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1、对一道困扰力学界30多年习题的思考李学生(山东大学物理学院山东济南250100)摘要：分析了关于外势能的弹性势能机械能守恒定律满足力学相对性原理，也具有单独的协变性，弹性势能不具有伽利略不变性，解决了关于这个问题的争论.关键词：轻质弹簧；伽利略不变性：力学相对性原理：机械能守恒中图分类号：0313.1文献标识码：A参考文献129都有这样一个题目：一质量为优的小球与一劲度系数为Z的轻质弹簧相连组成一体系，置于光滑水平桌面上，弹簧的另一端与固定墙面相连，小球做一维自由振动.试问在一沿此弹簧长度方向以速度相对于作匀速运动的参考系里观察，此体系的机械能是否守恒，并说明理由。解：假设地球质量为充分大，忽
2、略地球能量的变化，按照外场计算，此时一个保守力的功等于质点势能的减少。在地面参照系上观察时，小球的平衡位置为坐标原点，以水平向右的直线办为X轴，建立直线坐标系如图1所示。一115n.0x光滑水平地面图1弹簧提子机械能守恒问题当上0时刻，将小球向右拉至最大振幅并放手，使之做简谐振动，则小球的位移为:X=ACOS(。，其中2=km,k=tn2o设小球的速度为。，加速度为。，受到的力为/,动能为反，势能为当，机械能为七.则有:V=一=-Asn(t),a=一=-2Acos(),=ma=-m2Acos(t)=-kodrdr(1)Eka)=m-Asin()2=m2A2sn2(t)=M2sin2()odEv
3、(t)=fx=kxdx=d,Ep(Z)= kx2+C.将初始条件I=O时，x=,Ep(O)=yM2,代入上式得：yM2=Ep(O)=yM2+C,C=0,Ep(r)=yA2+C=yjLx2+O=yM2cos2()O(2)E(t)=Ep(t)+Ei(t)=kA2cos2(cot)+yM2sin2()=g姑?二常数。(3)设地面参照系和沿此弹簧长度方向以速度作匀速运动的参考系(设为小车，见图1)刚开始相对运动时完全重合，开始相对运动后，当上0时刻，将小球向右拉至最大振幅并放手，使之做简谐振动。设在小车参照系上观察时，小球的位移、速度、加速度、受到的力、动能、势能、机械能分别为即，Vt6,力，Eik(
4、f),Eip(。，Ei(J).则有:X=x-ut=Acos(t)-ut,v=-Asin(t)-u,a=-2Acos(t)=a,drdr力=I=Wa=THftA4cos(Gf)=-AX.(说明：f-kx,如果把胡克定律表示为弹力的大小与形变大小成正比，方向与形变的方向相反，那么胡克定律适用于所有惯性系，但此时形变大小不是位移)。Eik(f)=yv2=-i-n-24sin()-w2=y2A2sin2(Z)+2Hlsin(r)M2=(4)kA2sn2(t)+muAsin(ty)+-mu2o22文献26证明了力的保守性具有伽利略变换的不变性，因此在小车系质点受到的弹力也是一个保守力。所以dEip(=力
5、dr=依d(x-Z)=依dx-如ACOS(f)d=d-muAsin(t),Eip(，)=kx2-muAsin(t)+C.将初始条件f=0时x=x=A,ElP(O)=EP(O)=；kA2f代入上式得：yM2=p(0)=yM2-116oAsin(0)+C,C=O,4=；Ax2TmouASin(M)+C=kx2-muAsin(t)+0=kx2-muAsn(t)=kA1cos2r-nMsin(r).(5)222因此势能是时间t的一元函数。E(t)=Ep(t)+EM=kj-muAsnt)kA1sn2(t)+muAsin(t)+gmu2=M2cos2(r)+M2sin2(Z)+mu1=kA2+/n=常数。
6、(6)22222所以在小车参照系上观察时，弹簧振子体系的机械能仍然守恒，守恒值为0P+j_阳2。22当U=O时两个坐标系重合，守恒值相等。从上述推导可以看出两点：当WO,只有公上兀，N时才有：Ep(I)=Epl(/);当U=O时，二者显然相等，这也符合玻尔的对应原理。由于忽略质量，弹簧不具有动能和势能，只研究质点就行了，如果考虑质量，把质量按照比例加在质点上就行。或者考虑为若干个受弹力作用的质点，不考虑弹簧质量时是单质点，考虑弹簧质量时是多质点,此时弹力不一定满足胡克定律，但是根据动能定理和势能定理每一个质点在弹力作用下动能的变化量和势能的变化量互为相反数，机械能不变。经典弹性势能公式的局限性
7、分析：小车系测量的质点的弹性势能为Ep(I)=kA2cos2t-muAsin(t)=kx2-muASin(Gz)=m2x2-muAsn(t),可以发现质点的弹性势能与质量成正比，符合质能22方程的要求。参考系相对于地面变速运动也可以得出一个势能公式，但是此时需要增加一个惯性力，文献30证明了惯性力也是一个保守力，机械能也守恒，在此从略)，没有否定经典的弹性势能公式，原来的公式只是一个特例一一观察者在弹簧弹力方向上没有位移或者说分速度为0(相对于固定点静止或者垂直于弹力方向上匀速运动)，不能认为弹性势能对于所有的观察者都相同，需要根据“物体的势能增加量等于物体克服保守力做的功”重新计算，当观察者
8、在力的方向上分速度不相等时，计算保守力做的功不相等，因此势能差也应该不相等，这说明弹性势能和重力势能一样具有相对性。单独的场具有不变的物理意义，而单独的势不具有不变的物理意义。势的客观性是通过其整体性来体现的（表现为只有相对值）。一个一维弹簧振子的哈密顿量H=p22n+m2x2-nusxt正则方程为：dpdt=-Hx=-n2xfdxdt=8Hp=p/m其中dr力=/机即动量的定义，而如/力二一帆3.是一维简谐振子的牛顿方程；一般情况下，哈密顿正则方程组的第一个方程是牛顿方程，第二个方程是动量的定义。如果坚持耳=La/适用于所有情况，由于弹簧的形变是伽利略变换不变量，因此部分文章坚持认为2弹性势
9、能差对于不同的观察者不变，才出现了机械能不守恒的错误结论，为了解释这个问题人们提出了机械能守恒定律可以不满足力学相对性原理或者满足力学相对性原理，但不具有单独协变性的错误的理论。也有人在功能原理中直接去掉外势能的概念，认为引入外势能们没有必要。任何真理都有一定的适用范围，例如经典流体力学中阿基米德原理适用于全部或部分浸入静止流体的物体，要求物体下表面必须与流体接触。如果物体的下表面并未全部同流体接触，例如被水浸没的桥墩、插入海底的沉船、打入湖底的桩子等，在这类情况下，此时水的作用力并不等于原理中所规定的力。如果水相对于物体有明显的流动，此原理也不适用（需要利用伯努利方程）。鱼在水中游动，由于周
10、围的水受到扰动，用阿基米德原理算出的力只是部分值，这些要考虑流体动力学效应。水翼船受到远大于浮力的举力就是动力学效应，所循规律与静力学有所不同。胡克定律F=-kx,在这里是实数与矢量（向量）的积，X是弹簧的形变，是一维矢量，弹性势能应该是dEp=-kxdx,在这里是数量积（标量积），当观察者在弹力方向上的分速度为。时，X=Xif便得出fEp=kx2;当观察者在弹力方向上的分速度不为为O时不是始终相等的，如果此时利用d稣产-Hd计算弹性势能就错了，这样计算力就不是伽利略变换的不变量了。文献6和1418的解法与答案与本文相同。下面利用反证法说明考虑墙壁的作用力，劲度系数依然按照k计算的错误一一假设
11、墙壁的作用力单独改变振子的机械能，与振子的作用力一样，根据对称性原理，必然改变弹簧的形变，那么弹簧的形变就不再是伽利略变换的不变量，以弹簧的伸长为例，如果考虑墙壁的作用，当振子运动到最大位移处，振子对于弹簧的拉力F=kA.对于小车系，测量的力也是F=kA,墙壁的拉力是B=kA,如果此时劲度系数依然按照k计算，此时弹簧的形变为2A,这样弹簧的形变就不是伽利略变换不变量，显然是错误的.文献31分析了功的三种定义方式是一致的，本质上在于如何认识力的作用点的问题，功是质点与所受力的数量积，墙壁不能对没有质量的弹簧做功。质点的势能无法对外界直接做功，只有将质点的势能转化为动能，才能对外界直接做功。文献3
12、2给出了弹性势能的概念，只要质点受到保守力弹力就具有弹性势能，因此弹簧振子问题中是质点的弹性势能，而不是弹簧的弹性势能。在弹簧振子问题中弹力虽然是接触力，但是力源不是研究对象，仍然按超距力处理。爱因斯坦说：“宇宙最难理解的是,它是可以理解的”.这是爱因斯坦坚信的事实，也是所有物理人努力到达的“目的地”。主要结论一一弹性势能的机械能守恒定律具有伽利略变换的不变性，内势能差是伽利略变换的不变量，外势能差不是伽利略变换不变量国0参考文献：1高炳坤.力学中一个令人费解的问题J.大学物理，1995(5):20-24.2李光惠，高炳坤.对“力学中一个令人费解的问题”的补充.大学物理，1996(10):44
13、453赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程力学M.北京：高等教育出版社，2000：124.4高炳坤.能量追踪J.大学物理，2001(3):1516.5高炳坤.一个保守力做的功等于势能的咸少吗J.大学物理，2001(5):1920.6刘明成，刘文芳，赵文桐.弹力机械能守恒定律在各惯性系都成立J.物理通报，2015(12):109111.7蔡伯浪.关于讲授功和能的几个问题.工科物理教学，1981(1),713.8王立、张成华.机械能守恒定律具有伽利略变换不变性.吉林师范大学学报(自然科学版)，2004.3.9郑金.对一道物理竞赛邈的两种互异解答的探讨J.物理通报，2015(7):109112.10裴永伟
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