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1、|弯矩分配法的本质及其适用范围弯矩分配法的本质及其适用范围z弯矩分配法属于位移法的范畴，是基于位移法的逐次逼近精确解的近似方法。弯矩分配法属于位移法的范畴，是基于位移法的逐次逼近精确解的近似方法。弯矩分配法的适用范围：弯矩分配法的适用范围：单独使用时，只能用于只有结点角位移而无结点线位移的结构。单独使用时，只能用于只有结点角位移而无结点线位移的结构。弯矩分配法与位移法联合应用，可求解有结点线位移的结构。弯矩分配法与位移法联合应用，可求解有结点线位移的结构。v 弯矩分配法的基本概念弯矩分配法的基本概念 以图示结构为例说明，所有杆件的线刚度均为以图示结构为例说明，所有杆件的线刚度均为 ，杆长均为，
2、杆长均为 ，不计杆件轴向变形。，不计杆件轴向变形。il 根据位移法原理，原结构分解为根据位移法原理，原结构分解为(a)(b)两种受力状态。两种受力状态。只有一个位移法未知量只有一个位移法未知量A结点的角位移。弯矩分配法中，把具有待求角位移的结点称为结点的角位移。弯矩分配法中，把具有待求角位移的结点称为分配单元分配单元。qABCD原结构原结构qABCD(a)状态状态uAMABCD(b)状态状态uAM(a)状态：只承受外荷载，不发生节结点位移 固定状态(b)状态：只发生结点位移，无外荷载 放松状态相当于原结构“先固定、后放松”2023-11-8 固定状态下，由荷载引起的杆端弯矩称为固定状态下，由荷
3、载引起的杆端弯矩称为固端弯矩固端弯矩。正负号规定：绕杆端顺时针为正。正负号规定：绕杆端顺时针为正。qABCD原结构原结构qABCD(a)固定状态固定状态uAMABCD(b)放松状态放松状态uAM 固定状态内力分析固定状态内力分析弯矩分配法是一种数值算法，正负号规定非常重要！弯矩分配法是一种数值算法，正负号规定非常重要！固端弯矩根据第7章位移法表7-1计算，其本质就是位移法Mp图的计算。21,0;8ggABBAMqlM0,0;ggACCAMM0,0;ggADDAMM 结点附加刚臂上的约束力矩称为结点附加刚臂上的约束力矩称为结点不平衡力矩结点不平衡力矩。正负号规定：顺时针为正。正负号规定：顺时针为
4、正。结点不平衡力矩的计算：根据固端弯矩，利用结点力矩平衡条件计算。在上述正负号规定条件下，结点不平衡力矩就是与该结点相连的所有杆件该端固端弯矩的代数和。218ugggAABACADMMMMql2023-11-8 放松状态就是原结构承受结点不平衡力矩的放松状态就是原结构承受结点不平衡力矩的反向反向力矩（相当于解除约束）。力矩（相当于解除约束）。qABCD原结构原结构qABCD(a)固定状态固定状态uAMABCD(b)放松状态放松状态uAM 放松状态内力分析放松状态内力分析 放松状态的内力可借助放松状态的内力可借助转动刚度、分配系数、传递系数转动刚度、分配系数、传递系数等概念计算。等概念计算。转动
5、刚度：转动刚度：AB杆件杆件A端（又称近端）发生单位转角时，端（又称近端）发生单位转角时，A端产生的弯矩值，称为端产生的弯矩值，称为AB杆杆A端的转动刚度，端的转动刚度，记为记为 。ABS 转动刚度不仅与杆件的弯曲线刚度 有关，而且与杆件另一端（又称远端）的支承条件有关。iEI li4ABSi2BAMiAB1A 远端为固定支座：4ABSii3ABSi0BAMAB1AiABSiBAMi AB1A 远端为铰支座：3ABSi 远端为定向滑动支座：ABSi 弯矩分配法中，结点转动在远端产生的弯矩可通过近端弯矩乘以传递系数得到。2023-11-8ABCD(b)放松状态放松状态uAM 放松状态内力分析放松
6、状态内力分析 传递系数：传递系数：AB杆件仅杆件仅A端发生转角时，端发生转角时，B端弯矩与端弯矩与A端弯矩之比，称为从端弯矩之比，称为从A到到B的弯矩传递系数，记的弯矩传递系数，记为为 。A BCi4ABSi2BAMiAB1A 远端为固定支座：1 2ABCi3ABSi0BAMAB1AiABSiBAMi AB1A 远端为铰支座：0ABC 远端为定向滑动支座：1ABC 放松状态内力（分配系数）放松状态内力（分配系数）AA结点力矩结点力矩uAMfABMfADMfACMA结点力矩平衡方程：fffuABACADAMMMM 而，;fABABAMS;fACACAMSfADADAMS所以，uABACADAAS
7、SSM 得，uAAABACADMSSS 从而，fuuABABAABAAjSMMMSfuuACACAACAAjSMMMSfuuADADAADAAjSMMMS称为称为力矩分配系数力矩分配系数，表示杆件刚度在结点刚度中占的比例。，表示杆件刚度在结点刚度中占的比例。每个分配单元上，力矩分配系数之和恒等于每个分配单元上，力矩分配系数之和恒等于1，即，即 。1Why?物理含义：结点力矩平衡2023-11-8qABCD原结构原结构qABCD(a)固定状态固定状态uAMABCD(b)放松状态放松状态uAM 计算过程小结计算过程小结 固定状态，计算固端弯矩和结点不平衡力矩。固定状态，计算固端弯矩和结点不平衡力矩
8、。固端弯矩21,0;8ggABBAMqlM0,0;ggACCAMM0,0;ggADDAMM218ugggAABACADMMMMql 结点不平衡力弯矩 放松状态，计算分配力矩和传递力矩。放松状态，计算分配力矩和传递力矩。杆件转动刚度：分配系数：近端分配力矩：3;4ABACADSiSiSi3 8;1 8;1 2ABACADCCC222311;646416fffABACADMqlMqlMql 远端传递力矩：22110;6432cccBACADAMMqlMql 杆端最终弯矩固端弯矩分配力矩传递力矩杆端最终弯矩固端弯矩分配力矩传递力矩2023-11-8qABCD原结构原结构 计算过程小结计算过程小结 固
9、定状态，计算固端弯矩和结点不平衡力矩。固定状态，计算固端弯矩和结点不平衡力矩。固端弯矩21,0;8ggABBAMqlM0,0;ggACCAMM0,0;ggADDAMM218ugggAABACADMMMMql 结点不平衡力弯矩 放松状态，计算分配力矩和传递力矩。放松状态，计算分配力矩和传递力矩。杆件转动刚度：分配系数：近端分配力矩：3;4ABACADSiSiSi3 8;1 8;1 2ABACAD222311;646416fffABACADMqlMqlMql 远端传递力矩：22110;6432cccBACADAMMqlMql 杆端最终弯矩固端弯矩分配力矩传递力矩杆端最终弯矩固端弯矩分配力矩传递力矩
10、弯矩分配法通常列表计算结点结点杆端杆端BACDBAABADACCADAgM分配分配传递传递M终备注备注3 81 81 21 82ql3 641 641 1601 641 3205 641 641 161 641 32分配力矩下划线，以示与传递力矩区分2023-11-8qABCD原结构原结构 弯矩分配法的物理含义：弯矩分配法的物理含义：弯矩分配法实质，是在原结构上施加约束、再解除约束的过程。弯矩分配法实质，是在原结构上施加约束、再解除约束的过程。结点结点杆端杆端BACDBAABADACCADAgM分配分配传递传递M终备注备注3 81 81 21 82ql3 641 641 1601 641 32
11、05 641 641 161 641 32ABCDM图图(xql2)56418164116132施加约束(固定)解除约束(放松)注意问题：注意问题：弯矩分配法是数值计算方法，弯矩的方向用正负号表示，故，必须牢记弯矩分配法是数值计算方法，弯矩的方向用正负号表示，故，必须牢记正负号规定正负号规定，计算过程中切勿混，计算过程中切勿混淆和遗漏正负号。淆和遗漏正负号。结点不平衡力矩结点不平衡力矩必须反号必须反号后才能进行分配和传递。后才能进行分配和传递。弯矩分配法计算步骤：弯矩分配法计算步骤：计算各杆的分配系数和传递系数。计算各杆的分配系数和传递系数。计算荷载作用下的固端弯矩。计算荷载作用下的固端弯矩。
12、将结点不平衡力矩将结点不平衡力矩反号反号后，进行力矩分配和传递。后，进行力矩分配和传递。按叠加原理计算最终杆端弯矩。按叠加原理计算最终杆端弯矩。M终02.41.8056.44.851.62.470.22023-11-8|单结点弯矩分配法单结点弯矩分配法 【例【例1】试用弯矩分配法作图示刚架的弯矩图。】试用弯矩分配法作图示刚架的弯矩图。【解【解】2 36,2 48,1.5 66ABACADSSS 6860.3,0.4,0.3202020ABACAD2130 4608gABMkNm22100 3 2485gADMkNm 22100 32725gDAMkNm计算分配系数：4m3m2m30/kN mA
13、BDC100kN4m2i 2i 1.5i 杆端杆端BAABADACCADA结点结点BACD0.30.40.3分配分配传递传递3.64.83.6计算固端弯矩：gM60487256.44.851.62.470.212060ABDCM图图(kNm)2023-11-8|单结点弯矩分配法单结点弯矩分配法 【例【例2】试用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。】试用弯矩分配法作图示连续梁的弯矩图。gM分配分配传递传递M终0.40.66020.430.670.239.639.60【解【解】423,633BABCEIEIEISSEI0.4,0.6BCBABABCBABCBABCSSSSSS21110 640 660
14、128gABMkNm 60ggBAABMMkNm 218 398gBCMkNm 6093m3m3m10/kN mABC40kNEIEI8/kN m只有B结点1个分配单元。10.20ABC70.239.621110 640 6105842110 322.5822.5218 398 M图图(kNm)单结点弯矩分配法计算结果是近似解吗？单结点弯矩分配法计算结果是近似解吗？答：是精确解。答：是精确解。如何通过弯矩分配过程计算如何通过弯矩分配过程计算B截面的转角？截面的转角？答：只有放松状态，即分配过程产生结点角位移。答：只有放松状态，即分配过程产生结点角位移。30.6ffBCBABBBCBAMMSEI
15、S逆转，或C端既无线位移又无角位移，相当于固定端，故端既无线位移又无角位移，相当于固定端，故 。54144,52ACACCAEISiEIC2023-11-8|单结点弯矩分配法单结点弯矩分配法 【例【例3】试用弯矩分配法作图示结构的弯矩图。】试用弯矩分配法作图示结构的弯矩图。DA结点结点杆端杆端BACDBAABADACCAgM分配分配传递传递M终AD杆件的处理：杆件的处理：?gADADMS8/kN mABCD20kNEIEI54EI3m4m2m3m2mD端的链杆只产生轴力，故端的链杆只产生轴力，故 。20240,0gADADMkNmkNmSAC杆件的处理：杆件的处理：?ACCASC0.50.50
16、94024.524.5012.25015.524.54012.250（M图略）图略）2023-11-8|单结点弯矩分配法单结点弯矩分配法 【例【例4】试用弯矩分配法作图示结构的弯矩图。】试用弯矩分配法作图示结构的弯矩图。几个分配单元？几个分配单元？2个或个或1个。个。法一：法一：B结点和结点和C结点结点2个分配单元。个分配单元。(多结点弯矩分配法后续介绍多结点弯矩分配法后续介绍)法二：法二：B结点结点1个分配单元。（个分配单元。（CD弯矩静定，原结构可简化）弯矩静定，原结构可简化）ABC20kNEIEI4m4m2mEI41kNmDABC20kNEIEI41kNm40kNm弯矩分配法的分配单元数量与位移法的基本未知量数量是统一的。弯矩分配法的分配单元数量与位移法的基本未知量数量是统一的。理论上讲，弯矩分配法即适用于超静定结构，也适用于静定结构，理论上讲，弯矩分配法即适用于超静定结构，也适用于静定结构，但具体应用中，如结构含有内力静定部分，应尽可能先简化结构，但具体应用中，如结构含有内力静定部分，应尽可能先简化结构，以减少计算工作量。以减少计算工作量。gM分配分配传递传递M终4737B结点
