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1、数值计算方法试题一一、填空题(每空1分，共17分)1、如果用二分法求方程V+x-4=0在区间U,2内的根精确到三位小数，需对分()次。2、迭代格式XM=S+(-2)局部收敛的充分条件是取值在()oX30xlS(X)(x-1)3+a(x-l)2+/?(x-l)+clx33、 2是三次样条函数，那么a=(),b=(),c=()。4、/Oa)/(x),J(X)是以整数点%,为,为节点的Lagrange插值基函数，那么4U*)=SXklj(Xk)=C力+湿+3Xta)=氏=o(),%。(),当2时氏=o()。5、设/(x)=6/+2/+3/+1和节点=4/2/=0,1,2,-,那么/%,石,%=和AN
2、=6、5个节点的牛顿柯特斯求积公式的代数精度为,5个节点的求积公式最高代数精度为O7、r*)2是区间0上权函数Pa)=X的最高项系数为1的正交多项式族，其中%()=L那x-ax2=28、给定方程组 敛。,且0。2时，SOR迭代法收-ax.+x2=b2fQ为实数，当Q满足.9、解初值问题y, = f(,y).ya。)=%的改良欧拉法W?=K+(“)2小和”)+小,孀)是.阶方法。10、设对角线元素( = 123)满足(二、二、选择题(每题2分)1、解方程组AX =人的简单迭代格式(I) P(A) 1(2)夕 1,(4) P(B) 1)。/(x)JxS-a电Cwf(Xi)r(n)2、在牛顿-柯特斯
3、求积公式：“-O中，当系数a是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当()时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。(1)8,(2)nlt(3)n10,(4)6,3、有以下数表XO0.5I1.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是()。(1)二次；(2)三次；(3)四次；(4)五次4、假设用二阶中点公式一+Wn-On+-M%)求解初值问题V=-2Xy(0)=1,试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为()。(1)0Zz2,(2)0%2,(3)02,(4)0A2三、1、(8分)用最小二乘法求形如y=。+匕/的经验公式拟合以下数据:Xi19253038K1
4、9.032.349.073.3exdx2、(15分)用=8的复化梯形公式(或复化SimPSOn公式)计算J。时，(1) (1)试用余项估计其误差。(2)用=8的复化梯形公式(或复化SimPSon公式)计算出该积分的近似值。四、1、115分)方程/一工-1=。在X=I.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式(I)X=FXT对应迭代格式Xe=V%+1；(2)V+工对应迭代格式VXn；X=X3-1对应迭代格式X用=舅一L判断迭代格式在=15的收敛性，选一种收敛格式计算1=L5附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立SteffenSen迭代法，并进行计算与前种结果比拟，说明是否有加速效果。
5、2、(8分)方程组AX=/,其中(1) (1)列出JaCObi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。(2) (2)求出JaCobi迭代矩阵的谱半径，写出SoR迭代法。五、1、U5分)dy_ dx取步长=oi,求解初值问题I N) = 用改良的欧拉法求y(D的值；用经典的四阶龙格一库塔法求六)的值。2、(8分)求一次数不高于4次的多项式P(X)使它满足P(XO)=f(0),P(Xl)=U1),P()=ff(o),p,(xi)=(XI),p(x2)=f(2)六、(以下2题屐选一题，4分)1、1、数值积分公式形如XfMdxS(x)=V(O)+Bf(I)+Cf,(O)+Dft()(1) (
6、1)试确定参数AaCO使公式代数精度尽量高；(2)设/()eC4J,推导余后八/R(X)=位了心一S(X)_项公式J。，并估计误差。2、2、用二步法+!+%t+hf(xn,yrt)+(1-o)fixn_x,yn,x)卜=*,y)。时，如何选择参数a。，夕使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。数值计算方法试题二一、判断题：(共16分，每题2分)1、假设A是X阶非奇异阵，那么必存在单位下三角阵L和上三角阵U,使A=LU唯一成立。()2、当8时，NeWlon-COteS型求积公式会产生数值不稳定性。()bf(x)dxAif(xi)3、形如，=1的高斯(Gauss)型求积公式具
7、有最高代数精确度的次数为2+1。(214、矩阵的2范数Mb= 9。f2aa0、A=0a05、设I00a),那么对任意实数40,方程组Ar=力都是病态的。(用ML)()6、设ARX,QgR,且有(单位阵)，那么有同2=侬L()7、区间上以上关于权函数W(X)的直交多项式是存在的，且唯一。()8、对矩阵A作如下的DOOIittIe分解：223W1O0Y223、1-2二、填空题：1、设/O),那么“的值分别为 =2, b=2. (A=477=210081(共20分，每题2分)=9/+3/+21/+1,那么均差,/30,3,39=2、设函数/(X)于区间LU上有足够阶连续导数，PGLU为了(X)的一个
8、加重零点，NeWlOn迭代/()f (XQ的收敛阶至少是+l=Xk-fn-3、区间口，同上的三次样条插值函数Sa)在上具有直到阶的连续导数。(7-24、向量X=(IL2)二矩阵1-3那么IIxIIi=,Cazd（八）OO=o5、为使两点的数值求积公式：Llx)rss)+*)具有最高的代数精确度，那么其求积基点应为XI=,x2=o6、设ARX,Ar=A,那么P（八）(谱半径)MR2。(此处填小于、大于、等于)O 1 - 2 1-21-47、设三、简答题：（9分）Iim Ak = 那么1、1、方程x=4-2v在区间1,2内有唯一根X*,假设用迭代公式：XAT=M（4-）ln2伏=，2，），那么其产
9、生的序列卜人是否收敛于r?说明理由。2、2、使用高斯消去法解线性代数方程组，般为什么要用选主元的技术？、I-COSxf（x）=23、3、设X=O.001,试选择较好的算法计算函数值Xo四、（10分）数值积分公式为：fhhC,试确定积分公式中的参数力,使其代数精确度f(x)dx-/(0)/（八）+h2f(0)-f(h)尽量高，并指出其代数精确度的次数。五、18分）求（）的迭代公式为:8+1=彳+-）&=0,1,22Xk证明：对一切Z=1，2,，/,且序列昆是单调递减的,从而迭代过程收敛。33（x）d-/（1）+/（2）六、（9分）数值求积公式J02是否为插值型求积公式？为什么？其代数精度是多少？
10、七、（9分）设线性代数方程组AX=中系数矩阵A非奇异，X为精确解，匕0,假设向量X是AX=rIlYlIcndM的一个近似解，残向量-=6-AX,证明估计式：IIIIn（假定所用矩阵范数与向量范数相容）。八、（10分）设函数/3）在区间，可上具有四阶连续导数，试求满足以下插值条件的一个次数不超过3的插值多项式H（X）,并导出其余项。i012xi012/(Xi)-113/()3九、（9分）设%（）是区间他向上关于权函数Mx）的直交多项式序列，再（=1,2,+1）为W”X（X）的零点,1.（x）（=l,2,n,+l）是以xi为基点的拉格朗日（Lagrange）插值基函数，b/(x)w(x)dxAk/
11、(xjt)I为高斯型求积公式，证明：rr+1“7y-A必(七)%G)二(1) (1)当%JMWJ时，汩Z(x)(X)Mfr=O(kj)(2) JaW+1bFbV(lhx)w(x)dx=w(x)dxyjala十、(选做题8分)假设=%(X)=(X-JC0)(X-Xl)-(X-Xn)tXia=OJ互异，求/1%0，再,p的值，其中p+数值计算方法试题三一、(24分)填空题(1) (1)(2分)改变函数/(%)=GT-4(XAl)的形式，使计算结果较精确(2) (2)(2分)假设用二分法求方程,(H=在区间1,2内的根，要求精确到第3位小数，那么需要对分次。/=卜(2分)设Ix2J,那么r(6=S(
12、X)=F！xl(4) (4)(3分)设B+r+法+，Yx2是3次样条函数，那么a=,b=,C=。(5) (5)(3分)假设用复化梯形公式计算J。,要求误差不超过10F,利用余项公式估计，至少用个求积节点。x1+1.6x2=1(6) (6)(6分)写出求解方程组l4+/=2的GaUSS-SeideI迭代公式,迭代矩阵为，差。(3) (3)(10分)求/(%)=在区间0,1上的1次最正确平方逼近多项式。/=画区dx(4) (4)(10分)用复化Simpson公式计算积分JoX的近似值，要求误差限为().5W5o(5) (5)(10分)用Gauss列主元消去法解方程组:x1+4x2+2x3=24,3
13、x1+x2+5x3=342xl+6尤2+匕=27(6) (6)1(8分)求方程组U(8分)常微分方程的初值问题:的最小二乘解。dydx=x/y,1x1.2MI)=2用改良的Euler方法计算Ml2)的近似值，取步长h=0,2o三.(12分，在以下5个题中至多项选择做3个题)(1) (1)(6分)求一次数不超过4次的多项式P(X)满足：P(I)=I5,PQ=20,3=30,P=57,=72(2) (2)(6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度:xfxdxA)A0)101)4=(3) (3)(6分)用幕法求矩阵V1”的模最大的特征值及其相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于0.05,取特征向量的初始近似值为(I。),。(4) (4)(6分)推导求解常微分方程初值问题y(x)=f(x,y(x),axb,y(a)=yQ的形式为%+=Y+(of+4)j=l,2j,N的公式，使其精度尽量高，其中力二/(Hry)F=+，i=O,l,N,h=(b-a)N
