学而思全等三角形培优.docx

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1、第一讲全等三角形的性质及判定【例1】如图,AC/DE9BC/EF9AC=DE.求证:AF=BD.【补充】如下图:ABCD,AB=CD.求证:AD/BC.【例2】:如图,B、E、八。四点在同一条直线上,AB=DC,BE=CF,/B=NC.求证:OA=OD.【补充】:如图,AD=BC,AC=BD9求证:ZC=ZD.【补充】如图,在梯形ABa)中,AD/BC,E为CD中点,连结AE并延长AE交Be的延长线于点尸.求证:FC=AD.【例3】如图,AB,8相交于点O,OA=OB9E、F为CD上两点,AE/BF9CE=DF.求证:AC/BD.【补充】,如图,AB=AC9CEA.AB9BFA.AC,求证:B

2、F=CE.【例4】如图,ZZ)CE=90o,CD=CEtADlACtBELAC9垂足分别为八,4,试说明AZHAB=应:【例10】如下图,AB=DC9AE=DF,CE=BF9证明:AF=DE.【例11】E、/分别是正方形ABeZ)的8C、8边上的点,且比:=CF.求证:AEYBF.t补充】E、尸、G分别是正方形ABCr)的BC、CD、AB边上的点,GELEF,GE=EF求证:BG+CF=BC【例12在凸五边形中,ZB=ZE,NC=ZD,BC=DE,M为CD中氤.求证:AMA.CD.【补充】如下图:AF=CDtBC=EF,AB=DE,ZA=ZD.求证:BC/EF.【例13(1)如图,ZA8C的边

3、48、AC为边分别向外作正方形A8DE和正方形ACFG,连结EG,试判断AABC与AAEG面积之间的关系,并说明理由.(2)园林小路,曲径通幽,如下图,小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成.中间的所有正方形的面积之和是。平方米,内圈的所有三角形的面积之和是b平方米,这条小路一共占地多少平方米?IJLAC 交N = BM ,的大小.= AB,求【例14如图,ABC中,AB=BC,NAeC=90。,。是AC上一人AB于E点.求证:AD=DE=EB.【例15ABC中,Z=90o,M为AB上一点,使得AM=BC,连/W、CM交于P点.试求ZAPM的度数,并写出你的【例16如图,/是ZkABC的

4、内心,KCA+AJ=BC.假设NBAc【例17:80、CE是ABC的高,点尸在8。的延长线上,BP=A一证:(1)AP=Q;(2)APLAQ.【例18如左以下图,在矩形ABCD中,E为C8延长线上一点且AC=C石,尸为AE的中点.求证:BFLFD.如右以下图,在A3C中,BE、C分别为边AC、B的高,。为BC的中点,DMLEF于求证:FM=EM.18.补充:如图,NABD=NAa)=60。,且NAOB=90。一gNBDC.求证:ABC是等A腰三角形./【例19如图,ABC为边长是1的等边三角形,ABDC为顶角(N3DC)是120。的等腰/三角形,以。为顶点作一个60。角,角的两边分别交AB于M

5、,AC于N,连/接MN,形成一个AMV.求AWTV的周长./,家庭作至一;C【习题1】:如图,AB/DE9AC/DF,BE=CF.求证:AB=DE.【习题2】:ADEF注AMNP,且EF=NP,NF=NP,ND=48,ZE=52o,MN=I2cm,求:NP的度数及DE的长.【习题3】如图,矩形ABC。中,石是AD上一点,CE工EF交AB于F点,假设。E=2,矩形周长为16,ACE=EF,求AE的长.【习题4】在四边形中,AD/BC,ZA的平分线AE交/X;于E.求证:当BE是NB的角平分线时,AD+BC=AB.3月测备选)【备选1】如下图:AB=AC,AD=AE9CD、BE相交于点O.求证:【

6、备选2】如下图,在ZXABC中,AD_LBe于点。,ZB=2ZC.求证:【备选3】如图,44BC中,。是BC的中点,过D点的直线GF交AC于F9交AC的平行线8G于G点,DELDF9交AB于点E,连结EG、EF.(1)求证:BG=CF.(2)请你判断8E+CF与EF的大小关系,并说明理由.第二讲全等三角形与中点问题版块一倍长中线【例1】在AABC中,AB=5,AC=9t那么BC边上的中线AO的04平分Zn4E.AB + BD = CD.长的取值范围是什么?【补充】:A8C中,4)是中线.求证:AD-(AB+AC).2【例2】:如图,梯形ABa)中,AD/BCt点石是8的中点,跖的延长线与4)的

7、延长线相交于点尸.求证:BCEFDE.【例3】【例4】【例5】如图,在ABC中,。是Bc边的中点,F9证:ABDEmACDF.如图,AH中,ABEF.【例9】【例10】E分别是AC)及其延长线上的点,CF/BE.求AD=Aiy求证I)求证DACZDAB.E是AD上一点,E在RlAC中,ZA=90o,点。为BC的中点,点、厂分别为AB、AC上的点,且EDA.FD,以线段跖、EF、尸C为边能否构成一个三角形?假设能,该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形?AB3Z=ZC,D9E分别是28及4:延长线上的一点,且BD=CE,连接DE交底8C于G,求证GD=GE.【例11如下图,在ABC中,。是

8、8C的中点,Z)M垂直于ON,如果BM2+CN2=DM2+DN2,AD2=(AB2+AC2).(勾股定理的内容,选做)【例10在RtABC中,尸是斜边4?的中点,D、分别在边C4、CB上,满足ZD庄=90。.假设AD=3,BE=4,那么线段DE的长度为.家庭作业)【习题1】如图,在等腰ABC中,AB=AC9。是8C的中点,过A作AAF工DF,且AE=AF.求证:EDB=FDC.【习题2】如图,在ABC中,4)是AC边上的中线,是)上一点,且4E=AC,延长的交AC于F9AF与EF相等吗?为什么?【习题3】如右以下图,在ABC中,假设Zfi=2NC,ADLBC9石为BC边的中点.求证:AB=ID

9、E.【备选1】如图,AB=DC9AD=BCt。是8。中点,过。点的直线分别交。4、8C的延长线于&F.求证:NE=NF【备选2】如图,ABC中,AB=AC,NBAC=90。,。是BC中点,ED1FD,ED与AB交于E,田与AC交于F.求证:BE=AF9AE=CF.第三讲全等三角形与角平分线问题【例1】在ABC中,。为8C边上的点,ZBAD=ZCAd,BD=CD,求证:/义AB=AC.5C石分别平分N84C、NBC4,且AD与CE的交点为尸.求证:FE=FD.【例4】如图,ABC的周长是21,OB,OC分别平分ZABC和ZAC8,8_L6C于。,且OD=3,求ABC的面积.【补充】如下图:AB=

10、AC,AD=AE9CD、8石相交于点O求证:OA平8-NC分NZME.【例5】ABC中,ZA=60,BD、C:分别平分ZABC和ZAC8,BD、CE交于点O,试判断的、CD、BC的数量关系,并加以证明.【例6】如图,Zr是AC上的一点,又N1=N2,3=Z4.求证:ED=EB.【例7】如下图,QP是NAOC和48的平分线,OA=OC,OB=OD.求证:AB=CD.【例8】如下图,ABC中,AD平分NBAC,E、产分别在比、AD上.DE=CD9EF=AC,求证:EF/AB【例10如图,在四边形/W8中,AC平分ZM,过C作CE并且AE=I(A8+A0,2那么ZABC+NADC等于多少?【补充】长

11、方形ABCo中,AB=4,BC=I9NBA。的角平分线交BC于点&EFlED交AB于F,那么EF=.【补充】在A8C中,ABAC,4)是NBAC的平分线.P是上任意一点,求证:AB-AOPB-PC.【例11如图,在ABC中,ZB=2ZC,NBAC的平分线AD交8C与。.求证:AB+BD=AC.【例12如图,ABC中,AB=AC9ZA=IO8。,8。平分ZABC交AC于。点.求证:BC=AC+CD.【稳固】等腰A3C,ZA=100o,NABC的平分线交4C于。,那么A。+AD=8C.【例13如下图,在ABC中,4)平分N84C,AD=AB,CM_LAD于求证AB+AC=2A【例14如图,ABC中

12、,AB=AC,BD、CE分别为两底角的外角平分线,ADtBD于D,AEA.CE于E.求证:AD=AE.【例15如图,ZA+ZD=180o,跖平分NABC,CE平分NBCD,点E在AP上.探讨线段AB、CD和BC之间的等量关系.探讨线段BE与CE之间的位置关系.家庭作业)【习题2如图,在ABC中,AB+BD=AC,NBAC的平分线AD交8C与O,求证:ZB=2ZC.【习题3】AD是ABC的角平分线,踮J_AD交AD的延长线于E,所AC交AB于尸.求证:AF=FB.【习题4】如下图,AD平行于8C,ZDA&NEAB,ZABE=ZEBC,AD=4,BC=21那么A8=.【习题5】ABC中,。为8。中

13、点,DE!_BC交/84C的平分线于点E,所_LAB于尸EG_LAC于G.求证:BF=CG.蚓月测备选)【备选1】在ABC中,4)平分NSAC,AB+BD=AC.求NB:NC的值.【备选2】如图,在A4C中,ZABC3ZCZI=N2,BEAE.求证:ACAB=IBE,【备选3】如下图,在四边形ABa中,AD/BC9NA的平分线AE交QC于E,求证:当BE是ZB的平分线时,有AP+BC=AB.第四讲全等三角形与旋转问题【例1】:如图,点C为线段AB上一点,ACMACBN是等边三角形.(1)求证:AN=BM.2求证:CD=CEN求证:CF平分NMCN/A(4)求证:DEABz/【例2】如图,四边形ABC。、。石厂G都是正方形,连接AE、CG.求证:/【例3】如图,等边三角形ABC与等边DEC共顶点于C点.求证:AWBAE=BD.【例4】如图,。是等边A3C内的一点,且加=AD,BP=AB,NDBP=NDBC,问NBPf)的度数是否一定,假设一定,求它的度数;假设不一定,说明理由.【例5】如图,等腰直角三角形ABC中,ZB=90o,AB=a,O为AC中点,EO_LOf.求证:BE+BF为定值.【补充】如图,正方形OGHK绕正方形ABCD中点O旋转,其交点为E、Ff求证:AE+CF=AB.【例6】(2004河北)如图,点石是正方形ABCr)的边CD上

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