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1、因式分解法解题方法及提分突破训练题型特点由于进行因式分解时要灵活综合运用学过的有关数学根底知识，并且因式分解的途径多，技巧性强，逆向思维对中学生来讲具有一定的深广度，所以固式分解又是开展学生智能、培养能力、深化学生逆向思维的良好载体.正因为因式分解具有良好的培养能力和思维的功能，所以因式分解又是中学代数教材的一个难点.解题总方略因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的彩式。因式分解是恒等变形的根底.它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法公式法分组分解法十字相乘法还有较复杂的几种方法:拆项添项求根
2、分解换元待定系数一公式法必记提分公式：(1)(a+b)(a-b)=a2-b2a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)(ab)2=a2土2ab+b2a2土2ab+ba=(ab)2；(3)(a+b)(a2-ab+b2)=aa+bsa3+ba=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3as-bs=(a-b)(a2+ab+b2).(5)aa+ba+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)*；(6)a3+b3+cs-3abc=(a+b+c)(a2+b2+ca-ab-bc-ca)；典型考题l.,b,C是AABC的三边，2+b+c2=ab+bc+ca,那么AABC的
3、形状是（）A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形2.分解因式:3（x+y）2-27二分组分解法（一）分组后能交接提公因式1、分解因式：2czx-1Oay+5州-公解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式=(2OX-Ioi7y)+(5by-%x)原式=(2OXfct)+(-10y+5by)=2(x-5y)b(x-5y)=x(2a)5y(2)=(x5y)(2毋=(2tz-)(x-5y)(二)分组后能直接运用公式2、分解因式：xi-y+ax+ay分析:假设将第一、二项分为一组，第二，四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能继
4、续分解，所以只能另外分组。解：原式=CX2-V2)+(&r+y)=(x+y)(x-y)+x+y)=(x+y)(x-y+a)3、分解因式：a-lab+b2-C2三十字相乘法一)二次/系数为1的二次三项式直接利用公式Y+(p+q)x+Pg=(X+p)(x+g)进行分解。特点：L)二次项系数是1：2常数项是两个数的乘积；3)一次项系数是常数项的两因数的和。十字相乘的根本规律：但凡能十字相乘的二次三项式a*z+bx+c,都要求=b2-4ac0而且是一个完全平方数。1.分解因式：jc2+5x+6分析:将6分成两个数相乘,且这两个数的和要等于5。由于E=2X3=f-2(-3)=l6=(-l)(-6),4中
5、可以发现只有2X3的分解适合,朗2+3=5。I2解：:2+5+6Jc2+(2+3)x+2x313=(X+2(X十3)IX2+1X3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。2、分解因式；-7+6解：原式=Y+(1)+(6)+(1)(6)1-1=(xl)(x-6)1=6(-1)+(-6)=-7二)二次项系数不为1二次三项式0?+bx+c条件：(1)=勺勺&iCl(2)C=ClCz2q(3)=a1c2+2clb=lc2+2c1分解结果tax1+%+c=(lx+clX2x+c2)3、分解因式：3x2-11+10分析：1-23-5(-6+(-S=1
6、1解；3x2-11+10=(x-2)(3x-5)三)二次项亲敷为1的二次多项式4分解因式：a-Sab-l2Hh2分析:将匕看成常数，把原多项式看成关于的一次三项式，利用十字相乘法进行分解。18b1-16b8b+(-16b)-8b解：M-8ab-12Sba2+8+(-16b)+85x(166)=(a+b)(a-l6b)四二次项系数不为1的二次多项式例9、Ix1-7xy+6y2例10、jc2y2-3jcy+21-2y把Xy看作一个整体1-12Tv1-2(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3解：原式=(X-2y)(2x-3y)解：原式=(Xy-D(Jy-2)四换元法1,分解因式1)2
7、(X)52-(2(X)52-1)JC-2(X)5(2)U+1)(+2)(_r+3)(_r+6)+_r2解；U)设2QQ5=,那么原式=?-(M-l)-=(x+I)(Xa)=(2005.r+l)-2005)(2)型如0次力+e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分蛆相乘.原式=(A:?+7x+6)(/+5x+6)+%2设x*+5jc+6=A,那么/+7+6=A+2X二原式=(A+2x)A+?=A?+2A+=(A+x)2=(X2+6x+6)*2、分解因式(U2-6.v2-+2观察：此多项式的特点是关于X的降器排列，每一项的次数依次少L并且系数成“轴对称.这种多项式属于等距离多项式.方法：提中间项
8、的字母和它的次数，保存系数，: #： =(2 -x-6- + =2( +设 x + = f,那么 X2+3 = F-/原式=尤*2(尸2) E 6二工*(2 厂f - =X2 -5r + 2)= x2x + -5 =x(2x + - 5 nx + L + 2)=(2 = (x + l)2(2x-D(x-2)(2) jc4 -4x3 + x2 + 4 +1解:原式=储(储4x+l + & + ) =%(*2 设x- = y,那么 1+1 = /+2XX*.原式=F (/-4y + 3) = x2(y-l)(-3)= x2(x-1)(x-3) = (x2 -x-2 XX能后再用换元法.1)-(JC
9、 + ) - 62-10)F+r2不2 - 5/ + 2l2 十 2% +1)+HT+3x -1)五添项、拆项、配方法1分解因式1)-3+4解法1拆项。解法2一一添原式=3+13x+3原式=_?3犬4+4*+4=(%+1)(X2-X+1)-3(%+1)(J-1)=x(34)十(4x+4)=(x+l)(2x+l-3x+3)=(+l)(x-4)+4(x+1)=(X+l)(x-4x+4)=(x+1)(/-4+4)=(x+l)(x-2)2=(x+1)(%-2)2(2)X9+xfi+x5-3解：原式=C-l)+(f-l)+(3-l)=(x3-1)(x6+l)+(-1X+l)+(-1)=(x3-1Xx6+
10、1+7+1+1)=(x-l)(x2+t+1)(x6+2+3)六待定系数法Ix分解因式?+jy-6J+x+13y6分析:原式的前3#x2xy-6y2%z(4+3y)(x-2y),那么原多项式必定可分为(X+3,+m)(x-2y+门)解：设，+xy-6y2+x+13y-6=(X+3了+/)(X-2y+门)*.(x+3y+m)(x-2y+门)=x*+xy-6y+(m+)+(3-2m)y-mtx2+xy6y2+x+3y-6-x2+xy-6y2+(w+w)x(3n-2)ywzw+n=1m=2比照左右两边相同项的系数可得43日-2m=13,解得1打=3z=-6；原式二(工+3y-2)-2y+3)2、(1)
11、当用为何值时，多项式/-V+m+5y-6能分解因式，并分解此多项式。如果是二次二项式，应考虑用提公因式法，完全平方公式，十字相乘法.2)如果/+6i+x+8有两个因式为*+1和*+2,求a+人的值。如果是四项式或者大于四项式，应考虑提公因式法，分组分解法.fl分析:前两项可以分解为(K+y)(x-y),故此多项式分解的，后式必为三.因式分解要注意的几个问题:+y+)(x-y+A)解：设，一/+mr+5y-6=(+y+a)(x-y+b)那么大2-y1+mx+5y-6=2一y2+(白+万)大+(方一)y+以方ab-m0=2&=2比拟f应的系数可得:h-a=5,解得；=21每个因式分解到不能再分为止
12、相同因式写成乘方的形式.因式分解的结果不要中括号.如果多项式的第一项系数是负数，一般要提出一号，使括号内的第一项系数为正数.因式分解的结果，如果是单项式乘以多项式，把单项式写在多项式的前面.稳固测试题1.因式分解1(Xn6Xil+i2)3(-y)y(y-x)4(ab)38a(b-a)25(b-a)32.因式分解25a2-16b2-16x4y4+l经验之谈：一.因式分解的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式:(3)J2+xy+gy2(49a23a(5a-3b)(5a-3b)24.因式分解如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组分解法
13、或其他方法分解.二.从多项式的项数来考虑用什么方法分解因式.如果是两项，应考虑用提公因式法，平方差公式，立方和或立方差公式(1)x2+5x+6;(2)x?5x+6;(3)x2+6x-16；(4)X25-6。来分解因式.5)2x2+x-3(6)4x3-20x2+24x一主里)+其中/-4X-2x-225.因式分解C1Jz+3y+2y2+4+5y+3*-4+g=0,计算寻的值(2)3x2-5y+2yz+10-7y+310.求证：四个i1续整数的积加上1的和，一定是整数的6.因式分解平方.(1(xz3-2)(x2+3x4)-162(a+b)2+2(a+b)(a-b)-15(a-b)2(x+l)(x+2)(x+3)(x+4)-487.恒等变形(1)求证：不管X和y为何值，代数式X2y2-4x+5总为正值。(2)x2+y2+6-4y+13=0,求x、y。假设2-5xy+6y2=(x+my)(x+ny),求m、n,&化简求值S三r2其
