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1、5.4.2正弦函数、余弦函数的性质7题型分类一、正弦函数、余弦函数的性质函数性y=sinxy=COSx相定义域RR同值域-1,1-1,1处周期性最小正周期2最小正周期2图象yIf2y1、一,/一O-IV”O-ISJ2奇偶性奇函数偶函数在2k-t,12E+j(AZ)上单不同单调性调在递增；2E+$2人兀+寺f(GZ)上单在2E-,2E(ZZ)上单调递增；在2k,2E+(女Z)上单调递减处调递减最值X=TT=2E+(ZZ)时,ymax=1；X=2E(ZeZ)时,MnaX=1；Trx=2k一/Z)时,min=-1X=2E+M&Z)时，ymin=-l对称性对称中心：(H,0)(Z);对称中心：E+宗O
2、)(ZZ);对称轴：X=E+依Z)对称轴：X=E(%Z)二、解读正弦、余弦函数的单调性(1)正弦、余弦函数在定义域R上均不是单调函数，但存在单调区间.(2)求解(或判断)正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步.(3)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断.三、解读正弦函数、余弦函数的最值与对称性(1)明确正、余弦函数的有界性，即ISinxIq,ICoMWL(2)对有些函数，其最值不一定是1或一1,要依赖函数的定义域来定.形如y=Asin（GX+p）（AO,加0）的函数的最值通常利用“整体代换，即令公e+s=z,将函数转
3、化为y=Asinz的形式求最值.（4）正弦曲线（余弦曲线）的对称轴一定过正弦曲线（余弦曲线）的最高点或最低点，即此时的正弦值（余弦值）取最大值或最小值.（5）正弦曲线（余弦曲线）的对称中心一定是正弦曲线（余弦曲线）与X轴的交点，即此时的正弦值（余弦值）为0.彩的题淞招正弦函数、余弦函数的单调区间1、求正弦函数、余弦函数单调区间的技巧求形如y=Asin3x+G或y=Acos（s+e）的函数的单调区间时，若切为负数，则要先把外化为正数.当A0时，把GX+p整体放入y=sinx或y=cosx的单调递增区间内，求得的X的范围即函数的单调递增区间；整体放入y=sinx或y=co诔的单调递减区间内，可求得
4、函数的单调递减区间.当A0）放入尸SinX和y=cosx保证X的系数为正，否则应按“同增异减的复合函数单调性求解.题型1:正弦函数、余弦函数的单调区间11. （2023上甘肃武威高二天祝藏族自治县第一中学校考阶段练习）已知函数/（x）=Sin则力在传）上的单调递增区间为（）【答案】B【分析】由正弦函数的单调性以及复合函数单调性即可求解.【详解】当EOm时，2x-“衿卜所以当2%占卜卦)，即Xe(O,言时，函数十)单调递增.故选：B.12. (2023下吉林长春高一东北师大附中校考阶段练习)函数y=sinQ-2x),x(,)的增区间是()【答案】C【分析】利用诱导公式可得y=2sin(-2x)=
5、-2sin(2x-e),再用整体代换的方法即可求出单调增区间.【详解】由题意，y=2sin-2-=-2sin2x-.所以函数V = Si唱-2XJ的单调增区间为2A+2x-2A+yZ,解得攵兀+xE+,ZwZ.Z+-,+-(AeZ).36_因为x(0,),所以令=0,则得函数y=s喉-2x),Xe(U)的单调增区间为y,y.故选：C.13. (2023下新疆高二统考学业考试)已知函数/(X)=&8S(T+，则/*)的一个单调递增区间是()A.0,ylB弓,?C.0,D.,y【答案】A【分析】利用诱导公式化简函数式，再利用正弦函数的性质逐项判断作答.【详解】函数*)=cos(,+;O=Jsinx
6、,由正弦函数的性质知，函数/V)在：,争、0,上都不单.调，在碍,争上单调递减,即选项BCD都不是，函数/(X)在0弓1上单调递增，A是.故选：A14. (2023下高一单元测试)函数y二cos的单调递增区间是()A.-+22A(Z)B.-y+2,y+2(Z)D. A, + (Z)C.+k,k(2Z)【答案】C【分析】作出函数图象即可得到单调增区间.【详解】作出y=|c。SX的图象可知其单调增区间为k-k(Z),15. (2023上海高一假期作业)求函数y=2cos(3x-?)的单调减区间.12421【答案】-+-k,-+-k(ZeZ)【分析】将版-9代入余弦函数的单调递减区间求解即可.【详解
7、】23x-2+(Z),W+x-+(Z).12421得单调递减区间是-+-,-+-(Arz).16. (2023高一课时练习)画出函数y=gcosx+gcosx的图象，并根据图象讨论其性质.【答案】答案见解析.【分析】把函数化成分段函数，作出在区间右苧上的图象，再探讨函数性质作答.【详解】令/(x)=gcosx+gcosx,其定义域为R,f(x+2)=cos(x+2)+cos(x+2)=f(x),由COSX0得：-+2Ax-+2Z,KPf(x)=cosx,22由COSX0得：-+2kx-+2k,k三Z,BP/W=O,22JtTtcosX,+2kx-+2k因此/(幻=22ZwZ,显然一,)=/G)
8、=OJ(O)=1,0,2Ax0)在-*上单调递增，则0取值范围是.【答案】o,l【分析】利用整体代入得方法得到/(%)的单调递增区间，然后列不等式求解即可.%z.Ar*.a,r.11r1.rlr.5n22nn2%口【详解】号F2kn(OXHF2k,kwZ,得1x1,23266因为/(X)在上单调递增，所以3,解得G33兀，21- -,36所以o0)在(OG)上单调递增，则。的最大值【答案】I【分析】求出函数F（X）的单调递增区间，再借助集合的包含关系，列式计算即得.TrTrTrjr【详解】函数/（x）=Sin（5-）（0）中，由一耳+2Etx-w5+2A,AwZ,得一义+型x+也MeZ,即函数
9、3）的单调递增区间为_2+型,羿+也b6bb2k,八+0/+Fi*/八九、r兀2Zc7c5t2kt、I丁、r-116coCDQ依题意，（0,-）-+,+一（kZ）,贝I”Vn.次eZ,366MZk、+63解得F,0I+6攵,kZ,由二+6k0,得二，即k,而AeZ,1222121212因此=0,03（,所以切的最大值为22故答案为：y23. （2023上湖北武汉高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）已知函数/（x）=Sin（OX+看）在区间上单调递减，则正实数。的取值范围是（）33443A.O22332【答案】C【分析】利用整体代换法求出函数/*）的递减区间，结合集合的包含关系列出
10、不等式组，解之即可.【详解】由题意知，0,令2k+-x+-+2k,262ft7,yw2k兀，,4乃2k,)解得+-x-+Z,33又函数/V）在区间与幻上单调递减，2k,所以0/33,解得62+10W+2A,AZ,4乃2k3+3。 4当无二O时，0,函数）=2sin（s+外在6）_26上单调递减，则实数。的取值可以是（）A. 1B. ?D. 2【答案】AB【分析】根据X的范围得出3片 5一十一，一2 6 6,根据的单调性可得出即可得出。的可能取值.【详解】Xe 5 I八一,.?O ,2 6x + - 6 5 +,+ 由于函数/（公=2311（8 + 2）在 5一,2 6上单调递减, 兀、兀 “+
11、 - + 2k26 25 3 .+ + 2k662A.7-121 - 67-121 - 37-12 1 - 6 - -UImJ112O,D.3,12219keZ,解得I-4ktyIk,k、3559Q.M=0时，-0）在区间色,勺上是单调的，则0的取值范围是（）【答案】C【分析】三角函数在区间上单调，可知在区间内不含对称轴，构建不等K即可求得。的取值范围.【详解】因为g（x）=sin（25+30）,令2x+=2k,（kZ）,可得对称轴方程X=（Z）,函数8（工）=$小（25+空30）在区间停兀卜二是单调的，中哆且Ai+falM（Z）,里即O0）在区间（5,兀）上是单调的，/1,-+k所以12(ZwZ
