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1、习题解答第二章2. 1计算：(1)bpibiqbqjbjk,Cp(liijkAfkt6ijpUpBkiBlj解：(1)piiqqijk=Bpjbjk=BPk；(2) CMeijkAjk=(bpj5qkpk5)Ajk=Apq-AIP；(3) jjpeupBkiBj=(btkbjLbiIbjk)BkiBq=BiiBo-BjiBij。1.2 证明：若/=Ciji,则eijkdjk=O0证：1ijkdjk=efkCi)kCikjdkj=CijkCijk-CijkCikf=e泳由一e泳4吊二O。1.3 设。、b和C是三个矢量，试证明：aaabacbabbbe=a,b,cfcacbccaaabacIaMa
2、ib,aic,aia2eHal仇Cl证：babbZc=bl1hihihic,=Z?ih2b3a2h2c2=,cocacbCCciaicibicicicic2e363bye31.4 设。、b、C和d是四个矢量，证明：(b)(cd)=(c)(bd)-(d)Sc)证：(08)(cd)=%e*ejtcdnemne,l=aihjcldneijkenik=aibjctdm(ujm-imji)=(alc)(tjdi)-(ald)(bici)=(c)Sd)(d)Sc)。77-1.5 设有矢量=%e,。原坐标系绕Z轴转动6角度，得到新坐标系，如图2.4所示。试求矢量在新坐标系中的分量。解：=cos,Qrz=Si
3、nG,为3二0，=-sin,2=COSe,侬=0,y=0，c=0，侬=1。图2.4U=iUi=uCoSe+“2sin。，u2,=2iUi=-iSine+如CoSe,uy=iiUl=u31.6 设有二阶张量T=EeEe八当作和上题相同的坐标变换时，试求张量T在新坐标系中的分量分r、Ti2、7和冕与。解：变换系数同上题。TN=GjK=ZL+Zicos2Msin26,2. .2.=Zkz+l2cos2+ZaiHsin2,2227=KacosO+Tsin6，看=。3. 7设有3个数,对任意机阶张量用“逅源，定义Cli1-i.jlj2-jn=A让BhhTlU若C如MKjIa为+机阶张量，试证明Az是阶张
4、量。证：为书写简单起见，取=2,m=2,则CijH=AijBki(a)在新坐标系中，有CkT=AikT因为C和/是张量，所以有Cfik=,ijjtkCum=iijAijkkrBk=ii,jBkr比较上式和式(a),得(AiL阳jj%)BkT=O由于5是任意张量，故上式成立的充要条件是AifiriAii即4是张量。2.8 设4为二阶张量，试证明:A=trA。证：.A=eie,：AAe；e=Ajk(e,e,)(e,ex.)=Ajkijik=Aii=trA。2.9 设。为矢量，A为二阶张量，试证明：(1) aA=-(Aa),(2)Aa=-(aA)证：-(Ara)r=-(Ajieie；akek)r=-
5、(Ajiel0aiejblen)r=-(Ajiakejh,eieJr=-Ajnakejkitie=aAj,ejert=aAo(2) -(aAy=-(aleiAi-,ej0e)r=-(Aaielj,le,l0et)r=一(Ayae泳e“ex)=A,ye,aiejikek=Ai,ee7aiei=Aa2.10 已知张量T具有矩阵123-T=456_789求T的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量。解：T的对称部分具有矩阵135-(Tr)=357,|_579_T的反对称部分具有矩阵-1-2-TF)=IO-Ic|_20_和反对称部分对应的轴向矢量为co=e-2e2+e302.11 已知二阶张量T的矩阵
6、为-3-1O-T=-130001求丁的特征值和特征矢量。3-10解：-13-0=(l-)(3-)2-l=0001-由上式解得三个特征值为4=4,=2,=l.将求出的特征值代入书中的式(2.44),并利用式(2.45),可以求出三个特征矢量为0=%(e-e2)，=-y=(e1+e2),ay=e302 .12求下列两个二阶张量的特征值和特征矢量：A=al+fimm,B=m0n+n0rn其中，。和夕是实数，血和是两个相互垂直的单位矢量。解：因为A-m=(al+mm)m=(a+)m,所以6是A的特征矢量，a+是和其对应的特征值。设。是和次垂直的任意单位矢量，则有Aa=(al+3m0m)a=aa所以和小
7、垂直的任意单位矢量都是A的特征矢量，相应的特征值为,显然。是特征方程的重根。令e2=-j=(m-n),.=Q+)，e=e2e322则有m=2y-(e2+e3)=-(-e2+e3)上面定义的匕是相互垂直的单位矢量。张量“可以表示成3=0eej-e2e2+e3e3所以，三个特征值是1、0和-1,对应的特征矢量是e.、eie202.13设。和。是矢量，证明：(1) V(V)=V(Va)-V2(2) V()=(V)-(VZ)+(V7)-Z(Va)证：(1)这一等式的证明过程和书中证明式(2.M)的过程相同，在此略。3 a(2) Vx(axZ)=e,-x(fl/e；xbAeA)=e,-x(6fAAweO
8、T)xiOXi=Sjjbk+ajbj)ejbneimM=(ajjbii+ajbk,t)3jnbki-心aJe”=a)ibej+ajbi,ij。川灰心一也.心=bVa)-a(yb)+a(yb)-b(7a)2.14 设=2yze-2xz3e2+xz2e3,求W=Sa及其轴向矢量。解：w=(V-Va)=(x2z+2z3)e0e2+(x2y-z2)ee3-(2z3+x2z)e2e-6x2e2e3+(z2-x2y)e3e+6xz2e30e2由上式很容易得到轴向矢量，也可以按下面的方法计算轴向矢量=yVa=-6xz2e1+(x2y-z2)e2-(2z3+x2z)e302.15 设S是一闭曲面，r是从原点O
9、到任意一点的矢径，试证明：(D若原点。在S的外面，积分HmS=。；S(2)若原点。在S的内部，积分J乎5=4%。S证：(1)当厂WO时，有因为原点在S的外面，上式在S所围的区域V中处处成立，所以由高斯公式得S=J()小=0。SV(2)因为原点在S的内部，所以必定存在一个以原点为球心、半径为的球面S完全在S的内部。用V表示由S和S所围的区域，在V中式(b)成立，所以詈S=詈dS+管dS=JV(f)dV=0S+SSs,V即-dS-dSJ尸J尸SS在5上，r=a,n=ia,于是dS=-!LLdS=dS=dS=0Jr3I尸Jrt2aJSSSs,2.16 设f=i+(x-2xz)e2,试计算积分(Vfy
10、)ndS式中S是球面2+y2+z2=q2在冲平面的上面部分解：用C表示圆2+y2=2,即球面X2+y2+z2=a2和冲平面的交线。由StokeS公式得(V)W6Z5=fr=ydx+xdy=O。第三章3.1设/是矢径、是位移，r=r+u0求，,并证明：当Ml时，是一个可逆的二阶张量。*=f=三t=-，=1+的行列式就是书中的式(3.2),当WJ用的点。所以变形前的直线变形后仍然是直线。(2)因为1,所以1+A可逆。记5=(+A),则r=(I+A)ir=Br(3)变形前任意一个平面的方程可以表示成ar=c(4)其中公是和平面垂直的一个常矢量，C是常数。将式(3)代入式(4),得(aBr=c(5)上
11、式表示的是和矢量b垂直的平面。所以变形前的平面在变形后仍然是平面。(3)变形前两个平行的平面可以表示成r=c.Qr=C2变形后变成(B)r=C,(a-B)-r=c2仍是两个平行的平面。1.1 4在某点附近，若能确定任意微线段的长度变化，试问是否能确定任意两条微线段之间夹角的变化：反之，若能确定某点附近任意两条微线段之间的夹角变化，试问能否确定任意微线段的长度变化。答案：能；能。3.5 设位移场为U=Ar,其中A是二阶常张量，和加是两个单位矢量，它们之间的夹角为9。求变形后。的减小量。解：和加方向的正应变分别为“二，m=m-m用”和&H代替式(3.11)中的&和2,经整理，得。的减小量。为2=-
12、nm-ctQ,0(nn+mn)sn又=(4+AT)/2,所以=-n(A+A)m-ctg(nA-n+mAm)03.6 设和m是两个单位矢量，dr=ndr和r=mr是两个微小的矢量，变形前它们所张的平行四边形面积为A=drr,试用应变张量把变形时它的面积变化率AA表示出来，其中AA是面积变形前后的改变量。解：变形后，力和力变成df=dr+dr+dr，f=r+r-r对上面两式进行叉积，并略去高阶小量，得drr=drr+drr-drr对上式两边进行自身点积，略去高阶小量，得drr)drr)=drr)drr)2dr-ry(clrr)+2(dr-ryclrr)(a)注意到(Jrr)(irr)=(A+)2A2+2(A)A(dr
