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1、第七章等截面柱体的弹塑性扭转在船舶、航空、土建以及机械工程等的机械传动机构中，作为传递扭矩的柱体是个重要的部件。所谓柱体的扭转，是指圆柱体和棱柱体只在端部受到扭矩的作用，且扭矩矢量与柱体的轴线Z的方向相重合。扭转问题属于仅在端面上受力柱体的平衡问题，假设严格地满足其边界条件，按弹塑性力学求解是比较困难的。因此，利用圣维南原理，将边界条件放松，即认为柱体中间截面上的应力仅与端面上外力的合力及合力矩有关，这种放松了边界条件的问题称为圣维南问题。即使对于圣维南问题，仍需要求解一组偏微分方程，并使其满足一定的边界条件。但在实用上很少由直接积分其根本方程而得到解答，大局部工程问题用间接的或近似的方法得到
2、。在间接方法中，圣维南的半逆解法是很重要的。即先在应力或位移分量中假设一局部未知函数，然后将这局部函数代入根本方程，求得另外一局部的未知函数，并使全部未知函数满足所给定的边界条件，那么所假设的和求得的函数即为问题的解。由于用应力作为根本未知函数用半逆法求解时可以导致比较简单的边界条件，因此求解比较方便。7.1弹性柱体自由扭转的根本关系式与应力函数解在材料力学中曾经过讨论圆轴的扭转，其特点是扭转变形前后的截面都是圆形，而且每一个截而只作刚体转动，在小变形条件下，没有铀向位移，取坐标系为x,y,z,且柱体的轴线为Z方向，Z方向的位移为卬，即以x,y,z)=O0这样，变形后截面的半径及圆轴长度根本不
3、变。非圆形截面柱体的情况要复杂得多。由于截面的非对称性，在扭转过程中，截面不再保持为平面，而发生了垂直于截面的翘曲变形，即以x,y,z)()0函数Mx,y,z)称为翘曲函数。下面讨论任意截面形状的棱柱体扭转根本方程。设有任意截面形状的等截面棱柱体，柱体两端受纠扭矩MT作用，如下图。1 .边界条件对于扭转问题，柱体侧面为自由外表，因此柱体侧面的边界条件为xl+xytn=0xyl+ym=0-(7.1-1)r,J+r,vw=0式中/=cos(,x),m=cos(y,ri)。图7.1棱柱体的扭转在端部边界条件为(7. 1-2)JJjdA=O,JJrzvJA=OJJ(%工一1加4=/JJqdA=O,Jj
4、qXdA=OJzydA=02 .柱体扭转时的位移与应变对于柱体扭转问题，圣维南半逆解法假设：(1)认为截面的翘曲变形与Z轴无关，即各截面们翘曲程度相同。(2)柱体发生扭转变形时，截面仅仅产生绕Z轴的刚体转动，且间矩为单位长度的两截面的相对扭转角(扭率)6为常数。因此，由假设可知，翘曲函数卬仅为苍)，的函数；又由假设(2)可知，翘曲函数必与祟函数戏正比，即(7. 1-3)W=夕野(Ky)再由假设(2),如果令距坐标原点为Z处截面相对Z=O截面的扭转角为例，那么该截面上距扭转中心A为r的任一点扭转后移至P(Xi,y+v,z)(图7.2),由于Z=O处截I面没有转动，只有翘曲，因此尸点在x,y方向、
5、的PaJ,z)位移分量为jL，z)(7. 1-4)u-(r)sina=-yzzy7r式中。为AP与工轴之间的夹角。由于截面总扭转角图扭转变形的位移与该截面至坐标原点的距离成正比，故AP的转角为例。将式(7.1-3)和式(7.1-4)代入应变位移关系，可得一点的应变为(7.1-5)3 .广义虎克定律对于柱体的弹性扭转，根据(7.1-5)式可得应力与应变之间的关系化为.由式(7.1-5)和(7.1-6)可见，根据圣维南原理得到：截面上任诃一点都没有正应力，因此各纵向纤维之间和沿各纵向纤维方向均无压了应力；在各截面内(Wy平面)没有应变,即截面在My坐标面上的投影形状不变。此外，在截面每一点只有由1
6、和仁所确定的纯剪切。4 .平衡方程当不计体力时，平衡方程可由2-2)式化为z=O,(7.1-7)yz=O,v+=0x/J5 .应变协调方程将式(7.1-6)中的第二式对y微分，第三式对X微分，然后相减，可得用应力表示的两种不同形式的应变协调方程为=o办办(7.1-8)当旦二一2Geyx由上式可知，翘曲函数收是调和函数，通常称收为圣维南调和函数。于是，任意截面形状的柱体扭转时的应力，归结为根据边界条件求解(7.1-7),(7.1-8)两式。6 .柱体扭转的应力函数法由于从(7.1-8)式求解翘曲函数-通常比较困难，为此，借助应力函数法。当不计体力时，设应力函数与应力分量和%之间的关系为_ 不，
7、一菽(7. 1-9)称。为普朗特应力函数。将式(7.1-9)代入平衡方程式(7.1-7),显然满足。将它代入应变协调方程(7.1-8)第二式后，得与202VV=4=-2G6(7.1-10)x2y2由此可知，应力函数0应满足上述偏微分方程式(7.1-10)。这种类型的方程称为泊松方程。当柱体侧面无面力作用时，那么边界条件式(7.1T)简化为rzx.+r.vw=O(a)注意到在边界上，/=MS),y=Ms),由图可知，当S增加时，y增加，而工减少。因此，其方向余弦为(b)(c)I=CoS(,x)=dsm=cos(n,y)=-ds,将式(7.b9)和式(b)代入式(a)后，有yx0ysxss由式(C
8、)可知夕=常数上式说明，沿柱体任意截面的边界曲线，应力函数例x,y)为一任意常数。对于实心柱体，也即截面为单连通域，由式(7.1-9)知，因剪应力是应力函数的一阶偏导数，所以将常数取为零并不失一般性，即9(x,y)=0(沿柱体周边CO)(7.1-11)而截面上任一点的合剪应力的为T=d+=橙尸+(豹=srad噜(7.广式中为沿。等值线的法线方向，r的方向为沿0等值线的切线方向，因此称0等值线为剪应力线。由于边界上的剪应力方向必须与边界的切线一致，故周界线Co本身也是一条剪应力线。由以上可见，对于给定的。值，不难由方程(7.1-10)和(a)唯一地确定应力函数0(x,y),从而由式(7.1-9)
9、求出应力，由(7.1-5)求出应变，以及翘曲函数w。但我们注意到，由式(7.1-6)和(7.1-9)有u1v1八=1=，v=1=3ZaXGdyzyGx从上式可见，当通过积分求位移函数,和翘曲函数卬，那么在所得结果中包含有表示刚体位移的积分常数，因此位移函数和翘曲函数可准确到一个附加常数的范围内。根据上面所述方法求得的应力分布还应满足柱体端部条伴，即%=JLk一W2=dL啜斓Ua噜公力(Ci)其中积分限A为截面面积。对上式做第二个积分利用分部积分，可得iyddy=对:噜力=r喘-CMk注意到在边界侧面上的点M,y2等(x,)=0,因此上式的最终结果为(e)JL嗡公力=fdxC琮dy=-Mk=-J
10、力同理，第一个积分也可写为乩啜6tofyTi(f)将式(e)、(f)代入式(d),最后得M=2j(pdxdy(7.1-13)上式表示，如在截面上每一点有一个93,)，)值，那么扭矩MT为曲面下所包体积的二倍。由以上讨论得出，如能找到一个函数Oa,)，)，其在边界上的值为零，在截面内满足方程(7.那么截面的剪应力分布及扭矩就都可求得。7.2常见截面形状柱体的扭转本节采用应力函数法讨论椭圆形截面和矩形截面两种柱体的扭转。椭圆形截面柱体的扭转1.应力函数与应力分量截面形状如下图椭圆柱体，在两端受到扭矩M7，截面边界方程为选用应力函数为y图7.2椭圆截面柱体。=哈+旨1)(b)显然，它满足边界条件式(
11、7.1-2)和式(7.1-11)。式中C为常数。将(b)式代入(7.1-2)式得(c)a2b22面+b2)于是(d)a2b2Fzx2y21O=五E方+源T)为了确定常数尸，将式(d)代入式(7.得MT(e)由于x2dxdy - Iy -y2dxdy = Ix = dxdy = abTiba4abs所以，由式有Mt7ECb3F2(a2+b2)故可得(f)2Mgb)将式(f)代入式(d),应力函数为M7- X2 y2L 嬴 Hh)(7. 2-1)将式(7.2T)代入式(7.1-9),得剪应力分量_ _ 2MyTzx y Tiab3 _ 2Mxx 7iayb(7. 2-2)由(7.1T2)得合剪应力
12、为I22= b42% mb(7. 2-3)由式(7.2-2)和式(7.2-3)可知，剪应力分布有如下特点：(1)在每一点，应力比值j%=-(2,2)(y),即沿任意半径方向各点具有相同的比值。这意味着沿同一半径方向各点剪应力相互平行，如下图。(2)在边界上，两剪应力分量的上述比值正好等于椭圆切线的斜率，可见边界上的剪应力(合力)沿边界面切向，而法向剪应力为零。且在长半轴边缘(x=,y=O),2f2M2x=O,-=在短半轴边缘(X=O,y=b),那么工=O,zx=t=tab7tab2M7TlUb2(3)由式(7.2-2)知，剪应力分量均在边界上最大，且正比于X或y坐标。整个截面上的最大剪应力在(
13、x=0,y=4)处，即短半轴边缘，其值为(7.2-4)当=力时，由以上各式可得圆形截面的剪应力公式。扭率、扭转刚度和位移将式(7.2T)代入应变协调方程第二式，可得扭率。为(7. 2-5)a2+h2G加3K7=M7/。称为扭转刚度。扭转刚度是一个有用的概念，其单位与扭矩的单位相同。由于椭圆截面的面积A和形心极惯性矩Ip分别为A=ab,I=-(a2+Z?2)/4因此，由(7.2-5)式，并注意到上式，那么可将扭转刚度可写为a2 +b2 4储 IP-6)将式(7. 2-5)代入式(7. 1-4)可得位移分量力为=-既=-% 心Myz,v = zx = M-zxT Ga3b3r Gm射(7. 2-7
14、)为了求得位移w,由式(7.6)和式(7.1-9)可得x G yw 1 _ =UXy G x将式(7. 2T)代入上式，并积分后，得(g)Gm%，M(a2 -Z?2)Gna%孙+ E(y)y+f2()(h)由上式可知，1(y)=2()=%,它代表刚体位移，并不影响应力，故可略去，于是得翘曲位移为(7. 2-8)MAa1-b1)-yGw63J式(7.2-8)说明，截面翘曲后的形状为双曲抛物面，如下图。它的等高线在My平面上的投影为双曲线，其渐近线为椭圆长短轴，在长短轴上各点无翘曲。假设第一、第三象限向下翘，那么第二、第四象限向上翘。翘曲面与My平面间形成耐体积的代数和为零。即,严ZA=O图7.3椭圆截面柱体扭转翘曲形状(a)(b)(c)(7. 2-9)此式对任何受扭转柱体的翘曲截面都适用。矩形截面柱体的扭转由节讨论知，应力函数9(x,y)在图所示矩形截面区域ABCD
