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1、第九章第九章 相似理论与相似理论与量纲分析量纲分析 流体力学的研究方法中实验研究既是流体力学的研究方法中实验研究既是理论分析的依据，同时也是检验理论的准理论分析的依据，同时也是检验理论的准绳，具有很重要的作用。绳，具有很重要的作用。本章将探讨其理论基础：本章将探讨其理论基础：相似理论相似理论 量纲分析量纲分析9.1 9.1 相似理论基础相似理论基础 为使模型流动能表现出原型流动的主为使模型流动能表现出原型流动的主要现象和特性，并从模型流动上预测出原要现象和特性，并从模型流动上预测出原型流动的结果，就必须使两者在型流动的结果，就必须使两者在流动上相流动上相似似，即两个流动的对应时刻对应点上同名，
2、即两个流动的对应时刻对应点上同名物理量具有各自的比例关系。物理量具有各自的比例关系。具体来说，具体来说，两相似流动应几何相似两相似流动应几何相似 、运动相似、运动相似、动力相似动力相似。两流动相似应满足两流动相似应满足的条件的条件一一 几何相似（空间相似）几何相似（空间相似）定义：定义：两流动流场的几何形状相似两流动流场的几何形状相似,即两即两流动的对应长度成比例，对应角度相等。流动的对应长度成比例，对应角度相等。引入尺度比例系数引入尺度比例系数 进而，面积比例系数进而，面积比例系数 体积比例系数体积比例系数mplllC 2lmpACAAC3lmpVCVVC模型流动用下标模型流动用下标m表示表
3、示原型流动用下标原型流动用下标p表示表示二二 运动相似（时间相似）运动相似（时间相似）定义：两流动的速度场相似定义：两流动的速度场相似,即两个流即两个流动的对应时刻对应点的速度方向相同动的对应时刻对应点的速度方向相同,大大小成比例。小成比例。引入速度比例系数引入速度比例系数由于由于 因此因此 mpCmmmtl/ppptl/1tltlmmppCCCCtltlCmptttC 运动相似需要建立在几何相似基础上运动相似需要建立在几何相似基础上.因此因此运动相似只需确定时间比例系数运动相似只需确定时间比例系数 就可以就可以了。故运动相似也就被称之为时间相似。了。故运动相似也就被称之为时间相似。运动学物理
4、量的比例系数都可以表示为长度比运动学物理量的比例系数都可以表示为长度比尺和时间比尺的不同组合形式。尺和时间比尺的不同组合形式。如：如：21tltmmppmpaCCCCttaaC的单位是m2/sQ的单位是m3/t12tlCCC131tltVmmppQCCCCtVtVC三三 动力相似（受力相似）动力相似（受力相似）定义：两流动的对应点上质点所受定义：两流动的对应点上质点所受F F的方向的方向相同相同,大小成比例。大小成比例。引入力比例系数引入力比例系数 也可写成也可写成 mpFFFC 2223)(CCCCCCCCCCltllamF力学物理量的比例系数可以表示为密度、尺度、力学物理量的比例系数可以表
5、示为密度、尺度、速度比尺的不同组合形式，如：速度比尺的不同组合形式，如：力矩力矩M M 压强压强p p功率功率N N 动力粘度动力粘度 23CCCFlFlClmpM2CCCCppCAFmpp321CCCCCCltMNvlCCCC 综上所述，要使模型流动和原型流动相综上所述，要使模型流动和原型流动相似，需要两者似，需要两者在时空相似的条件下受力相在时空相似的条件下受力相似似。动力相似（受力相似）用相似准则（相动力相似（受力相似）用相似准则（相似准数）的形式来表示，即：要使模型流似准数）的形式来表示，即：要使模型流动和原型流动动力相似，需要这两个流动动和原型流动动力相似，需要这两个流动在时空相似的
6、条件下各相似准则都相等。在时空相似的条件下各相似准则都相等。三种相似之间的联系：几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据;动力相似是决定两个流动相似的主导因素;运动相似是几何相似和动力相似的表现。9.2 9.2 相似准则相似准则 相似准则:几何比尺、运动比尺和动力比尺之间由力学基本定律规定了的一定的约束关系。一、牛顿相似准则两流动动力相似要求对应点处液体质点所受各种力大小成比例。粘性力、重力、动水压力等是企图改变流体运动状态的力；而惯性力是企图维持液体运动状态的力，液体流动的变化是惯性力和其它各种力相互作用的结果。惯性力则惯性力之比：另一企图改变流体运动状态的力为F，其比尺为CF。由动力相似有
7、如下关系：CF=CIVamaI22CCCVaVaClmpI即：式中：是一个无量纲数22CCCVaVaCClmpIF22222222mmmmppppmmmpppmplFlFllFF或22lFNe 因此，两个流动相似的重要标志是它们的牛顿准则数相等：即mpNeNe 二、雷诺准则二、雷诺准则对于有压流动，粘性力是主要作用力。对于有压流动，粘性力是主要作用力。粘性力比尺粘性力比尺CCCCAATTCldydummdyduppmpTmmpp要满足惯性力相似，必须满足CT=CI，即即22CCCCCCCllmpmmmppplllCCCReRe1即即雷诺数的物理意义雷诺数Re反映了惯性力与粘性力之比：Re223
8、lllAVaTIdydu三、佛汝德准则三、佛汝德准则对于具有自由表面的流动，重力是主要对于具有自由表面的流动，重力是主要的作用力。的作用力。重力比尺重力比尺gmmppmpGCCCgmgmGGCl3要满足重力相似，必须满足CG=CI，即即223CCCCCClglmpmmpplgFrFrlglgCCCmp即即2221佛汝德数的物理意义佛汝德数Fr反映了惯性力与重力之比：FrglgllmgVaGI2322四、欧拉准则四、欧拉准则作用在两流动对应点上的动水总压力之作用在两流动对应点上的动水总压力之比为：比为：2lCCApApPPCpmmppmpP要满足动水总压力相似，必须满足CP=CI，即即222CC
9、CCClplmpmmmppppEuEuppCCC即即2221欧拉数的物理意义欧拉数Eu反映了动水总压力与惯性力之比：通常，对流动起作用的是液流中两点压强差p，而不是某点的压强p。故欧拉数常写为：EuplplVapAIP22222pEu注意：压力场的相似不是两个流动相似的原因，而是两个流动相似的结果。Eu准则不是独立的。只要主要的相似准则（Re或Fr)得到满足，则该准则必定满足。综上所述，动力相似可以用相似准则数表综上所述，动力相似可以用相似准则数表示，若原型和模型流动动力相似，各同名相似示，若原型和模型流动动力相似，各同名相似准数均相等。准数均相等。9.3 9.3 模型实验模型实验什么是模型实
10、验：什么是模型实验：通常指用简化的可控制的方法再现实际发生的物通常指用简化的可控制的方法再现实际发生的物理现象。实际发生的现象被称为原型现象，理现象。实际发生的现象被称为原型现象，模型实验的侧重点是再现流动现象的物理本模型实验的侧重点是再现流动现象的物理本质；只有保证模型实验和原型中流动现象的质；只有保证模型实验和原型中流动现象的物理本质相同，模型实验才是有价值的。物理本质相同，模型实验才是有价值的。为什么要进行模型实验 科学研究和生产设计需要做模型实验科学研究和生产设计需要做模型实验；并不是所有的流动现象都需要做模型实验。做理并不是所有的流动现象都需要做模型实验。做理论分析或数值模拟的流动现
11、象都不必模拟实验。论分析或数值模拟的流动现象都不必模拟实验。并不是所有的流动现象都能做模型实验。只有对并不是所有的流动现象都能做模型实验。只有对其流动现象有充分的认识，并了解支配其现象的其流动现象有充分的认识，并了解支配其现象的主要物理法则，但还不能对其作理论分析或数值主要物理法则，但还不能对其作理论分析或数值模拟的原型最适合做模型实验。模拟的原型最适合做模型实验。一、相似准则的选择为了使两流动完全相似，在满足几何相似的前提下，各独立的相似准则应同时得到满足。这在实际实验中往往很难实现，甚至是不可能的。例如：欲在某实验中实现雷诺准则和佛汝德准则的同时满足：即要实现流动相似应满足两个条件（1）模
12、型流速原比型流速缩小 倍；（2）模型流体的粘度应比原型粘度缩小 倍，这很难实现。lglCCCCCC由佛汝德准则求得由于由雷诺准则求得,1231,11llCCCCC时，当意义；此时失去了模型实验的时，当lC23lC 因此，要使两者达到完全的动力相似，因此，要使两者达到完全的动力相似，实际上办不到，我们寻求的是起主要作用的实际上办不到，我们寻求的是起主要作用的力相似力相似近似相似。近似相似。例如：例如：有压管流有压管流粘性力起主要作用粘性力起主要作用雷诺准则雷诺准则明渠流动明渠流动重力起主要作用重力起主要作用佛汝德准则佛汝德准则二、模型的设计1、首先根据实验场地和模型制作的条件定出长度比尺Cl;2
13、、根据选定的长度比尺Cl确定出模型流动的几何边界；3、根据所选用的相似准则确定速度比尺和流量比尺，从而定出模型流动的流量。例例1 1 有一轿车，高有一轿车，高h hp=1.5mp=1.5m，在公路上行驶，设，在公路上行驶，设计时速计时速v vp=p=108km/h108km/h，拟通过风洞中模型实验来确，拟通过风洞中模型实验来确定此轿车在公路上以此速行驶时的空气阻力。定此轿车在公路上以此速行驶时的空气阻力。已知该风洞系低速全尺寸风洞已知该风洞系低速全尺寸风洞(C(Cl l=3/2)=3/2)，并假定，并假定风洞试验段内气流温度与轿车在公路上行驶时风洞试验段内气流温度与轿车在公路上行驶时的温度相
14、同，试求：风洞实验时，风洞实验段的温度相同，试求：风洞实验时，风洞实验段内的气流速度应安排多大？内的气流速度应安排多大？解：解：首先根据流动性质确定决定性相似准首先根据流动性质确定决定性相似准则数，这里选取则数，这里选取ReRe作为决定性相似准则作为决定性相似准则数，数，Rem=Rep，即，即CvCl/C=1，再根据决定型相似准数相等，确定几个再根据决定型相似准数相等，确定几个比尺的相互约束关系，这里比尺的相互约束关系，这里C=1，所以，所以 Cv=Cl-1，由于，由于Cl=lp/lm=3/2，那么，那么Cv=vp/vm=1/Cl=2/3 最后得到风洞实验段内的气流速度应该最后得到风洞实验段内
15、的气流速度应该是是 vm=vp/Cv=108/(2/3)=162km/h=45m/s 例例2 2 在例在例1 1中，通过风洞模型实验，获中，通过风洞模型实验，获得模型轿车在风洞实验段中的风速为得模型轿车在风洞实验段中的风速为45m/s45m/s时，空气阻力为时，空气阻力为1000N1000N，问：此轿，问：此轿车以车以108km/h108km/h的速度在公路上行驶时，所的速度在公路上行驶时，所受的空气阻力有多大？受的空气阻力有多大？解：在设计模型时，定下解：在设计模型时，定下 C=1 Cl=3/2 Cv=2/3 在相同的流体和相同的温度时，流在相同的流体和相同的温度时，流体密度比例系数体密度比
16、例系数C=1，那么力比例系数，那么力比例系数 CF=C Cl2 CV2 CF=1(3/2)2(2/3)2=1 因此，该轿车在公路上以因此，该轿车在公路上以108km/h108km/h的的速度行驶所遇到的空气阻力速度行驶所遇到的空气阻力 Fp=FmCF=10001=1000N9.4 9.4 量纲分析法量纲分析法一一 量纲的概念量纲的概念二二 量纲齐次性原理量纲齐次性原理三三 量纲分析法量纲分析法 9.4.1 9.4.1量纲的概念量纲的概念量纲的定义量纲的定义:量纲是物理量的单位种类，又称因次。量纲是物理量的单位种类，又称因次。如长度、宽度、高度、深度、厚度等都可以米、如长度、宽度、高度、深度、厚度等都可以米、英寸、公尺等不同单位来度量，但它们属于同英寸、公尺等不同单位来度量，但它们属于同一单位，即属于同一单位量纲（长度量纲），一单位，即属于同一单位量纲（长度量纲），用用 L 表示。表示。量纲的表示方法：量纲的表示方法：物理量的代表符号外加上中括物理量的代表符号外加上中括号。如号。如 L，M，T 等。等。用 表示物理量的量纲，用（）表示物理量的单位量纲的分类：量纲的分类：基本量纲基本量纲
