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1、4.3对数4.3.1 对数的概念【学习目标】1 .能说明对数的含义,解释对数的真数、底数的意义及其取值范围,明确对数与指数的关系,并能根据对数的定义进行指数式与对数式的互化.2 .了解常用对数与自然对数的概念与表示.3 .掌握对数的性质以及对数恒等式.知识点一对数的概念1 .定义:一般地,如果二N(aO,且在1),那么数X叫作的对数,记作,其中a叫作对数的,N叫作.2 .以10为底的对数叫作,并把IoglON记为.以无理数e=271828.为底的对数称为,并且把Iogw记为.3 .根据对数的定义,可以得到对数与指数间的关系:当心),且l时4=W=.【诊断分析】1.判断正误.(请在括号中打7”或
2、“X”)IogjV30,且41)是Io期与N的乘积.()(2)4=16可化为IOg16=4.()(3)对数式Iogs2与log23的意义一样.()(4)对数运算的实质是求幕指数.()4 .在对数概念中,为什么规定a0,Ra呢？知识点二对数的性质与对数恒等式1.对数的性质:如果0,且存1,那么(I)IOgda=,语言表述为;(2)loga1=,语言表述为;(3)没有对数.2.对数恒等式为(QO且l,0).【诊断分析】1.判断正误.(请在括号中打W或x”)(1)对任意aR,均有Iogaa=1.()(2)对任意0,均有Iog“1=0.()(3)对任意hR,均有2iog2b%.()2.你能推出对数恒等
3、式小gazv=M40且0l,M0)吗？探究点一对数的概念例1(1)(多选题)下列说法中正确的是()A.零和负数没有对数B.任何一个指数式都可化为对数式C.以10为底的对数叫作常用对数D.以e为底的对数叫作自然对数(2)使对数Iog2(xl0)有意义的X的取值范围是.(3)在对数式Iogg(4x)中,实数X的取值范围是.变式求下列各式中实数X的取值范围.(1)Iogd)(3x+2);(2)log(x2+1)(3x+8).素养小结对数有意义的两个条件:(ZM数大于0且不等于1;其数必须大于0.探究点二指数式与对数式的互化例2把下列各式中的对数式写成指数式,指数式写成对数式.(l)52=;(2)8x
4、=30;(3)3r=l;(4)logi9=2;zb3(5)A=log610;(6)x=lnj(7)3=lgx.变式已知IogJ6=2,则X等于()A.4B.4C.256D.2(2)(多选题)下列指数式与对数式互化正确的一组是()AJO0=I与IgI=OB.27-5=-log275=C.log39=29=3D.logs5=l5,=5(3)2023海南海口中学高一月考已知0且“l,若log2=Uo即3=,则alm+n=.素养小结对数式与指数式的关系:由对数的定义知,对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式.其关系如下表:式子a名称XN意义指数式”三N(0,11l)底数指数事”的X次累等于N
5、对数以a为底N的对数等于X对数式IogJV=V底数(aQ,S.a)探究点三求对数值例3求下列各式的值.(I)Iog232;Ig1000;(3)Iog4-j(4)log.(322).3W变式己知0,且1,若成二胃,则a-Jog3rt=.素养小结求对数IogJV(0,且存1)的值的步骤:设Iog“N=i;(2)将TOgiIN=Rl写成指数式w=M(3)将N写成以a为底的指数事,则切=即IogJV=b.探究点四利用对数性质或对数恒等式求值例4(1)求下列各式的值：口Og33。=；Og77=;g(lg10)=;lg(lne)=;n(lg10)=;n(lne)=;a.7i0g078=i(g2-1823e
6、2,n4=.(2)求下列各式中X的值.(Zln(Iogzr)=O;logz(Igx)=I;0081=4;5.(5*1)=39;log23Iog3S=x变式(1)已知Iog2log3(log4)=log3log4(log2y)=,则x+y=.(2)有以下四个结论：(Zlog2(log216)=2;log3(log22)=0;若I=IOg5加,则M=5;e=lnX,则x=e2.其中正确的是.(把所有正确结论的序号都填上)素养小结运用对数恒等式时的注意事项:对于对数恒等式小gN=MO且存1NO)要注意格式:况们是同底的;都数中含有对数形式;额值为对数的真数.(2)对于指数中含有对数的式子进行化简,应充分考虑对数恒等式的应用.
