乘一
6、个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变敛散性不变.结论结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减.例例 5 5 求级数求级数 121)1(5nnnn的和的和.解解 121)1(5nnnn 1)1(5nnn 121nn 111115)1(5nnnnnn nknkkg11115令令),111(5 n,5)111(lim5lim ngnnn,211是是等等比比级级数数 nn，首首项项是是公公比比21,121 qnnnnh lim211.61521)1(51 nnnn故故,121121 性质3.在级数中去掉、加上或改变在级数中去掉、加上或改变有限项有限项,不
7、会不会影响级数的敛散性影响级数的敛散性.证证:将级数1nnu的前 k 项去掉,1nnku的部分和为nllknu1knkSSnknS与,时由于n数敛散性相同.当级数收敛时,其和的关系为.kSS 类似可证前面加上有限项的情况.极限状况相同,故新旧两级所得新级数机动 目录 上页 下页 返回 结束 性质性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和的和.证证:设收敛级数,1nnuS若按某一规律加括弧,)()(54321uuuuu则新级数的部分和序列),2,1(mm为原级数部分和序列),2,1(nSn的一个子序列,nnmmS limlimS推论推论:若加括弧
8、后的级数发散若加括弧后的级数发散,则原级数必发散则原级数必发散.因此必有例如机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.)11()11(例例如如 1111 收敛收敛 发散发散例例6.6.判断级数的敛散性判断级数的敛散性:141141131131121121解解:考虑加括号后的级数考虑加括号后的级数)()()(1411411311311211211111nnan12nnna2发散发散 ,从而原级数发散从而原级数发散 .nn121四、级数收敛的必要条件四、级数收敛的必要条件 设收敛级数设收敛级数,1nnuS则必有则必有.0l
9、imnnu证证:1nnnSSu1limlimlimnnnnnnSSu0SS可见可见:若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0,则级数必发散则级数必发散.例如例如,1)1(544332211nnn其一般项为1)1(1nnunn不趋于0,因此这个级数发散.nun,时当机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意:0limnnu并非级数收敛的充分条件并非级数收敛的充分条件.例如例如,调和级数调和级数nnn13121111虽然虽然，01limlimnunnn但此级数发散但此级数发散 .事实上事实上,假设调和级数收敛于 S,则0)(lim2nnnSSnn2nnnn21312111但nnSS2矛盾!所以
10、假设不真.21机动 目录 上页 下页 返回 结束 五、小结1 1.由由定定义义,若若ssn,则则级级数数收收敛敛;2.2.当当0lim nnu,则级数发散则级数发散;3 3.按按基基本本性性质质.常数项级数的基本概念常数项级数的基本概念基本审敛法基本审敛法一、正项级数及其审敛法1.1.定义定义:，中各项均有中各项均有如果级数如果级数01 nnnuu这种级数称为正项级数这种级数称为正项级数.nsss212.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件:定理定理.有界有界部分和所成的数列部分和所成的数列正项级数收敛正项级数收敛ns部分和数列部分和数列 为单调增加数列为单调增加数列.ns且且),
11、2,1(nvunn,若若 1nnv收收敛敛,则则 1nnu收收敛敛；反反之之，若若 1nnu发发散散，则则 1nnv发发散散.证明证明nnuuus 21且且 1)1(nnv设设,nnvu ,即部分和数列有界即部分和数列有界.1收敛收敛 nnu均为正项级数，均为正项级数，和和设设 11nnnnvu3.比较审敛法比较审敛法nvvv 21nns 则则)()2(nsn设设,nnvu 且且 不是有界数列不是有界数列.1发散发散 nnv推推论论:若若 1nnu收收敛敛(发发散散)且且)(nnnnvkuNnkuv ,则则 1nnv收敛收敛(发散发散).).定理证毕定理证毕.比较审敛法的不便比较审敛法的不便:
12、须有参考级数须有参考级数.例例 1 1 讨讨论论 P P-级级数数 ppppn14131211的的收收敛敛性性.)0(p解解,1 p设设,11nnp.级级数数发发散散则则 P,1 p设设oyx)1(1 pxyp1234由图可知由图可知 nnppxdxn11pppnns131211 nnppxdxxdx1211 npxdx11)11(1111 pnp111 p,有界有界即即ns.级数收敛级数收敛则则 P 发散发散时时当当收敛收敛时时当当级数级数,1,1ppP重要参考级数重要参考级数:几何级数几何级数,P-,P-级数级数,调和级数调和级数.例例 2 2 证明级数证明级数 1)1(1nnn是发散的是
13、发散的.证明证明,11)1(1 nnn,111 nn发发散散而而级级数数.)1(11 nnn发散发散级数级数4.4.比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式:设设 1nnu与与 1nnv都是正项级数都是正项级数,如果如果则则(1)(1)当当时时,二级数有相同的敛散性二级数有相同的敛散性;(2)(2)当当时，若时，若收敛收敛,则则收敛收敛;(3)(3)当当时时,若若 1nnv发散发散,则则 1nnu发散发散;,limlvunnn l00 l l 1nnv 1nnu证明证明lvunnn lim)1(由由,02 l 对于对于,N,时时当当Nn 22llvullnn )(232Nnvluvlnnn 即
14、即由比较审敛法的推论由比较审敛法的推论,得证得证.设设 1nnu为为正正项项级级数数,如果如果0lim lnunn (或或 nnnulim),),则级数则级数 1nnu发散发散;如如果果有有1 p,使使得得npnun lim存存在在,则则级级数数 1nnu收收敛敛.5 5.极极限限审审敛敛法法：例例 3 3 判判定定下下列列级级数数的的敛敛散散性性:(1)11sinnn;(2)131nnn;解解)1(nnnn3131lim nnn11sinlim ,1 原级数发散原级数发散.)2(nnn1sinlim nnn311lim ,1,311收敛收敛 nn故原级数收敛故原级数收敛.6 6.比比值值审审
15、敛敛法法(达达朗朗贝贝尔尔 D DA Al le em mb be er rt t 判判别别法法)：设设 1nnu是是正正项项级级数数,如如果果)(lim1 数数或或nnnuu则则1 时时级级数数收收敛敛;1 时时级级数数发发散散;1 时时失失效效.证明证明,为有限数时为有限数时当当,0 对对,N,时时当当Nn ,1 nnuu有有)(1Nnuunn 即即,1时时当当 ,1时时当当 ,1 取取,1 r使使,11 NmmNuru,12 NNruu,1223 NNNurruu,111 mNmur收敛收敛而级数而级数,11收收敛敛 NnnmmNuu收敛收敛,1 取取,1 r使使,时时当当Nn ,1nn
16、nuruu .0lim nnu发散发散比值审敛法的优点比值审敛法的优点:不必找参考级数不必找参考级数.两点注意两点注意:1 1.当当1 时时比比值值审审敛敛法法失失效效;,11发发散散级级数数例例 nn,112收敛收敛级数级数 nn)1(,232)1(2nnnnnvu 例例,2)1(211收敛收敛级数级数 nnnnnu,)1(2(2)1(211nnnnnauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna.limlim1不不存存在在nnnnnauu 2.2.条件是充分的条件是充分的,而非必要而非必要.例例 4 4 判判别别下下列列级级数数的的收收敛敛性性:(1)1!1nn;(2)110!nnn;(3)12)12(1nnn.解解)1(!1)!1(11nnuunn 11 n),(0 n.!11收敛收敛故级数故级数 nn),(n)2(!1010)!1(11nnuunnnn 101 n.10!1发发散散故故级级数数 nnn)3()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn,1 比值审敛法失效比值审敛法失效,改用比较审敛法改用比较审敛法,12)12(12nnn ,112收
