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1、SFOl（数）Ch12数项级数计划课时：14时P1341552002.03.08.Ch12数项级数（14时）1级数的收敛性（3时）一.概念：1 .级数：级数，无穷级数；通项（一般项，第项）,前项部分和等概念（与中学的有关概念联系）.级数常简记为EU2 .级数的敛散性与和：介绍从有限和入手，引出无限和的极限思想.以在中学学过的无穷等比级数为蓝木，定义敛散性、级数的和、余和以及求和等概念.例1讨论几何级数的敛散性.Ji=On1_1解匕|l时,SN=,级数发散；时，S11=n+,(-co),级数发散；夕=一1时，S=（1+（-1）,（7）,级数发散.综上，几何级数tqn当且仅当旧|S”f2,(n8)
2、.因此，该级数收敛.82例4讨论级数*的敛散性.5-3解3_&=2,=S.小2_+8,(-8).级数发散.5一35553 .级数与数列的关系：Z%对应部分和数列(SJ,WX收敛o5收敛；对每个数列,对应级数阳+(“一七),对该级数，有Szf=j.于是,n2数列乙收敛O级数七+(X一XZlT)收敛.=2可见，级数与数列是同一问题的两种不同形式.4 .级数与无穷积分的关系：+JJf(X)公=J7=WX,其中“二j.无穷积分可化为级数；1M=InH=1n对每个级数，定义函数f(X)=U.,nxO,3N,N和VpN,=Iwnlun+2+,+Wm+pI0级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件）R1例
3、7（%0但级数发散的例）证明调和级数一发散.，曰证法一（用Cauchy准则的否定进行验证）（参阅Ch81E2,在教案P84）证法二（证明S“发散.利用Ch10习题课例2已证明的不等式ln（?+1）1-+-Za收敛且有ZZ%（收敛级数满足分配律）性质2Z“和Z匕1收敛，=Z（”匕）收敛，且有Zd%）=X%问题：“、z乙）三者之间敛散性的关系.性质3若级数W收敛，则任意加括号后所得级数也收敛，且和不变.（收敛数列满足结合律）例8考查级数f从开头每两项加括号后所得级数的敛散性.该W=I例的结果说明什么问题？Ex1P6-718（1）-（3）.4P6-721,22,23. 2 正项级数（3时）一.正项级
4、数判敛的一般原则：1 .正项级数：%0,Sft/;任意加括号不影响敛散性.2 .基本定理：Thl设0.则级数WX收敛=0（1）.且当WX发散时，有Sn+OO,（一8）.（证）正顶级数敛散性的记法.3 .正项级数判敛的比较原则：Th2设WX,和Z乙是两个正项级数，且N,N时有%L,则i v Wx=+ 0, = Z乙=+ 8 ( ii 是 i的逆否命题)例1考查级数之一一的敛散性.tn2-n + 解 有 /? +1 0, = -z -r,2n2 -77 + 1 n218设0 夕判断级数Xpsin万 “=1n+,-的敛散性.q（比较原则的极限形式）设Z和Z乙是两个正项级数且则=/,则n 匕1O /
5、= 0时， ZUZIV +00，n Zv + 8 ;iii / = +8时， Z匕? = + 8 , = Z=+00 .(证)系2 设Z和是两个正项级数， 若wn = 0（vj,特别地，若匕,（ 8）,则X V+8vzl=+00例3判断下列级数的敛散性:(1)81-l-tt2n-n2,-n001001ln(1+).正项级数判敛法:1.检比法：亦称为OZ/加加门判别法.用几何级数作为比较对象，有下列所谓检比法.Th3设Z”为正项级数，且mN。及g（0夕No时i若也LqYwzi若也1,=yw,=oo.证i不妨设l时就有4ql成立，有%-q,-q.,依次相乘，=qn,即%u2%unulq,l.由Ov
6、gl,得Z”可见%往后递增，=unO,n）.系（检比法的极限形式）设，为正项级数，且limX=q.则J28U11iqql或4=+8,=Z”=+00（证）倘用检比法判得Z%=+8,则有wm0,（00）.检比法适用于“”和”+1有相同因子的级数，特别是“中含有因子！者.例4判断级数2 25 258+ +1 15 15-9258(2+35-l)159(1+4(1)的敛散性.1, = Z。0）的敛散性.解“+1(nl)x /2 + 1xMX x, (n ).因此，当Ovxl时，Zl时，Z=+8；X=I时，级数成为Z，发散.7w+,tl例6判断级数2的敛散性.n,注意若仅有也0,当:N0时，i若/1,n
7、若收71,=Z=+8.（此时有令O,（wco）.）（证）系（检根法的极限形式）设为正项级数，且Iim向=/.则nI，V+8；/L=，=+8.（证）检根法适用于通项中含有与有关的指数者.检根法优于检比法.（参阅1P1516）例7研究级数Z*T的敛散性.Iimw700 Vlim=lf1221,R1,4且f(n)f(x)dxf(n-),拉=2,3,Jw-Ir,tl?-1nW1(n-D=(n),=2n2=1例9讨论-级数二的敛散性.”=inp解考虑函数/（X）=,0时/（x）在区间l,+oo）上非负递减.积分级数52当p 1时收敛，xpf(xdx当p1时收敛，Op1时发散.=O0,级数发散.np综上，
8、一级数名，当且仅当p1时收敛.”=1n例10讨论下列级数的敛散性:81(1)y；(2)yn(inn)p念(In)(InInEx1P19-201(8),2(3)(6),5,6,8(1)-(3),11；4P31134.习题课(2时)一.直接比较判敛：对正项级数，用直接比较法判敛时，常用下列不等式：(1)a,l0,40,=!.4+4勺对%,有sinqzJl,cosaft1,sinall0时，有l+,j(l+七)2.(5) ln(l+n)n.(6) an0,ZV+8,=充分大时，有j%.例1判断级数；一；的敛散性.tf11+sin2(325)解九3时,wn+sin2(3w2+5)(或0.仁优+/解0vl时，有7=Y1时，一-7-l,(w)=V=+8.a,+n2乙例3设数列4有界.证明ZdV”.f2证设InanM,n,=O,=an-=,yn例5%0.若Z%=+8,则W：=+8.证),=(+)=+；又Z-Vn2nnn=+8.例6设%.若级数w和Za收敛，则级数ZC收敛.例7设4O,勿().证明X+8,Za+8,n也+8；和Za之一或两者均发散时，Eah仍可能收敛；X+8,X+8,=Zla也v+证充分大时,()qA,q,(2)6Fzl-bn=-.nIa也定+).二.利用同阶或等价无
