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1、数列求和不等式的证明策略一.直接放缩型例1：一11-H1(112).2/?+1+22n(k=2 )证明：-!-!-W一2nn+kn+1111111111FH1FH+FH2n22nn1n+22nn+1n+1+1h111111n12/?+1n+22nn+1例2,设=+-L+L+L2.求证：an2.23naa=Ih1-F1H+H.n2a3“na22 3222 2 3 FT 册 4n五.两项配凑放缩型例 1.Xn=2+-9 求证:(-l)Xl+(-l)2X2 + (-l)nXnk*-),k21111=-9k2Mk-I)k-k于是,l+-+-+-r1+(1-)+(-)+()=2=n:.Jl2+423H卜
2、jt(j+1)1+2d1-/7=(十).Jl2+23+h(11+1)(3+5HFflt+1)=-,得证。v222三.可放缩成等比数列型例L数列aJ满足a11+=an2nan+l(nN*),且a11n+2求证：一!一+!+!an(n+2-)+l=2an+lan+l2(an+l)/.an+l2(an.+l)即.1+4-2(an,l1)22(an_2+1)2nl(a,+1)211IJllIlll11H-H7+T=T-l+alI+41+。22232w+,22z,+,2+24“例2.f(x)=-,x(0,+)9数殖Xn满足Xn+=f(Xn)(nN4J,且Xi=Lan=xn-2I,x+1万Sn为aJ前n项
3、和，证明：Sn0.2用(四_1)以一四|(后1)2|工1行|0(四1)|巧一也|=(&_1)向.Sn=a+a2+an(2-1)+(2-I)2+(2-1)m熹盘等得证。四.可放缩成裂项差式型例1.求证：l7r*TV2(nN)2232n2证明：2)nn(n-)n-n,Il1i11111IClr.1+11+=22.2232n2223n-1nn例2.求证：l+y-+yy-+P-3(ll2,N)2( -1)V + ndn-l、TE12证明：V=7=-7=rnnyn11yn+nn2_2(Vn-Vn-T)yn(n-)(yn- + 4n)Yn(Jl-D12 3 111111、 Ia231 1于是n为偶数时，(
4、-i)Xl+(-l)2X2,卜(-l)nXn1741=1Vl,2222八n为奇数时，前nl项为偶数项，于是有(-l)Xl+(-l)2X2(-l)nXnl+(-l)nXn=I-Xn=1-(2+)=-l+4,有，+,+-4且m为偶数时，+=+(+)+(一+4%a4a54a,n-M13/111、131八1、1374且m为奇数时， F + -7 - 8 4有+-log。川N*,2.log网表ZK不超过log2的最大整数。23n2设正数数列”满足：q=bb0）,an“I,n2.求证册_Lig2nanat2()对可得放即例24=i,*=(1+m+/.用数学归纳法证明252);In(I+x)VX对X0都成立
5、,证明e?(无理数=2.71828)解析()结合第(/)问结论及所给题设条件ln(l+%)0)的结构特征,缩思路：”Z(1+二一+：)%=ln1Inart-Ina11+厂+/2nInan-Inqane2.(1+!)all+!=an+.+1(1+X%+D=n(n-)n/I(ZZ-I)向n(n-i)加(J+DTn(%+l)In(l+1)1n(n-l)nn-),一!?一!11=ZlIn(a*+1)-ln(aj+1)ln(n+l)-ln(a,+1)1-1，i=2,=2-1)n即ln(tzrt+1)”3e-lk+39成立。(/7)利用上述局部放缩的结论4句2%+1来放缩通项，可得ak+i+2(ak+1)
6、=ak+12a,(6Z1+1)2a,4=2a+,=击.2例2各项均为正数的数列%的前n项和满足S1,且65“=(an+1)(%+2),hN(1)求%的通项公式；(2)设数列r满足勺(2%-1)=1,并记7；为，,的前n项和，求证：37；+1log2(fl,+3),nN(I)解：由为=m=工(可+1)(4+2),解得a=l或a=2,由假设a=Sl,因此ai=2。又由a11+=Sn+-Sn=(rt+l)(a+i+2)=(an+1)3+2)，66得a11+-痴3=0或痴+=anHan0,故an+=-痴不成立，舍去。因此an+iar3=0。从而aj是公差为3,首项为2的等差数列，故aj的通项为a11=
7、3n-2o(11)由=1可解得2=IogJ1+=log2Ia,J3-1从而北二4+b2+=log3O1253-IJ因此37；+log/+3)=*仁I-马、)高。令/=H2言力总那么1253n-)3n+2/(+1)3+2pn+3?二(3j+3)3f(n)-3+5Un+2j-(3+5)(3+2产。因(3+3)2-(3+5)(3+2)2=9+7X),故/(11+i).特别的/()/(D=-1o从而37；+1-Io氐册+3)=logf(nyO,即37j,+llog2(%+3)例15数列上由以下条件确定：xi=a09xrt+1=-L+-K.证明：对22IxJ总有SG;(ID证明：对2总有工“匕”(02年
8、北京卷第(19)题)解析构造函数f(x)=Ux+易知/*)在G,)是增函数。2(x)当=火+1时S+8+4在G,+)递增故+1/(4)=&.2(Xk)对（三）有=UZ-且,构造函数/(x)=UX它在心长0)上是增函21XnJ2(x)数，故有X“-X“+1=J(X“-”/(笈)=0，得证。八.数学归纳法武汉市教育科学研究院命制的“武汉市2005-2006学年高三年级二月调研测试”第22题：函数f(x)是在(0,+8)上每一点处可导的函数，假设XF(X)f(x)在x0上恒成立，1)略；2)求证:当x0,X20时有f(x1+x2)f(x1)+f(x2);3)不等式ln(l+x)-l且XWO时恒成立，求证:2(+ 1)(+ 2)ln22+4-ln32+7ln(n+l)22232(+1)2其中第3问给出的参考答案为：由2)结论推广到一般有f(Xi)+f(X2)+f(Xn)O(i=l,)时9有x1lnx1+x2lnx2+x1Inx1 5 + 1)2221+ + +3215 + 1)2又Sn-L+-L+1=I-L2-33-4(+1)(+2)2+2.(X1+X2+Xn)ln(Xi+X2+Xn)/、.八1、1/、lzl1n(x1+x2+xn)l11(l)(x+x9+%,)()=+1+11/7+12+22(n+l)(2)n- 2(+ 1)(+
