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1、抽象函数常见题型解法抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些表达函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法(如化归法、数形结合法等)，这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。常见的特殊模型：特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx(k0)f(x+y)=f(x)+f(y)基函数f(x)
2、=xnf(xy)=f(x)f(y)或f(2)=3yf(y)指数函数f(x)=ax(a0且a#l)f(x+y)=f(x)f(y)或fJ_y)=If(y)对数函数f(x)=logax(a0且a#)f(xy)=f(x)+f(y)或.二)=f(x)_f(y)1y正、余弦函数f(x)=sinxf(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切函数f(x)=tanxf(x+y)=,f()+f(y)1-f(x)f(y)余切函数f(x)=colxf(x-,y)l-fff()+f(y)目录：二、求值问题三、值域问题四、解析式问题五、单调性问题六、奇偶性问题七、周期性与对称性问题八、综合问题一.定义域问题多为简单函数与
3、复合函数的定义域互求。例L假设函数y=flx)的定义域是-2,2,那么函数y=f(x+D+f(xl)的定义域为一1X1解：f(x)的定义域是意思是凡被f作用的对象都在-2,2中。评析：f(x)的定义域是A,求/(dx)的定义域问题，相当于解内函数9(x)的不等式问题。练习：函数f(x)的定义域是,求函数/,og(3.)的定义域。U例2：函数/(log?%)的定义域为3,11,求函数f(x)的定义域o1,Iog3Il评析：函数/(8CV)的定义域是A,求函数f(x)的定义域。相当于求内函数(x)的值域。练习：定义在(3,8上的函数f(x)的值域为-2,2,假设它的反函数为fT(x),那么y=fT
4、(2-3x)的定义域为,值域为。(l,(3,8二、求值问题抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验；例3.对任意实数x,y,均满足f(x+y2)=f(x)+2f(y)2且f(l)WO,那么f(2001)=.解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：=r,y=,f(n1)=f(n)+2(1)2,令x=0,y=l,得f(0+12)=f(0)+2f(1)2,令x=y=0,得：f(0)=0,.f(l)=L即f(n+l)-Rn)=故f(n)=.f(2001)=a”.2222R上的奇函数y=f(x)有反函数y=P(x
5、),由y=f(x+l)与y=fq(x+2)互为反函数，那么f(2009)=.解析：由于求的是f(2009),可由y=P(x+2)求其反函数y=f(x)-2,所以f(x+l)=f(x)2又f(0)=0,通过递推可得f(2009)=-4918.例4.f(x)是定义在R上的函数，f(l)=l,且对任意xR都有f(x+5)2f(x)+5,f(x+l)Wf(x)+l.假设g(x)=f(x)+l-x,那么g(2002)=.1解由g(x)=f(x)+l-x,得f(x)=g(x)+x-l.而f(x5)f(x)+5,所以g(x+5)+(x+5)-lg(x)+x-l+5,又f(x+1)f(x)+1,所以g(x+l
6、)+(x+1)-1g(x)+x-l+1即g(x+5)g(x),g(x+l)g(x).所以g(x)Wg(x+5)Wg(x+4)g(x+3)g(x+2)Wg(x+l).故g(x)=g(x+1)又g(1)=1,故g(2002)=1.练习：1.f(x)的定义域为(0,m),对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)且f(4)=2,那么/(戈)二)2.如果f(X+y)=f(x)f(y),且f=2,则普+譬+粤+警町的值是。2000f(l)f(3)f(5)f(2001)/5) = 2,原式:16)2(1)+(2)i/2(2)+/(4)/2(3)+/(6),/2(4)+/(8)/(D/(3)/(5
7、)/(7)3、对任意整数x,y函数y=f(x)满足:/(+y)=(x)+(y)+l,假设/(1)=1,那么/(-8)=CA.-lB.lC.19D.434、函数f(x)为R上的偶函数，对xR都有+6)=(x)+(3)成立，假设/(1)=2,那么/(2005)=()(B)A.2005B.2C.lD.05、定义在R上的函数Y=f(x)有反函数Y=P(Xr又Y=f(x)过点(2,1),Y=f(2x)的反函数为Y=(2x),那么Y=F(16)为()（八）A) -B) C) 8 D)8166、已知为实数，且O0.四、解析式问题(换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法，例5.f(I+sinx)=2
8、+sinx+cos2x,求f(x)解:令u=l+sinx,那么SinX=U-I(OWUW2),那么f(u)=-u，3u+l(OWUW2)故f(x)=-43x+l(OWUW2)小结：换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的根本方法.例6、设对满足xz0,xWl的所有实数X,函数f(x)满足，/(6+(l)=+,求f(x)的解析式。解:.f(x)+f(土二i)=l+x(xO且XWI),(1)一用忙1代换看导：/(11)+_!_)=吐1/2)XXXI-xX再以一代换(1)中的X得：f(-J-)+O)=2W.(3)由+得:f()=X、I(XHo且XHI)l-x1-XIX22x-2x小结
9、：通过解方程组的方法可求表达式。怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保存一个变量，是实现这种转化的重要策略。例7.f(x)是多项式函数，且f(x+l)+f(x-l)=224x,求f(x).解:易知f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c(a0),代入比拟系数得:a=l,b=-2,c=-l,f(x)=x2-2x-l.小结：如果抽象函数的类型是确定的，那么可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题,例8.是否存在这样的函数f(x),使以下三个条件：f(n)O,nN;f(ni+n2)=f(m)f(n2)m,n2N*;f(2)=4同时
10、成立?假设存在,求出函数f(x)的解析式；假设不存在，说明理由.解:假设存在这样的函数f(x),满足条件,得f(2)=f(l+l)=4,解得f(l)=2.又f(2)=4=2(3)=23,由此猜测:f(x)=2x(XWN*)(数学归纳证明略)小结：对于定义在正整数集N*上的抽象函数,用数列中的递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解.例9、/(x)是定义在R上的偶函数，且/(x-)=(x+g)恒成立，当x2,3时，/(x)=x,那么当xw(-2,0)时，函数f(x)的解析式为(D)A.|x2jB.x+4C.2x1D.3x1|解：易知=2,当xw(-2,1)时,x+4w(2,3
11、),.(x+4)=x+4=(x);当X(-1,0)时2-X(2,3),/(2-x)=2-x=f(-x)=f(x).应选D。小结：利用函数的周期性和对称性把未知区间转移到区间，利用区间的表达式求未知区间的表达式，是求解析式中常用的方法。练习：1、设y=f(x)是实数函数:即x,f(x)为实数),且f(x)-2f(3=x,求证:If(X)I2IX3解:用L代换X,得f(L)-2f(x)=L,与己知!得2+3Xf(X)+2=0，由之。得9f2(x)-420,.Jf(x)2.XXX32.12006重庆)定义域为R的函数f(x)满足用()-x2+x)RW-2+x.(I)假设(2)=3,求川)；又假设7(
12、0)=,求取);(II)设有且仅有一个实数为，使得兀Co)=即，求函数兀0的解析表达式。角军：(/)因为对任意XWR，宜f(fg-2+)=/O)-2+所以x(2)-22+2)=/(2)-222又ll(2)=3,彳郎(3-222)=3-222,B11y(l)=1三i(O)=,贝V(-O2O)=a-O2O,艮2)=a(11)因为对任意XR，(x)-x2+x)=/M-X2+X.又因为有且只有一个实数知使版(XO)=Xo所以对任意X/?,有Y(X)XZ+X=X0在上式中令X=Xq,Z(X0)-Xo+xO=xO再代/(XO)=X0,得Xtl一片=0,故X(J=O或=l若O=0,贝Q/Xx)2+X=O,H
13、P,(-)=X2X但方程V-X=X有两个不相同实根，与题设条件矛盾。故与工0若Xo=1,则有了(K)-+=1,艮Iy(X)=X2-X+易验证该函数浦足题设条件。综上，所求函数为f(x)=2一+l(XGR)3、函数/G)对一切实数x,y均有+y)y)=+2y+l)x成立，且/(D=0,(1)求F(O)的值；(2)对任意的玉e(0)，x2(0,-),都有f(3+2og内成立时，求。的取值范围.解:(1)由等式f+y)-f(y)=+2y+l)x,令X=1,y=O得/-/(0)=2,Xv/(l)=0,/(0)=-2.(2)由f(x+y)-(y)=(x+2y+l)X,令y=O得/(x)-(0)=(x+l)x,由(1)知/(O)2、：./(x)+2=x+
