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1、概率论与数理统计复习提要第一章随机事件与概率1 .事件的关系AUBAuBABA-BAAB=2 .运算规那么(1)AjB=BO,那么P(AlB)P(B)(2) 乘法公式：P(AB)=P(B)P(AIB)假设四,当,5为完备事件组，P(Bj)0,那么有(3) 全概率公式：P（八）=WP(Bj)P(AlBjZ=I(4) Bayes公式：P(BkA)=，=与)汽P(BM(Al坊)=17 .事件的独立性：A,8独立OP(Aa=P（八）P(3)(注意独立性的应用)第二章随机变量与概率分布1 .离散随机变量：取有限或可列个值，P(X=Xj)=P,满足(1)PjO,(2)EPi=I9对任意。uH,P(XQ)=
2、EPi匕XiGD2 .连续随机变量：具有概率密度函数/(R),满足(1)/U)(),f(x)dx=iJ-QO(2) P(aXb)=jf(x)dx;(3)对任意R,P(X=a)=O3.几个常用随机变量名称与记号分布列或密度数学期望方差两点分布8(1,P)P(X=l)=p,P(X=O)=夕=I-PPPq二项式分布BgP)P(X=Q=C：pkqn-k,k=0,1,2,明npnpqPoisson分布P()无p(X=&)=e4/=0,l,2一,k几何分布G(P)P(X=k)=qZp,k=2,Pq7均匀分布U(,8)f(X)=-,axb,b-aa+b2S-a)?12指数分布E（八）f(x)=x,x()j_
3、I1不正态分布NT，/)1/(X)=-J=e2y224 .分布函数F(x)=P(Xx)9具有以下性质(UFs)=O,F(+)=l;(2)单调非降；(3)右连续；(4) P(a4)=l-/；(5)对离散随机变量，F(X)=Xpi.;izxix(6)对连续随机变量，F(X)=力为连续函数，且在F(X)连续点上，F(x)=(x)J-Oo5 .正态分布的概率计算以()记标准正态分布N(0,l)的分布函数，那么有(1) (0)=0.5t(2)(-x)=l-(x)j假设XN3),那么F(X)=(二上)：(4)以Q记标准正态分布N(OJ)的上侧分位数，那么P(X)=l-(%)6 .随机变量的函数y=g(x)
4、()离散时，求y的值，将相同的概率相加;(2)X连续，g(x)在X的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，那么(y)=U-,W)U-1)b假设不单调，先求分布函数，再求导。第三章随机向量1 .二维离散随机向量，联合分布列P(X=Xj,y=)=%,边缘分布列P(X=Xj)=p,P(Y=X)=P.,有Pij0;(2)ZPLhPj=ZP炉Pj=Ypijyi2 .二维连续随机向量，联合密度/(x,y),边缘密度f(x),y(y),有f(xfy)Oi(2)r(%y)=h(X,Y)eG)=fff(xty)dxdy；()=J：/(x,y)dy,f(y)=f(,y)dx3 .二维均匀分布“乂月蔡而。)6。，其
5、中加(G)为G的面积0,其它4 .二维正态分布(x,y)N(M，2，b；，6，p)，其密度函数(牢记五个参数的含义)/U) =1E-1U-Ai)2o(x-i)(y-,)(y-S1e*-2P1z2l2l-p22(1-P)_1122X-/V(1,12),/(4届)；5 .二维随机向量的分布函数F(X,y)=P(Xx,y)，)有(1)关于x,y单调非降；(2)关于x,y右连续；(3) F(x-)=尸(一8,y)=F(-)=O；(4) F(+,+)=1，F(x,+)=Fx(x),F(+,y)=F(y)；(5) P(x1Xx2,yi有RXy区LIpXyl=I=三。/，P(Y=X+力=1Cr(X)Cr(Y
6、)5 .k阶原点矩乙二E(XA),k阶中心矩=或X-E(X)A第五章大数定律与中心极限定理1 .ChebySheV不等式PX-E(X)或PX-E(X)|2 .大数定律3 .中心极限定理(1)设随机变量x,x2,，X独立同分布E(Xi)=，D(Xi)=29那么x,j.N(,b2),i=lfi2sXjT或X，)或2IN(0,1),2近似n4n近似(2)设，是次独立重复试验中4发生的次数，P（八）=p,那么对任意X,有IimP乌二竺x=(X)或理解为假设XBgp),那么X.N(np,npqfynpq近似第六章样本及抽样分布1.总体、样本(1)简单随机样本：即独立同分布于总体的分布(注意样本分布的求法
7、),(2)样本数字特征：1n_2样本均值X=-Yx,.E(X)=tD(X)=一)；/=11n_1H_样本方差52=后g(X,-X)2(E(S2)=2)样本标准差S=J自(Xj-X)2样本攵阶原点矩乙,样本攵阶中心矩4=f(X,-5)”n,=in1=|2 .统计量：样本的函数且不包含任何未知数3 .三个常用分布(注意它们的密度函数形状及分位点定义)(1) %:分布力2=*：+*；+*；力2()，其中*2产.,*独立同分布于标准正态分布N(OJ),假设X/2()y72(%)且独立，那么+y2(%+%);V(2) /分布t=-t(n)9其中XN(0,l),丫力2()且独立；F7nVln(3) F分布
8、F=-F(nl,n2),其中X/(%),y/(%)且独立，有下面的性质YZn24 .正态总体的抽样分布(1) X-N(,2n)l(2)区一)2/(明oi)=2,那么几=Pmin(X,Y)=.5 .设总体X的概率密度为/U) =(6 + 1)/,0,0x-.x, X2，X是来自X的样本，那么未知参数的极大似然估计量为.解：I. P(ABAB) = 0.3即 0.3 = P(AB) + P(AB) = P(A)- P(AB) + P(B) - P(AB) = 0.5 - 2P(AB)所以尸(AB) = O.1P(A UB) = P(AB) = I-P(AB) = 0.9.222 P(X(X=。) +
