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1、1.2空间向量基本定理盥课前预习1素养启迪手知识梳理,L空间向量基本定理(1)定理条件如果三个向量a,b,cxxx,那么对任意一个空间向量p结论存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc基底与基向量如果三个向量a,b,c不共面,那么所有空间向量组成的集合就是pIp=xayb+zc,x,y,zR,这个集合可看作由向量a,b,C生成的，我们把a,b,c叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量.问题U如果Eb,c是空间中的一个基底,则a,b,c会有零向量吗?答案:不会,如果a,b,c有零向量,则a,b,c一定共面,不会构成基底.问题2如果a,b,c是空间中的一个基底,X,y,zR
2、,xayb+zc=O,则X,y,z一定全为0吗？答案:X,y,z一定全为0.2.空间向量的正交分解(D单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都是L那么这个基底叫做单位正交基底,常用i,j,k表示.(2)正交分解把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.问题3空间中任意三个不共面的单位向量,都可以构成单位正交基底吗？答案:不是.三个基向量必须两两垂直,且长度都为1,这个基底才叫做单位正交基底.套预习自测,1 .设向量a,b,c不共面,则下列集合可作为空间的一个基底的是(C)A.a2b,3a-b,0B.a,b,abC.3a+b,a+b,cD.a+b+
3、c,ab,c)解析:A中，由于0与任意两个向量共面,不能作为基底;B中，a+b=a+b,故三向量共面,不能作为基底;D中，a+b+c=(a+b)+c,故三向量共面,不能作为基底.2.如图,在平行六面体ABCD-ABCD中,AB=afAD=biAA1=Cf则用基底a,b,c表示DlB为(C)ABy ACf 40与ZB, AC, 4E均不能构成空间的一个基底,则下列结论中 正确的有(ABC )A.a+b-cB.a+b+cC.a-b-cD.-a+b+c解析:D1B=AB-AD1=AB-(D+1)=a-(b+c)=a-b-c.3.(多选题)已知A,B,C,D,E是空间五点，且任何三点不共线.若TTTA
4、. ABfADy不能构成空间的一个基底B. ACiADi族不能构成空间的一个基底C. BCyCDi而不能构成空间的一个基底D. AB,CDy0能构成空间的一个基底解析:因为几,ACiG与,AC,晶均不能构成空间的一个基底,且A,B,C,D,E是空间五点,且任何三点不共线,所以空间五点A,B,C,D,E共面,所以这五点A,B,C,D,E中,任意两个点组成的三个向量都不可能构成空间的一个基底,所以A,B,C正确,D错误.4 .对于不共面的三个向量a,b,c,若a=xa+yb+(z-3)c,则X=,y=,Z二.X=1,解析：因为a=xa+yb+(z-3)c,所以对应系数相等可得y=0,解得z-3=0
5、,x=l,y=0,z=3.答案：1035 .在三棱锥D-ABC中，各个棱长都相等,M,N分别是BC,AD的中点,则异面直线AM与CN所成角的余弦值是.解析:不妨设三棱锥D-ABC的棱长为1,AB,ACiG两两之间的夹角为60,又京=G4+品),国三G-丘设心,扇的夹角为,则ABAC=AB1Ccos60同理ABD=j,AC40二点11AMCN=-(AB+AC)(-AD-AC)22=|(AD-ABACACAD-AC2)TlJTTNllTTTTl/oM=(AB+AC)=jyJAB2+AC2+2ABC=jl+1+l=y,ICW=JGG-晶)2=AD2+AC2-ADC=J+1-潜,1则COS。=人Y二-
6、史片4MCN43故异面直线AM与CN所成角的余弦值为|.答案：|殴课堂探究素养培育置探究点一J基底的判断例1设X=a+b,y=b+c,z=c+a,且a,b,c)是空间的一个基底,给出下列向量:a,b,x;b,c,z;(3)x,y,a+b+c).其中可以作为空间的基底的有()AI个B2个C.3个D.0个解析：因为x=a+b,所以a,b,X共面,错误;b,c,Z不共面,正确;X,y,a+b+c不共面,正确.故选B.8方法总结判断基底的基本思路及方法基本思路:判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基底；若不共面,则能构成基底.方法:如果向量中存在零向量,则不能作为基底;如果存在一个向量可以用另
7、外的向量线性表示,则不能构成基底.假设a=bc,运用空间向量基本定理,建立入，U的方程组,若有解,则共面,不能作为基底;若无解,则不共面,能作为基底.针对训练下列能使向量向,MB,靛成为空间的一个基底的关系式是()ITITIT.OM=iO+iOB+iOC333B. MA=MB+MCC. OM=OA+OB+OCD. MA=2MB-MC解析:对于选项A,由晶二xA+yd+z辰(x+yz=l)=M,A,B,C四点共面,得扇1,MB1前共面;对于选项B,D,可知后,MBy共面,故选C.置探究点二用基底表示向量例2在四面体OABC中,M是OA的中点,G是AABC的重心,试用基向量。力,OB,OC表示向量
8、MG.解:如图所示,连接AG并延长交BC于点D,则D为BC的中点,且前三G+品t).因为G为aABC的重心，T2TITT所以4G-a=i(4B+C).33又因为旗二法-6AC=OC-OAf所以品(+i4C)J(-2CM+OB+OC).33又因为M为OA的中点，所以八二TOk所以J-薪=i(-2tM+00C)+-(M32ITITIT=-iO+iOB+iOC.633g方法总结用基底表示向量的步骤定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底.找目标:用确定的基底（或已知基底）表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果.
9、下结论:利用空间向量的一个基底a,b,c可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量.针对训练在平行六面体ABCD-ABCD中，设AB=afAD=b,AA1=C1E,F分别是AD1,BD的中点.用向量a,b,c表示D1B,EF;(2)若DIF=Xa+yb+zc,求实数x,y,Z的值.解：如图,连接AC.TTTD1B-D1D+DB-AA1-AB-AD-a-b-cf靛反+配三品=TR+G)+G4+G)三/WR*Wc(2)0；*(D：D+D；B)=|(一刀1+。；B)W(-c+a-b-c)-c,又Dl产二xa+yb+zc,所以x-,y=-,z=-l.置探究点三
10、,利用空间向量基本定理证明线面位置关系例3如图,在平行六面体ABCD-AB，CD,中,E,F,G分别是V,D),L的中点,请选择恰当的基底证明：平面EFG平面ABC.证明：取基底44,G.因为诟二产。+D,G=AAf+i4,AB,=AB+AA,=2FG,所以启/夕，又FG,AB无公共点，所以FGAB.又FGa平面ABC,AB,U平面ABC,所以FG平面ABC.同理可得EG平面ABzC,又FGEG=G,FG,EGU平面EFG,所以平面EFG平面ABC.g方法总结合理选择基底,使其能方便表示有关向量,并能进行运算,特别是数量积运算.当直接证明线线垂直但条件不易利用时,常常考虑证明两线段所对应的向量
11、的数量积等于零.利用向量证明垂直的一般方法是把线段转化为向量,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算以及数量积和垂直条件来完成位置关系的判定.证明直线与直线平行一般转化为向量共线问题,利用向量共线的充要条件证明.J针对训练如图所示，已知AADB和aADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD=BD=CD,ZBAC=60o.求证:BDJ平面DC.A证明：不妨设AD=BD=CD=1,则B=C=2.取基底ABfADyAC,=45o,=60o,因为AC=(AD-AB)AC=ADAC-ABACy又G品二IGll品IeOS450=l2y-l,ABACAB1Ccos60o=22=1.所以晶AC=Of即
12、BDlAC.又因为BDI.AD,ACAD=,AC,ADu平面DC,所以BDJ_平面ADC.好探究点四,求两直线所成的角例4在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是菱形，NADC=60。，AC与BD交于点O,EC_L底面ABCD,F为BE的中点,AB=CE.求证:DE平面ACF;求异面直线EO与AF所成角的余弦值.证明：设AB=CE=I,CD=afC=b,CE=cf选择a,b,c为基底，则a=b=c=l,=90o,=120o.0Z=C-CD=c-a,C=(C+C)(b+c),Ol=CDC=a+b,所以法二2井-即Z,CF,21共面.又DEa平面ACF,CF,CAU平面ACF,CFCA=C,所以DE
13、平面ACF.解:因为访二而-&胃(a+b)-c,AF-CF-CA=-(b+c)-(a+b)=-a-b+-c,222-r=所以E0尸二二，归。|二JA川二1,827所以cos-EOAF120所以异面直线EO与AF所成角的余弦值为呼.8方法总结求两异面直线的夹角，可转化为求两直线的方向向量的夹角.由两个向量的数量积定义得cos=R,求的大小,转化为求两个向量的数量积及两个向量的模,求出的余弦值,进而求a,b的大小,在求ab时注意结合空间图形,把a,b用基向量表示出来,进而化简得出ab的值.异面直线AB,CD的夹角Q(0,式，而,cB0,n,故=ABf(或=Ji-ABfCD.J针对训练如图,在三棱柱
14、ABC-A1B1C1,底面ABC为正三角形,侧棱垂直于底面,ABM,AA1=6.若E是棱BB1的中点，则异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为()A13D213A.D.1313C皿叵1326解析:设4B=a,4C=b,44=c,则a,b,c构成空间的一个基底,所以AC1=AC+CC1=b+cf则 COS4；E,急二13力；E（b+c）_10_AEAC1IWCIlb+C5213所以异面直线A1E与AG所成角的余弦值为普.故选A.置探究点五,求线段的长度例5如图所示,在平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,NADC=60,PA_L平面ABCD,PA=6,求线段PC的长.j4.V.dBC解：因为在平行四边形ABCD中，N
