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1、运动星体机械能守恒问题新解摘要：重新解答了椭圆周运动的星体机械能守恒问题，得出了在直线匀速远离太阳的飞船上，环绕太阳椭圆周运动星体机械能守恒的新结论.关词：椭圆周运动星体；动能；势能；机械能守恒中图分类号：0313.1文献标识码：A文章编号：1问题提出“古代的自然运动是一个被广泛注意并做了很多研究的题目:清华郭奕玲教授在物理学史中告诉我们，两千多年前亚里士多德就“把运动分为自然运动和强迫运动：重物下落是自然运动，天上星辰围绕地心做圆周运动也是自然运动。”亚里士多德认为：“被自身推动的运动者是自然地运动的J牛顿在自然哲学之数学原理第三版的“总释”中写到：“迄此为止我们以引力作用解释了天体及海洋的
2、现象，但还没有找出这种作用的原因.它当然必定产生于一个原因但我迄今为止还无能为力于从现象中找出引力的这些特性的原因，我也不构造假说牛顿说“我用引力解释了天体运行和海洋潮汐，但我还不知引力自身的原因.我把物理考虑置于一边，用所熟悉的表达方式，使我所要说的更易于为数学读者理解RPFeynman在讲到牛顿引力定律时说，“而真的就是这样一条简单的定律吗？它的机制是什么？我们做过的一切，只是描写了地球怎样绕太阳转，可没有说过其缘由何在，牛顿对此无假设，他只满足于找出引力都干了些什么，而未能深入下去.”自然界中的许多力，例如重力、弹性力、静电力等都是保守力，摩擦力、流体的粘性力等都是非保守力.质量为m的地
3、球（视为质点），在质量为M的太阳引力作用下，环绕太阳做长短半轴分别为b的椭圆周运动，有一宇宙飞船相对于太阳以恒速量值沿直线远离太阳.在理想情况下，试问在太阳（太阳质量视为充分大，忽略其他星体的引力，故稳定地保持为惯性系）和宇宙飞船上观察，地球的机械能是否守恒，并说明理由.图1林IH运动星体机械能守恒问题新解2问题解析由于本题假定太阳质量充分大，忽略太阳能量的变化，只能按照外场计算，此时一个保守力的功等于质点势能的减少.以太阳为参照系时，以椭圆中心。为原点，直线4为X轴，垂直于X轴的直线。)，为)，轴，建立平面直角坐标系.设太阳位于椭圆左焦点J处，以J为极点，射线加为极轴，从太阳到地球的矢量/为
4、极径，极径和极轴的夹角。为极角建立平面极坐标系.极坐标系和直角坐标系如图1所示.设地球的运动周期为T,。对于时间f的导数为/，贝J:由天文学知识可以得到椭圆运动星体的运行周期为T=2m层如/忆.2-bNgm =yGMep . ya设以太阳为参照系时，地球从t=0时刻在极轴与椭圆的右交点处开始运动，f时刻的径向线速度、横向线速度、线速度、动能、势能、机械能分别为：Vrf%,2,反，互，E(Z);在宇宙飞船上观察时,/时刻的径向线速度、横向线速度、线速度、动能、势能、机械能分别为：vlr,Ek(r),Ep(r),E；则在太阳上观察时有：r=-,l-ecosO=-(O+esin0)夕=一Wr,；1-
5、ecos。rrepep空 esin。；epl-ecos222Gf2.2GM2GM2.,22epV=V+V=/sin。+(l-ecos)=(sm-l-2cos+eco)=e2-l):GMa2GM2GM小GM(l-2ecos+e)=(2-2ecos9+e-1)=2(l-ecos0+epepepep,1、GMmGMm2Ek(r)=EkS)=-f11v2=(1-ecos0)+(e1)；2epIepr,LGMrnGMm小Ep(t)=Ep(0)=-(l-ecos);ep.,GMmGMm,GMmGMm,E(t)=Ei(t)+Ep(t)=Ek(O)+Ep(0)=(l-cos+(e-1)(1-ecos0)=(e
6、-l)ep2epep2epGMm-e2GMinGMmTGMin2ep2(c)22aIaac所以，以太阳为参照系时，地球的机械能守恒，守恒值为-也”.2a在宇宙飞船上观察时：引理：力的保守性具有伽利略变换的不变性.在两个相对匀速运动的惯性系。，0/中，如果。系中力/是保守力，那么在。系中该力尸守也是保守力.证明：设0时刻惯性系a0/完全重合，且。/系相对于。系以正常数的匀速开始运动.设，时亥h质量为m的质点在惯性系。的位矢、速度、加速度、受的力、做的功中分别为：r,V,a,/,w,在。/系中分别为：R,匕A,F,W,则据微分运算有R=r-ut,V=v-u,A=-0=,F=nA=tna=f6R=V
7、dt=vdt-udt=dr-u(t(1)dV=FdR=f(dr-udt)=fdr-madt=dw-mudv=dw-tnd(uv)fWwuvJdW=Jdw-jd(vy),W=w-mv+muvo.00UV0由dv=adt和dr=vdt知，W=w-muv+muVo=w(t)-muq(t)+muV(i=j(t)f由于R=f=r)-加工0切是关于时间t的连续函数，质点在任何时刻的速度都是唯一存在的，因此R=6(t)也是可导函数，如果该函数出现常值函数区间，质点静止，受到的力是0,不是显含时间的力，下面不研究这个区间，去掉该常值函数区间，该函数的极值点可以把它划分为若干个单调区间，设D是该函数的任意一个单
8、调区间，根据反函数的定义在该区间上存在反函数t=(R),在区间D上聆J(t)=j(加是位置的函数，对时间的偏导数等于0,尸是保守力.由于在任意单调区间上成立，所以该结论在任何位置都成立，尸二加4=机。寸是。系中的保守力.力的保守性具有伽利略变换的不变性，有时表达式中含有时间t,但是通过伽利略变换可以消去，对时间的偏导数等于0,此时不是显含时间的力，纠正某些文献和力学教材中错误的表述.222c02ULr=UL，Vl=V+U-2uVx;VyVy9ViyVy；=vfx+vf=v+u2-2u(VrcosO-V0SinO)+0：=vz+u2-2u(VrcosO-VflsinO)EIkQ)=Eik(J)=
9、J0；=gW?+；mu2-muVrcos+m-V0sinO=Ek(0)+nu2+nuGM-esinJcos+muGM-(l-ecosJ)SinO=2NeP即GMmGMrn(1 - ecos )+ ep2epesin。3d1esin。3dVr=r,drrepdzepvr在宇宙飞船坐标系比太阳参照系增加的位移微分为(-)力，此时万有引力多做的功为GMm小1GMmuesinOZ(CoS)(-w)dr=2(cos0)r=rrepvrGMmu.d。IGM(esincos)-I=mu/cosd叩GMVePV叩.GMmEip(Z)=Ep(8)=(I-ecos)-mu即(当U=O时，Ep(r)=EMf符合对应
10、原理的要求。在宇宙飞船坐标系测量地球的每一个位置只能有一个仇因此在宇宙飞船坐标系测量的势能依然不显含时间，万有引力也不是显含时间的力.弹力类似，不文不再分析.)E(r)=Elk(r)+Elp(r)=Eik,()+Elp)GMmep GMm(1-ecos 0)+2epd)+L后叫陛si小GMmepI(1 -ecos )-mu Isin V叩GMm、12GMm1(e-l)+-mu=+mu2ep22a2所以在宇宙飞船上观察时，地球的机械能守恒，守恒值为一人竺+L加当B时两个坐标系重合,2a2守恒值相等，符合对应原理的要求.两坐标系“守恒量”不相等，当静止系和运动系选择的势能零点相同，坐标原点重合的情
11、况下，对于同一个物理过程运动系测量的机械能比静止系测量增加L机炉一机a。，其中改为t=。时静止系测量的2质点初速度(因为在原点处势能相等，动能之差等于IAm/2一10,在静止系和运动系测量的机械能都2守恒，所以机械能之差始终为122一2.00),上面的计算只是一个特例。2选择势能零点为无穷远点的情况下，在相对于物体引力源速度为水平匀速的参照系中观察，在物体引力源系中，沿椭圆轨道做曲线运动的质点的物体引力势能公式的普遍形式为Ep(t)=ep(t)-musin.或者说，在相对于物体引力源的所有的不同的水平匀速的参照系中，上述的质点的物体引力势能公式都有相同的形式Ep(ty)=ep(t)-muSin
12、e.Mm在物体引力源系中，沿椭圆轨道做曲线运动的质点的物体引力势能公式ep(t)=-G是普遍形式在U=Or时的特例.3经典万有引力势能公式的局限性分析当=0时，Elp(r)=Ep(),符合玻尔的对应原理，这说明万有引力势能和重力势能一样具有相对性.周衍柏理论力学教程(1979年第一版，人民教育出版社)第47页“由于物体间相对位置发生变化所具有的能量，通常叫做势能这里势能应该是指内势能，具有伽利略变换的不变性，在内势能中如果二者质量差别极大，例如本文中的太阳和地球(质量相差悬殊)，此时可以把质量较大的物体的质量视为无穷大，可以认为是质量较小物体的外势能，外势能不具有伽利略变换的不变性，但是机械能
13、守恒定律具有伽利略变换的不变性.对于势能属于系统应该全面理解，特殊情况下认为外势能存在(这是一种数学处理方法)，量变引起了质变.多年来人们一直认为外势能具有伽利略变换的不变性，这是机械能守恒定律与力学相对性原理关系争论的根源所在.如果我们这样认识经典力学，去除了一些错误的认识，经典力学便显得更加和谐.如果考虑到这一点，原来各家杂志上对于这个问题的争议使全部迎刃而解.质量为加的粒子在中心引力势一8作用下如何运动，其中B=GM根，G是万有引力常数，M为中心天体的质量.H=J=工工殳在平面极坐标下粒子的哈密顿量2,ttr2旷2mrpl21,dr、?12/dr、2.1,=一tz()=-ITtCO()=
14、1L()2径向动能2m2dt2d2mr4d2I22L2113m=znFT=T-其中mrITiri2mr是横向动能，I22II221L2mr=mT=-22Z2r22mr2由总能量守恒和角动量守恒pl2 = 2mE +dr _ dt2E 2B+ m mrL2m2r2又于是Le型 dtdt = mr1d1 Ldrdr_ r2 LrLmEr + IBmrL22m(E + Br)-d =Ldrr2mr2(E + Br)-L2C.Bmr-I3.-arcsm-/+rB2m2+2mElI3/(Bn)1J1+装sin(e)VBm=2sin(8-。)=一COSe1.2/(Bm)pr1=1I12EE41+2COSe1+J1H5COSe则VB2mE0,0讨论：1)双曲线轨道；石=0,=12) 抛物线轨道；E0,-B2m(2l)3) 椭圆轨道，其中，7；E=-B2m(2L2)=Q4) VV
