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1、3.4根本不等式【学习目标】：(1)学会推导并掌握根本不等式依4等.(2)会用根本不等式解决实际问题和求最值问题.r学习重难点】*1 .重点：根本不等式而的推导和应用.22 .难点：根本不等式而空C的应用.一、学案(阅读教材，完成知识体系)问题探究一探究图形中的不等关系.如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民的热情好客.你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？将图中的“风车抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的工角三角形设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为.这样，4个直角三
2、角形的面积的和是,正方形的面积为油于4个直角三角形的面积正方形的面积，我们就得到了一个不等式：a2+b22ab.当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有结论：一般的，如果,beR,我们有Y+从22当且仅当a=/，时等号成立.二、探究案(知识迁移，深度理解)1.如果0力0,用石,代替4/，上式可变为根本不等式：一般地，对于实数a,b,我们有当且仅当时等号成立.2 .对根本不等式的进一步理解：我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数a,/?的几何平均数.所以根本不等式又可以用语言表达为：两个正数的不小于它们的.3 .根本不等式的变形式小试身手1、不等式+l2机中
3、等号成立的条件是()A.7=1B.i=lC.？=1D.7=02、a,bGR,且a+h=2,那么()A.ab4B.abN4C.ab1D.ab1三:典型例题一(知识运用】深度理解【题型一：根本不等式在实际问题中的应用例1、(1)用篱笆Bl-个面积为100zn2的矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少所用篱笆最短?设菜园的长为,宽为y,那么D=,篱笆的总长度表示为，由学N疝可得x+yN,当等每成立时，所用筒笆最短，此时x=_,y=_(2)-段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长和宽各是多少面积最大？设菜园的长为,宽为y,那么x+y=,篱笆的面积表示为，由史22痴可得q4，当等号成立时，面积
4、最大，此时K=Sy=.小结：两个实数O,bO,假设它们的积为定值P,那么它们的和有最小值，当且仅当a=力等号成立.假设它们的和为定值S,那么它们的积有最大值，当且仅当=/)等号成立.筒记为:积定和最大，和定积最小.利用根本不等式求最值，需要满足的条件是：一正、二定、三相等.题型二：根本不等式在求最值中的应用4例2、x0,那么函数y=x+-的最小值为4变式hx3,求函数y=x+的最小值.X 34.变式3： xN3,求函数V = X+ -的最小值.例3、假设Oxl,求函数y=x(l-x)的最大值.课堂小结1、熟记两个不等式2、利用根本不等式求最值时，须满足：一正、二定、三相等.课后思考题：证明以下
5、不等式链课后反思：稳固练习1、设x,y满足x+4y=40,且x,y都是正数，那么Igx+Igy的最大值是()A.40B.10C.4D.22、在以下函数中，最小值为2的是()A.y=x+-B.y=3t+3tC.y=lgx+-(lx10)D.y=sinx+-(0x4,那么函数V=X+_()A.有最大值-6.B.有最小值6C有最大值-2D.有最小值24、IgX+Igy=1,那么一+-的最小值为5、x-,求函数y=4x-2+!-的最大值.44x-56、整数x,y满足+L=1,求x+2y的最小值.7、某老师花10万元购置了一辆家用汽车,如果每年使用的保险费,养路费,汽油费约为0.9万元,年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万.那么这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少？趣味阅读：定理 爽创 证明.中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且尝试对勾股加以证明最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽赵制了一幅勾股圆方图.,用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细在这幅“勾股圆方图中，以弦为边长得到正方形ABCD是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的.每个直角三角形的面积为或；中间的小正方形边长为b-a,那么面积为出-a)2.于是便可得如下的式子：4-+(-)2=C?化简后便可得：/+/=c22
