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1、5.2.2同角三角函数的基本关系【知识点梳理】知识点一：同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2a+cos2a=1(2)商数关系：s*na=tangCOSa知识点诠释：(1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立；(2)sin?是(Sina)2的简写；(3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意土”的选取.知识点二：同角三角函数基本关系式的变形1、平方关系式的变形：sin2a=1-cos2acos2=l-sin2,12sinorcosa=(sinacosa)22、商数关系式的变形SinaSma=COS
2、atana，COSa=.tana【方法技巧与总结】(1)求值题型：已知一个角的某个三角函数值，求该角的其他三角函数值.已知一个角的一个三角函数值及这个角所在象限，此类情况只有一组解；已知一个角的一个三角函数值但该角所在象限没有给出，解题时首先要根据已知的三角函数值确定这个角所在的象限，然后分不同情况求解；一个角的某一个三角函数值是用字母给出的，这时一般有两组解.求值时要注意公式的选取，一般思路是“倒、平、倒、商、侄的顺序很容易求解，但要注意开方时符号的选取.(2)化简题型：化简三角函数式的一般要求是：化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的.对于含有根号的
3、，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sia+cos2a=l,以降低函数次数，达到化简的目的.(3)证明题型：证明三角恒等式和条件等式的实质是消除式子两端的差异，就是有目标的化简.化简、证明时要注意观察题目特征，灵活、恰当选取公式.证明恒等式常用以下方法：证明一边等于另一边，一般是由繁到简.比较法：即证左边一右边=0或-=1(右边W0).【题型归纳目录】题型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值题型二，已知tana的值，求关于Sina、CoSa的齐次式的值问题题型三：Sinacosa与SinacoSa关系的应用题型
4、四：利用同角关系化简三角函数式题型五，利用同角关系证明三角恒等式【典型例题】题型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值例L（2022全国高一课时练习）己知。是第二象限角，tana=-2,则CoSa等于（）5Rlr25n25555【答案】A【解析】任意角的三角函数,Sina.C.tana=-2=,.2cosa=-SinaCoSasin2a+cos2a=1,a是第二象限角.*.CoSa=-去.故选：A例2.（2022全国高一课时练习）已知角a的终边在直线y=-2x上，则COSa=（）A.空B.好C.土立D.土拽5555【答案】C【解析】由题设知：tana=-2,即Sina=-2COSa,且si/
5、a+cos?a=1,所以ca=,而a终边在第二或四象限，所以COSa=土好.5故选：C例3,（2022全国高一课时练习）已知tana=3,Oa0,cosa0.结合sia+cos?a=1得311）10击”10Slna=，COSa=，所以CoSa-SIna=.10105故选：B.变式1.（2022全国高一课时练习）已知0244【答案】C【解析】因为O1r,cosa=;,所以Sina=Jl-cos?=J3Sina_yr-tan=22.cosa故选：C.变式2.（2022.河南新乡市第一中学高一阶段练习）-sin22=（）A.cos2B.-cos2C.sin2D.-sin2【答案】B【解析】JITin
6、22=JCOS22因为2C,r）,所以COS20,所以JCOS22=-cos2.故选：B变式3.（2022浙江杭州高级中学高一期末）已知COSa=；,Ky2,则tana的值为（）A.巫3【答案】DB.-4C.-2D.-22【解析】由题意得Sina=-卜（I=-竽,贝黑=-2式,故选：D变式4.（2022新疆柯坪湖州国庆中学高一期末）若。为第三象限角，且Sina=-：，则COSa=（）A,至B.一在C,显D.一亚3443【答案】D解析】由题意，cosa=-JI-Sin*a=-故选：D变式5.（2022贵州凯里一中高一期中）若6e（g,且满足一Tane=1,则Sino+cos。=（）V2）tan。
7、A.巫B.式C.一或D.5555【答案】A【解析】由-tan=l得(tane-2)(ta11e+3)=0,，tan，=一3或tan。=2,因为6(,r),tanJOfjsin=,cos=，sincos=l10tan。10所以sin6+8s6=.5故选：A【方法技巧与总结】利用同角三角函数基本关系式求值的常用技巧：(1)巧用力”进行变形，如I=Sin2。+8$%=tancot=tan45等.(2)平方关系式需开方时，应慎重考虑符号的选取.题型二:已知tana的值，求关于Sina、COS。的齐次式的值问题例4.(2022全国高一课时练习)已知tana=2,则生;竺竺里=()Cosar-SinaA.
8、-4B.-C.-1D.-23【答案】C.,2sina+cosa2tana+1-4+11【解析】：=7,cosQf-Sinflf1-tana1-(-2)故选：C.例5.(2022全国高一课时练习)若tan9=-2,则she+2sin%os6-cos26的值是()A.B.-C.D.5555【答案】A【解析】因为tan6=-2,所以sin?+2sincos-cos2_sin29+2sincos-cos2sin2+cos2tan2+2tan-(-2)+2x(-2)-11tan2+l(-2)2+15故选：A例6,(2022全国高一课时练习)已知tan=：,则一/SHIe=()2cos3+sin0mn1)
9、的图象经过定点尸，且点尸在角。的终边上，则Sine-CoSe4sin6 + cos9【答案】A【解析】对于函数x)=Iogx+3)7(0MWl),令x+3=l,解得=-2,所以/(一2)=1Ogal-1=一1,所以函数恒过定点网一2,-1),又点尸在角6的终边上，所以tan0=g,，Sine-COSetan-1弓一1所以=4sin6+cos64tan+l4v1164X1-12故选：A变式7.(2022.云南德宏.高一期末)若si，=。=则3。=()Slna-COSa2D.3【答案】BsinaCOSar疑柘】由Sina+coSa_1COSjCOSa_1-Iana+1_1-=tana=2-3,Si
10、na-Cosa2sinacosa2tana-1cosacosa故选：B变式8.（2022辽宁凌源市实验中学高一阶段练习）已知tan。=3,则COS28+cos6sine=()l+3R3+3r6AB.C-225D.56【答案】C【解析】因为tan6=T112+一1,cos。+SineCOSe1+tan?6JWf.一一=,=乙=sin2+cos20l+tan21z125l+()故选:C.变式9（2022陕西汉中倜期中）己知tan=2,三3sin2J2cog2a=()A.-B.-C.J332D.一2【答案】C解析由题串得1_Siira+cos,。_tana+_1LJ11TVIJrJ?2-22一3si
11、na-2cosa3sin*-2cosa3tan2a-22故选：C.变式10.（2022江西赣州市赣县第三中学高一阶段练习）已知UInx=2,贝USinXCoSX+1=（）2 7CA.-B.-C.2D.355【答案】Bra,j.r.-.,sinXCos,tan%.2,7【解析】sinxcosx+l=；-+1=;-+1=-+1=-.snx+cosxtanx+l55故选：B.【方法技巧与总结】减少不同名的三角函数，或化切为弦，或化弦为切，如涉及Sina、COSa的齐次分式问题，常采用分子分母同除以8sa（ND,这样可以将被求式化为关于tana的式子，从而完成被求式的求值；在求形如45出2。+加皿08
12、$0+?8520的值，注意将分母的1化为SiYa+COSa=I代入，转化为关于tana的表达式后再求值.题型三：Sinacosa与SinaCoSa关系的应用例7,(2022全国高一课时练习)已知rx0,sinx+cosx=,Wsinx-cosx=7【答案】【解析】(sinx+cosx) =241+2SinXCoSX=,解得2sinxcosx=2525因为一万x0,2sinxcosx0.所以一,vx0.249所以(SinX-CoSX)-=l-2sinXCOSX=-,Xsinx-cosx0,所以SinX-COSX=-.7故答案为：例8.(2022全国高一课时练习)已知sine-cos6=g,则si，一cos”=【答案燃Iv913【解析】因为Sine-COSe=,平方得(Sine-Cos9),=,所以sin6cos6=一,248所以si
